第15讲 相似、投影与视图（易错点梳理+微练习）【有答案】-【2022年】中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第15讲相似、投影与视图易错点梳理易错点梳理易错点梳理易错点01混淆相似三角形的判定定理与全等三角形的判定定理相似三角形的常用判定方法有：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；两角对应相等，两三角形相似.全等三角形的常用判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS这4种。易错点02混淆位似和相似位似是一种特殊的相似，位似图形一定相似（或全等），但相似图形不一定位似易错点03错误认为相似三角形的面积比等于相似比错误认为相似三角形的面积比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方。易错点04混淆平行投影与正投影的概念由平行的光线所形成的投影是平行投影.在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影叫作正投影，正投影属于平行投影的一种。易错点05颠倒了视图的观察方向一个物体在3个相互垂直的投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图是主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图是俯视图，在侧面内得到的由左向右观察物体的视图是左视。图.例题分析例题分析考向01相似三角形的性质例题1：（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在正方形中，点、分别在、的延长线上，且，连接，交于点，并分别与边，交于点，，连接，下列结论：①；②；③S四边形OECF，其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，即，在△DAP与中，，∴△DAP≌△ABQ，∴，∵，∴，∴，∴，则结论①正确；∵，，∴，∴△DAO∽△APO，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；则结论②错误；在与△BPE中，，∴△CQF≌△BPE，∴，∴，即，在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE，∴，∴，即，则结论③正确；综上，正确结论的个数是2个，故选：C．例题2：（2021·河南·平顶山市第九中学九年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②；③；④AG+DF＝FG．其中正确的是（）（把所有正确结论的序号都选上）A．①② B．①④ C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，

将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，

∴∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，BF＝BC＝10，BH＝BA＝6，AG＝GH，

∴∠EBG＝∠EBF＋∠FBG＝∠CBF＋∠ABF＝∠ABC＝45°，所以①正确；

在Rt△ABF中，AF＝，

∴DF＝AD−AF＝10−8＝2，

设AG＝x，则GH＝x，GF＝8−x，HF＝BF−BH＝10−6＝4，

在Rt△GFH中，

∵GH2＋HF2＝GF2，

∴x2＋42＝（8−x）2，

解得x＝3，

∴GF＝5，

∴AG＋DF＝FG＝5，所以④正确；

∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处

∴∠BFE＝∠C＝90°，

∴∠EFD＋∠AFB＝90°，

而∠AFB＋∠ABF＝90°，

∴∠ABF＝∠EFD，

∴△ABF∽△DFE，

∴，

∴，

而，

∴，

∴△DEF与△ABG不相似；所以②错误．

∵S△ABG＝×6×3＝9，S△GHF＝×3×4＝6，

∴S△ABG＝S△FGH．所以③正确．

∴正确的结论有：①③④，故选：D．考向02相似三角形的判定例题3：如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：因为△ABC中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有C，且满足两边成比例夹角相等，故选：C．例题4：（2021·上海浦东新·九年级期中）如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（）A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠DCA=∠ACB=∠DAC=∠CAB=∠EBM=45°，∴△AEF∽△CBF，故选项A不合题意；∵∠EBM=∠DCA，∠MGC=∠BGF，∴△CMG∽△BFG，故选项B不合题意；∵∠CAB=∠ACB=∠FBG=45°，∴∠ABF+∠CBG=45°，∴∠ABF与∠CBG不一定相等，∴△ABF与△CBG不一定相似，故选项C符合题意；△BDE∽△BCG，故D不符合题意；故选：C．考向03投影与视图例题5：（2021·广东深圳·九年级期末）如图所示的几何体，从左面看的图形是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：从左面看，是一列三个小正方形．故选A．例题6：（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D微练习微练习一、单选题1．（2021·陕西武功·九年级期中）如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和点、、，若，，则的长是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵l1∥l2∥l3，

