第十知识块概率与统计热点知识题型

第十知识块概率与统计热点知识题型考点点击1、等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四 种概率计算公式的应用，考查基础知识和基本计算能力.2、求简单随机变量的分布列、数学期望及方差，特别是二项分布，常以现实生活、社 会热点为载体.3、抽样方法的确定与计算、总体分布的估计.高考考纲1、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．2、了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3、了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．4、会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．5、掌握离散型随机变量的分布列.6、掌握离散型随机变量的期望与方差.7、掌握抽样方法与总体分布的估计.8、掌握正态分布与线性回归.知识网络独立性检验独立性检验收集数据(随机抽样)整理、分析数据估计、推断简单随机抽样分层抽样系统抽样用样本估计总体变量间的相关关系用样本的频率分布估计总体分布用样本数字特征估计总体数字特征线性回归分析应用概率解决实际问题概率、概率的意义和性质古典概型几何概型随机数与随机模拟频率随机事件回归分析2022命题趋势近几年高考对本块内容的考查，题型基本稳定，选择或填空题1或2道，解答题1道.其主要考点如下:1、考查各类事件的概率计算着重考查等可能性事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验等五类事件的含义、概率的计算.近年对概率的考查比较全面，各类事件的概率几乎无一遗漏，一般考两题，一题为选择或填空题，另一题文科为考查实际应用的解答题，理科则多为与离散型随机变量结合的解答题,主要考查学生对知识的运用能力，以基础题或中档题为主.[应试策略]夯实基础，深刻理解和牢固掌握五个事件概念的判断识别方法，掌握将复杂的概率事件分解为若干个容易解决的简单事件的概率的技巧，并借助排列组合知识和化归转化的思想方法便能顺利求解.2、考查离散型随机变量的分布列、期望和方差(理科)高考中常将离散型随机变量的的相关知识与各种概率的计算融合在一起考查.近年试题多以实际问题为背景，时代感强，拓展了应用题命题的题材和思路，是高考内容改革的一大亮点，几乎每份试卷中都有一题,且多为解答题,试题的难度和综合性也有增加的趋势。[应试策略]解答离散型随机变量的相关考题，其关键是列出该变量的分布列,为此，首先需确定取哪些值（不重不漏），然后结合相关概率公式正确写出对应的概率，同时要熟记相应的期望和方差公式.3、考查抽样方法、总体分布的估计、正态分布和线性回归.统计与现实生活密切相关，其基本思想是用样本估计总体，而这又完全依赖于抽样方法,所以抽样方法的考查是本考点之重点;此外,正态分布的简单应用和线性回归已在近两年的高考卷中出现，预计今后会成为高考命题的一大热点.统计的考题多为填空题，注重对基本概念和方法的应用，中档偏易题居多.[应试策略]回归课本，巩固抽样方法、正态分布、线性回归的相关概念，掌握用样本估算总体的数学方法.热点知识解读考点(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的基本事件总数;设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数;依公式求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：对立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.考点考点考点考点热点题型解读题型一几类基本概型之间的综合例1、在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.分析：第（Ⅰ）小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算；第（Ⅱ）利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算.解：（Ⅰ）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为eq\f(3,10)，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为eq\f(3,10)×eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(27,1000).（Ⅱ）设Ai(i＝1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P(Ai)，则P(A2)＝eq\f(Ceq\o(1,7)Ceq\o(2,3),Ceq\o(3,10))＝eq\f(7,40)，P(A3)＝eq\f(Ceq\o(3,3),Ceq\o(3,10))＝eq\f(1,120)，因而所求概率为P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(11,60).点评：本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要混淆了互斥事件与相互独立事件，第（Ⅱ）的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等可能事件，同时也可以利用事件的对立事件进行计算. 例2、三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.分析：第（Ⅰ）小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算；第（Ⅱ）小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率，然后再利用对立事件可计算“密码被破译”的概率，进而比较大小.解：记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i＝1，2，3)，依题意有P(A1)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(1,4)，P(A3)＝eq\f(1,3)，且A1，A2，A3相互独立.(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B＝A1A2eq\o(￣,A3)＋A1eq\o(￣,A2)A3＋eq\o(￣,A1)A2A3，且A1A2eq\o(￣,A3)、A1eq\o(￣,A2)A3、eq\o(￣,A1)A2A3彼此互斥于是P(B)＝P(A1A2eq\o(￣,A3))＋P(A1eq\o(￣,A2)A3)＋P(eq\o(￣,A1)A2A3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(3,20).答：恰好二人破译出密码的概率为eq\f(3,20).(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D＝eq\o(￣,A1)·eq\o(￣,A2)·eq\o(￣,A3)，且eq\o(￣,A1)、eq\o(￣,A2)、eq\o(￣,A3)相互独立，则P(D)＝P(eq\o(￣,A1))·P(eq\o(￣,A2))·P(eq\o(￣,A3))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).而P(C)＝1－P(D)＝eq\f(3,5)，故P(C)＞P(D).答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.点评：本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第（Ⅰ）小题正确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而第（Ⅱ）的解答则充分利用对立事件进行的计算.一般情况下，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑计算对立事件的概率来解答.