高中数学必修4全册课件ppt人教版

1.1.2弧度制1.1任意角和弧度制第一章三角函数1、角的度量角度制角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的1/360。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

在角度制下，当把两个带着度、分、秒单位的角相加、相减时，运算进率是什么进制的？那么我们能否重新选择角单位？思考：弧度制我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。

若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？rr弧度制注：“弧度”不是弧长，它是一个比值。值有正负。

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，角a的弧度数的绝对值是

|a|=l/ra的正负由角a的终边的旋转方向决定。rla弧AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数∠AOB的度数∏r逆时针方向∏18002∏r逆时针2∏3600r逆时针157.302r顺时针-2-114.60∏r顺时针-∏-18000未作旋转000∏r逆时针∏18002∏r逆时针2∏36002、角度与弧度之间的换算把角度换算成弧度把弧度换算成角度角度与弧度之间的换算填写下列特殊角的度数和弧度数的对应表。角度

弧度

2、角度与弧度之间的换算正角零角负角正实数0负实数任意角的集合实数集R角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应3、例题讲解3、例题讲解

解:∵1=(180/π)0∴3.14=3.14×(180/π)0≈179.90901．1.2弧度制第一章三角函数学习导航新知初探思维启动(2)弧度制长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作__________.半径长1

rad想一想“α＝1”这种写法有意义吗？提示：有意义，表示1弧度的角．(3)角的弧度数的求法正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个_______，零角的弧度数是_____.正数负数0做一做1.下列说法正确的是________．①1弧度是1度的圆心角所对的弧；②1弧度是长度为半径的弧；③度与弧度是度量角的两种不同的度量单位；④1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位．答案：③④2ππ做一做2.填表：度0°30°45°60°90°120°135°150°弧度0____________________________3．扇形的弧长及面积公式做一做典题例证技法归纳题型探究例1跟踪训练例2题型二用弧度制表示角的集合

(1)把－1480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π.(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α终边相同，求β.【名师点评】

表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必须要统一单位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°，(k∈Z)”中，α必须是用角度制表示的角．跟踪训练2．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．题型三弧长、扇形面积的有关计算

例3跟踪训练3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15cm，求扇形的面积；(2)已知扇形的周长为20cm，面积为9cm2，求扇形的圆心角的弧度数．1．有关“角度”与“弧度”概念的理解方法感悟区别(1)定义不同．(2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略．(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关．(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.精彩推荐典例展示规范解答求扇形面积的最值例4(本题满分12分)一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？12抓关键促规范首先利用条件列出关于θ和r的关系，用r表示θ，从而把S表示为关于r的一元二次函数．利用二次函数求最值时，要注意r的取值范围，本题若忽视0<r<20，要适当扣分，求解中只写明r＝5，而忽视θ＝2，造成步骤不完整．12跟踪训练4．已知扇形面积为25cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长取最小值？§1.2任意角的三函数1.2.1任意角的三角函数(一)明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角的三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等.明目标、知重点1.任意角三角函数的定义(1)在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：①y叫做α的

，记作

，即

；②x叫做α的

，记作

，即

；正弦填要点·记疑点sinαsinα＝y余弦cosαcosα＝x对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数.(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.正切tanα2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号3.诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值

，即：sin(α＋k·2π)＝

，cos(α＋k·2π)＝

，tan(α＋k·2π)＝

，其中k∈Z.相等sinαcosαtanα探要点·究所然情境导学在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，

角的概念推广后，这样的三角函数的定义明显不再适用，如何对三角函数重新定义，这一节我们就来一起研究这个问题.探究点一锐角三角函数的定义思考1如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，试求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.思考2如图，锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α终边上任取一点P(a，b)，它与原点的距离为r，作PM⊥x轴，你能根据直角三角形中三角函数的定义求出sinα，cosα，tanα吗？思考3

如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x，y)点，则有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx探究点二任意角三角函数的概念

yyxx

思考2对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？答

由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角α终边上点P的位置无关.思考3

在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.

(3)当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终计算出三角函数值.

