韦达定理的应用题-证明-公式

实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它们可进一步研究根的性质，也可以必须证△≥0.由已知条件有2b=-(Pc+Ra)，代入①，得△=(Pc+Ra)2-4ac=(Pc)2+2PcRa+(Ra)2-4ac=(Pc-Ra)2+4ac(PR-1).∵(Pc-Ra)2≥0，又PR＞1，a≠0，(1)当ac≥0时，有△≥0；(2)当ac＜0时，有△=(2b)2-4ac＞0.(1)、(2)证明了△≥0，故方程ax2+2bx+c=0必有实数根.(1)(2)12若k＞1，把x，x，0，a按从小到大的顺序排列，并用不等号“＜”连接.12△=k2a2+4ka2=a2k(k+4)＞0.x0＜x＜a.12例3(1982年湖北初中数学竞赛题)证明不可能分解为两个一次因式之积.设则()≥(+4b+r≥2((设则()≥(+4b+r≥2(()+4b于是(a+a)2≥(12=②求证：0≤x≤0≤y≤0≤z≤△=16(x-a)2-16(4x2-4ax+a2)≥0≥0≤x≤同理可证：0≤y≤，0≤z≤.123123122331证明由已知可得3a+aa+a2--a2-a+a-a+a222331122331与解.解于是(b-1)2+(b+1)-8ac＜0.即4ac-b2＞1.∴＞ (1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题)假设 (1899年匈牙利数学奥林匹克竞赛题)假设x、x是方程x2-(a+d)x+ad-bc=012的根.证明这时是方程的根.证明由已知条件得=a3+d3+3abc+3bcd，⑤⑥⑦⑤⑥⑦n111222(1)这两个实数根都是负值；121212③也有两个负根...两根是负值.同样可证方程②的两根也是负值.c1111==＞0，∴方程③也有两个实数根.121212的两个根也是负值.例9(1983年上海初中数学竞赛题)对自然数n，作x的二次方程x2+(2n+1)x+n2=0，使它的根为α和n..+解由韦达定理得=而=(n≥3)，=++=10(1989年全国初中联赛试题)首项不相等的两个二次方程(a-1)x2-(a2+2)x+(a2+2a)=0①及(b-1)x2-(b2+2)x+(b2+2b)=0②(其中a，b为正整数)有一公共根，求的值.00得a=1，矛盾.得x代入原方程，并经变形得0③及④及于是ab-(a+b)=2，即(a-1)(b-1)=3.由或或或∴求证:1≤a≤9.①-②得b+c=即(a-1)(a-9)≤0，∴1≤a≤9.k(k，a，b为已知数)有正整数解即可.b△=k2(a+b)2-4kabk(a+b)2-4k2abab1212B12设方程设方程的两根为m，n(m＞n)，则代数式的值是_______;____;根,那么|p|-q=__________.ABCD)1996(A(A)(B)1985(C)(D)(2)方程r-s等于().(3)x2+px+q2=0(p≠0)的两个根为相等的实数，则x2-qx+p2=0的两个根必为().AB实数(C)非实数或相等两实数(D)实数(4)如果关于方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实数根，那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+112111112和1111112222