∴AB：BC=DE：EF，

∵AB：BC=2：3，EF=9，

∴2：3=DE：EF，∴DE=6．

故选：C．2．（2021·河南封丘·九年级期中）下列图形一定相似的是（）A．两个平行四边形 B．两个矩形C．两个正方形 D．两个等腰三角形【答案】C【解析】解：A、两个平行四边形边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；B、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似的定义，故本选项正确；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选C．3．（2021·上海市市西初级中学九年级期中）将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（）A．△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C．△ABE与△ACD D．△AEC与△ADC【答案】C【解析】A.△ABC是直角三角形，△ADE不是直角三角形，故不能判断△ABC与△ADE相似；B.只有，不能判断B选项中△ABD与△AEC相似；D.只有，不能判断D选项中△AEC与△ADC相似；C.是等腰直角三角形，则设，则，，，，,故选C．4．（2021·福建周宁·九年级期中）如图，点P是△ABC的边AC上一点，连结BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（）A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC【答案】B【解析】解：A、∵∠A=∠A，＝∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；B、根据＝和∠A=∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项符合题意；C、∵∠A=∠A，∠ABP=∠C，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；D、∵∠A=∠A，∠APB=∠ABC，∴△ABP∽△ACB，故本选项不符合题意；故选：B．5．（2021·河南·郑州市第二初级中学九年级期中）如图，▱OABC的顶点O（0，0），A（1，2），点C在x轴的正半轴上，延长BA交y轴于点D，将△ODA绕点O顺时针旋转得到△OD'A'，当点D的对应点D'落在OA上时，D'A'的延长线恰好经过点C，则点C的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：延长A′D′交y轴于点E，延长D′A′，由题意D′A′的延长线经过点C，如图，∵A（1，2），∴AD=1，OD=2，∴．由题意：△OA′D′≌△OAD，∴A′D′=AD=1，OA′=OA=，OD′=OD=2，∠A′D′O=∠ADO=90°，∠A′OD′=∠DOD′．则OD′⊥A′E，OA平分∠A′OE，∴△A′OE为等腰三角形．∴OE=OA′=，ED′=A′D′=1．∵EO⊥OC，OD′⊥EC，∴△OED′∽△CEO．∴．∴．∴OC=2．∴C（2，0）．故选：B．6．（2021·安徽·阜阳实验中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝BC．点D是线段AB上的一点，连接CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①＝；②若点D是AB的中点，则AF＝AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF＝DB；④若＝，则，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：依题意可得BC∥AG，∴△AFG∽△CFB，∴，又AB＝BC，∴．故结论①正确；如图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又∵BD＝AD，∴AG＝AD；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB；∴AG＝AD＝AB＝BC；∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∵∠ABC＝90°，∴CD是B、C、F、D四点所在圆的直径，∵BG⊥CD，∴DF=∴DF＝DB，故③正确；∵，AG＝BD，，∴，∴＝，∴AF＝AC，∴S△ABF＝S△ABC；∴S△BDF＝S△ABF，∴S△BDF＝S△ABC，即S△ABC＝12S△BDF．故结论④错误．故选：C．7．如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米【答案】B【解析】解：如图所示，GC⊥BC，AB⊥BC，∵，

当王华在CG处时，Rt△DCG∽Rt△DBA，即，

当王华在EH处时，Rt△FEH∽Rt△FBA，即，∴，

∵CG＝EH＝1.5米，CD＝1米，CE＝3米，EF＝2米，

设AB＝x，BC＝y，

∴，

解得y＝3，

则，

解得，x＝6米．

即路灯A的高度AB＝6米．

故选：B．8．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，得，且∴∴∴故选：C．9．（2021·山东·济南市济阳区实验中学九年级期中）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′：，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．4：9 B．2：5 C．2：3 D．5：5【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA′=：，