解

在直角坐标系中，

∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为反思与感悟利用三角函数的定义，求一个角的三角函数，需要确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.特别注意，当点的坐标含有参数时，应分类讨论.跟踪训练1已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝

则y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8探究点三三角函数值在各象限的符号

三角函数值在各象限内的符号，如图所示：记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.例2判断下列各式的符号：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.∴sin3>0，cos4<0.反思与感悟准确确定三角函数值中角所在象限是基础，准确记忆三角函数在各象限的符号是解决这类问题的关键.可以利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来记忆.跟踪训练2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是(

)A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角∴角θ为第三或第四象限角.C探究点四诱导公式一思考1诱导公式一是什么？答由任意角的三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一：sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，tan(k·360°＋α)＝tanα，其中k∈Z，或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，其中k∈Z.思考2诱导公式一的作用是什么？答

把求任意角的三角函数值转化为求0°～360°的三角函数值.例3求下列各式的值.(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.解原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°反思与感悟利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.同时要熟记特殊角的三角函数值.跟踪训练3求下列各式的值：(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°.解原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin270°＋tan45°＋tan45°＋cos180°＝－1＋1＋1－1＝0.当堂测·查疑缺12341.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα等于(

)D12342.如果角α的终边过点P(2sin30°，－2cos30°)，则cosα的值等于(

)A1234D4.tan405°－sin450°＋cos750°＝

.1234呈重点、现规律1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.§1.2任意角的三函数1.2.2同角三角函数的基本关系明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.明目标、知重点1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：

.(2)商数关系：

.sin2α＋cos2α＝1填要点·记疑点

1－cos2α1－sin2αcosαtanα

探要点·究所然情境导学大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么“同一个角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？这就是本节课所研究的问题.

sinαcosαtanαsin2α＋cos2α30°

探究点一同角三角函数的基本关系式思考1

写出下列角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系？你能发现什么一般规律？你能否用代数式表示这两个规律？145°

60°

150°

11111

1111tan30°tan45°tan60°tan150°正切1

思考2

如何利用任意角的三角函数的定义推导同角三角函数的基本关系式？同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？答设点P(x，y)为α终边上任意一点，P与O不重合.P到原点的距离为r＝

探究点二三角函数式的求值思考已知某角的一个三角函数值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函数值时，要注意角所在的象限，恰当选取开方后根号前面的正负号，一般有以下三种情况：类型1：如果已知三角函数值，且角的象限已知，那么只有一组解.类型2：如果已知三角函数值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数值的正负确定角可能在的象限，然后求解，这种情况一般有两组解.类型3：如果所给的三角函数值是由字母给出的，且没有确定角在哪个象限，那么就需要进行讨论.例如：已知cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，当α终边在y轴上时，sinα＝±1，tanα不存在.

如果α是第三象限角，那么cosα<0.反思与感悟同角三角函数的基本关系揭示了同角之间的三角函数关系，其最基本的应用是“知一求二”，要注意这个角所在的象限，由此来决定所求的是一解还是两解，同时应体会方程思想的应用.

又sin2α＋cos2α＝1，

②又α是第三象限角，探究点三三角函数式的化简三角函数式的化简是将三角函数式尽量化为最简单的形式，其基本要求：尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化为同角且同名的三角函数等.三角函数式的化简实质上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.它不仅要求熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也具有较高的要求，因此在平常学习时要注意经验的积累.反思与感悟解答此类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系.化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解.