题型二求离散型随机变量的分布列、期望与方差例1、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(Ⅰ)求ξ的分布列，期望和方差；(Ⅱ)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值.分析：第(Ⅰ)小题根据等可能事件的概率计算公式可求ξ取0、1、2、3、4时的概率，从而得分布列；第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决.解：（Ⅰ）ξ的分布列为：ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴Eξ＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝.Dξ＝(0－2×eq\f(1,2)＋(1－2×eq\f(1,20)＋(2－2×eq\f(1,10)＋(3－2×eq\f(3,20)＋(4－2×eq\f(1,5)＝.（Ⅱ）由Dη＝a2Dξ，Eη＝aEξ＋b，得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a2×＝11,＋b＝1)，解得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a＝2,b＝－2)或eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a＝－2,b＝4).点评：（1）求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与结合知识.（2）而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解或通过建立方程来解决来解决.例2、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－\s(104,).(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p；(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．分析：第（Ⅰ）小题利用对立事件，并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出险的概率p；第（Ⅱ）小题首先求投保的10000人中出险的人数ξ的期望，再利用期望的线性关系的性质求取盈利期望Eη的值.解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则eq\o(￣,A)发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(eq\o(￣,A))＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)eq\s(104,)又P(A)＝1－\s(104,)，故p＝．（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ＋50000，盈利η＝10000a－(10000ξ＋50000)，盈利的期望为Eη＝10000a－10000Eξ－50000，由ξ～B(104，103)知，Eξ＝104×103，Eη＝104a－104Eξ－5×104＝104a－104×104×103－5×104.Eη≥0104a－104×104×103－5×104≥0a≥15(元).故每位投保人应交纳的最低保费为15元．点评：本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计算一般不利用求解离散型随机变量X的期望与方差的方法求解，因计算较为繁琐，而是根据其自身的期望与方差的计算公式，常可使问题得到快速的解决.题型三、三种抽样方法例1、一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120.解:设总体中的个体数为，则例2、某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（A）9 （B）18 （C）27 (D)36答案B.解析:由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人.例3、某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取人.图2【答案】37,20【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.例4、用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。。。，153~160号）。若第15组应抽出的号码为118，则第一组中用抽签方法确定的号码是（）A4B5C6例5.（2022陕西卷文）某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（）（A）9 （B）18 （C）27 (D)36答案B.解析:由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人.题型四、三图一表、三数两差例1、图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（）A．62 B63 C．64 D．65例2、设矩形的长为，宽为，其比满足∶＝，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：乙批次：根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值比较，正确结论是A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【答案】A【解析】甲批次的平均数为，乙批次的平均数为例3、某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为=.【解析】考查统计中的平均值与方差的运算。甲班的方差较小，数据的平均值为7，故方差例4、下图是样本容量为200的频率分布直方图。根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为，数据落在（2，10）内的概率约为。【答案】64【解析】观察直方图易得频数为,频率为例5、某个容量为的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为．30【命题意图】此题考查了频率分布直方图，通过设问既考查了设图能力，也考查了运用图表解决实际问题的水平和能力【解析】对于在区间的频率/组距的数值为，而总数为100，因此频数为30例6、一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别 频数1213241516137则样本数据落在上的频率为A.0.13B.0.39C.D.解析由题意可知频数在的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得.故选C.例7、某校从高一年级期末考试的学生中抽出名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：估计这次考试的及格率＝（分及以上为及格）和平均分＝；解：依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为，所以，抽样学生成绩的合格率是80%.利用组中值估算抽样学生的平均分:.估计这次考试的平均分是分例8、就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在）．（1）求居民月收入在的频率；（2）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的这段应抽多少人？解：（1）月收入在的频率为．（2）居民月收入在的频率为，所以人中月收入在的人数为（人），再从人用分层抽样方法抽出人，则月收入在的这段应抽取题型五、回归分析与预测应用与独立性检验男女合计正常345185色盲12３15合计4654100例1、随机调查100人,可按性别和是否色盲两个特性分类,并整理成下表：试根据上述数据计算k2=___________(精确到小数点后一位)．根据计算的结果,判断色盲与性别的关系：_______________．解：（1）（3分）（2）色盲与性别