∴DA：D′A′=OA：OA′=：，

∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：：=2：5，

故选：B．10．下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】①两个正方形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，②两个等边三角形是相似图形，但对应点的连线不一定交于一点，故不一定是位似图形，③两个同心圆符合位似图形的定义，是位似图形，④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形，∴正确的有③④，共2个，故选：B．11．（2021·江苏淮安·中考真题）如图所示的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：从上面看该几何体，所看到的图形如下：故选：A．12．（2021·福建·中考真题）如图所示的六角螺栓，其俯视图是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】从上面看是一个正六边形，中间是一个圆，故选：A．二、填空题13．（2021·上海市奉贤区古华中学九年级期中）在△ABC中，点D在边AC上，且AD：DC＝1：2，E为BD中点，延长AE交BC于点F，则BF：FC的值是___．【答案】【解析】如图，过点作交于点，即是的中点，即故答案为：14．阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是______（填“背向太阳”或“面向太阳”），小宁比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一样高”）．【答案】面向太阳矮【解析】∵小勇的影子正好落到后面一个同学身上，∴他们的队列方向是面向太阳，∵小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，∴小勇的影子比小宁的影子长，∴小宁比小勇矮．故答案为：面向太阳，矮15．如图，在△ABC中，是的中点，以点为位似中心，作△ABC的位似图形△DEF．若点A的对应点是△ABC的重心，则△ABC与△DEF的位似比为______．【答案】【解析】∵点是△ABC的重心，是的中点∴∵是的中点，以点为位似中心，作△ABC的位似图形△DEF∴∴故答案为：．16．（2021·辽宁千山·九年级期中）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②△ABE≌△CBF；③△BEF为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号）________．【答案】①②③④【解析】解：由等边三角形和旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABDC为菱形，故①正确；∵在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≅△CBF(SAS)，故②正确；∵△ABE≅△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，∴△BEF为等边三角形，故③正确；∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+∠FCG，又∵∠FCG=60°，∠BFG=60°，∴∠CFB=∠CGE，故④正确；∵AE=CF=1，∴BC=AC=AE+CE=4，∵∠CFB=∠CGE，∠ECG=∠BCF=60°，∴△CFB∼△CGE，∴，即∴CG=，∴BG=BC−CG=4−=，故⑤错误．综上，①②③④正确．故答案为①②③④．三、解答题17．（2021·上海市奉贤区实验中学九年级期中）已知：线段a、b、c，且．（1）求的值；（2）如线段a、b、c满足3a﹣4b+5c＝54，求a﹣2b+c的值．【答案】（1）；（2）0【解析】解：（1）由设∴（2）把代入3a﹣4b+5c＝54得整理得，∴∴∴18．（2021·河南原阳·九年级期中）如图，在△ABC中，DF∥AC，DE∥BC．（1）求证：；（2）若AE＝4，EC＝2，BC＝10，求BF和CF长．【答案】（1）见解析；（2），【解析】（1）证明：∵DF∥AC，∴，∵DE∥BC，∴，∴；（2）解：设，∵，∴，∵，且AE＝4，EC＝2，∴，解得：，∴，∴．19．（2021·广东南海·九年级期中）如图，已知O是坐标原点，AB两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）．（1）以点O为位似中心，在y轴的左侧将△OAB放大2倍；（2）分别写出A，B两点的对应点A′，B′的坐标．【答案】（1）见详解；（2）A′（-6,2），B′（-4，-2）.【解析】解：(1)如图，△OBꞌAꞌ为所作；

(2)∵∴A，B两点的对应点A′，B′的坐标为A′（-6,2），B′（-4，-2）.20．（2021·山东长清·九年级期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示．（1）请你通过画图确定灯泡所在的位置．（2）如果小明的身高AB＝1.6m，他的影子长AC＝1.4m，且他到路灯的距离AD＝2.1m，求灯泡的高．【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子；（2）解：由已知可得，＝，∴＝，∴OD＝4m．∴灯泡的高为4m．21．（2021·陕西兴平·九年级期中）如图，在锐角△OAB中，点，分别在边，上，连接，于点，于点，．（1）求证：