跟踪训练2已知tanα＝3，则1(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝

.1探究点四三角恒等式的证明证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种：①直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边，常从比较复杂、繁杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性；②综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价转化的思想；

∴原等式成立.方法二∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.∴cos2α＝(1－sinα)·(1＋sinα).∴原等式成立.∵左边＝右边，∴原等式成立.反思与感悟证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异，有目的地进行化简.证明三角恒等式的基本原则：由繁到简.常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证.常用技巧：切化弦、整体代换.∴原式成立.∴左边＝右边，原式成立.当堂测·查疑缺1234cos40°－sin40°1234

1234解

∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函数线可知－1<cosα<0.12341234∴原等式成立.呈重点、现规律

2.已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择.一般是先选用平方关系，再用商数关系.在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象写公式.3.在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：①“1”的代换；②减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；③多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；④对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.1.3三角函数的诱导公式第一章三角函数给定一个角α(1)终边与角α的终边关于原点对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?1.思考+αyαxOP(x,y)πP(-x,-y)公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanα(2)终边与角α的终边关于x轴对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三yαxOP(x,y)-αP(x,-y)(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?yαxOP(x,y)P(-x,y)απ-α公式四sin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三sin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式四α+k·2π(k∈Z),－α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.例1.利用公式求下列三角函数值:2.典型例题练习将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上利用公式一～四把任意角的三角函数转化为锐角函数,一般可按下面步骤进行:任意负角的三角函数任意正角的三角函数用公式三或一锐角三角函数用公式二或四0～2π的角的三角函数用公式一例2化简练习利用公式求下列三角函数值:练习化简(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与α有什么关系?它们的三角函数之间有什么关系?yαxOy=xP(x,y)P(y,x)公式五公式六由公式四同公式五得

的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.公式五公式六公式一～公式六叫到诱导公式例3证明:例4化简填表:αsinαcosαtanα将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:化简化简sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα小结三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六第一章三角函数学习导航新知初探思维启动诱导公式五、六做一做1.若cos40°＝a，则sin50°＝________.解析：sin50°＝sin(90°－40°)＝cos40°＝a.答案：a答案：－cos

α

sinα典题例证技法归纳题型一三角函数求值题型探究例1互动探究例2题型二三角恒等式的证明【名师点评】证明三角恒等式，一般有两种方法：一是从等式较复杂的一边证到较简单一边；二是采用“两面夹击，中间会师”的方法．不论采用哪种方法．都要灵活运用诱导公式．跟踪训练题型三诱导公式在三角形中的应用

例3跟踪训练方法感悟2．诱导公式的作用(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三或一，化为正角的三角函数．若转化了以后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．(2)当化成的角是90°到180°间的角，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．(3)当化成的角是270°到360°间的角，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．精彩推荐典例展示例4易错警示【答案】－tan2α【失误防范】

(1)对于六组诱导公式要熟记，特别注意符号和三角函数名称的变化．(2)注意计算中的技巧和常规化简运算的方法．跟踪训练§1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)

明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响.2.掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.明目标、知重点用“图象变换法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象1.φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向

(当φ>0时)或向

(当φ<0时)平行移动

个单位长度而得到.左填要点·记疑点右|φ|

缩短伸长

不变3.A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响：函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标

(当A>1时)或

(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到，函数y＝Asinx的值域为

，最大值为___，最小值为

.伸长缩短[－A，A]－AA探要点·究所然情境导学数学研究生活实际，那在某次实验里面，我们测得交流电电流y随着时间x变化的图象图(1)，如果将图象局部放大，便得到图(2)，看图(2)它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似，那这个图象，它是一个形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢？这就是这节课要研究的问题.探究点一φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响答列表如下：0π2πx010－10思考3

一般地，对任意的φ(φ≠0)，函数y＝sin(x＋φ)的图象是由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到的？答y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作是把正弦曲线y＝sinx上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到，上述变换称为平移变换.探究点二ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响答答

探究点三A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响答思考3

一般地，对任意的A(A>0且A≠1)，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象是由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象经过怎样的变换而得到的？答函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把函数y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的，上述变换称为振幅变换.探究点四函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx的图象关系

C反思与感悟已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y＝Asinωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名称相同的结构；②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单位为

；③明确平移的方向.答案A答案C反思与感悟三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换.平移时，若x的系数不是1，需把x的系数先提出，提出后括号中的x加或减的那个数才是平移的量，即x的净增量.方向的规律是“左加右减”.伸缩时，只改变x的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大.答案B∴f(x)＝3cosx.反思与感悟(1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法.(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式.要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可.C当堂测·查疑缺12341234答案A1234C12341234y＝－cos2x呈重点、现规律1.由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：

§1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(二)

明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相.明目标、知重点1.简谐运动简谐运动y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，

叫做振幅，周期T＝

，频率f＝

，相位是

，初相是

.2.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质A填要点·记疑点ωx＋φφ定义域R值域

[－A，A]周期性T＝奇偶性φ＝

时是奇函数；

时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是

函数.

单调性单调增区间可由

得到，单调减区间可由

得到.kπ(k∈Z)非奇非偶探要点·究所然情境导学做简谐运动的单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，这种函数我们称为正弦型函数，那么怎样作正弦型函数的图象呢？正弦型函数的性质又是怎样的呢？探究点一“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象

思考2

利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤.请完成下面的填空.ωx＋φ0π2πxy

0A0－A0X0π2πx2π5πy020－20描点画图(如图所示)：跟踪训练1

如图是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？解如果从O点算起，到曲线上的D点，表示完成了一次往复运动；如果从A点算起，则到曲线上的E点，表示完成了一次往复运动.(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

探究点二由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的解析式例2

如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段，求其解析式.解方法一以N为第一个零点，

(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出.②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ.(3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程求出.跟踪训练2

如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象，根据图中条件，写出该函数解析式.解由图象知A＝5.得T＝3π，下面用两种方法求φ：方法一(单调性法)∵点(π，0)在递减的那段曲线上，方法二(最值点法)探究点三函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性

思考探求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的对称性.答①函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(x0,0)中心对称当且仅当f(x0)＝0.②函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝x0轴对称当且仅当f(x0)＝A或f(x0)＝－A.上述结论若换成函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)同样成立.探究点四函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)图象的对称性③对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一.反思与感悟对于函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)而言，函数图象与x轴的交点就是图象的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)关于点(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0，换为函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)结论仍成立.

代入得a－2＝－a2，解得a＝1或a＝－2.当堂测·查疑缺12341234答案A1234A12343.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则(

)1234∵图象在x＝1处取得最高点，答案C1234解(1)列表：x0π2π030－301234描点、连线，如图所示：呈重点、现规律

(3)从寻找“五点法”中的第一个零点

(也叫初始点)作为突破口.以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点.1．6三角函数模型的简单应用第一章三角函数学习导航新知初探思维启动数学应用题的解题思路想一想现实生活中，哪些现象具有周期性规律？列举二、三例．提示：每天24小时的循环变化；每天的日出日落；摩天轮上的某点离开地面的高度等．典题例证技法归纳题型一函数解析式的应用题型探究例1【名师点评】

已知实际问题的函数解析式解决相关问题，题目一般很容易，只需将具体的值代入计算即可．三角函数模型中函数解析式的应用主要是对相关量物理意义的考查．跟踪训练例2题型二三角函数模型的实际应用

某港口的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出的曲线如下图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝Asinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?从而可知船舶在凌晨1点到5点，下午的13点到17点都可以安全进港．船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1点(1点到5点都可以)进港，而下午的17点(即13点到17点之间)前离港，在港内停留的时间最长为16小时．【名师点评】

实际问题的背景往往比较复杂，具有很强的现实生活色彩，语言表达形式不同常规训练的简单问题，因此在解决实际问题时要注意：(1)自变量的变化范围．(2)数形结合，通过观察图形，获得本质认识．(3)要在实际背景中抽取出基本的数学关系比较困难，因此要认真仔细地审题，多进行联想，选用适当的数学模型．跟踪训练2.如图为一个缆车示意图，该缆车的半径为4.8m，圆上最低点与地面的距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h.(1)求h与θ间的函数关系式；(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车A点到达最高点时用的最少时间是多少？解：(1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，方法感悟解三角函数应用问题的基本步骤：精彩推荐典例展示例3规范解答三角函数模型的确定(本题满分12分)弹簧振子以O为平衡位置，在B，C间做简谐运动，B，C相距20cm，某时刻振子处在B点，经0.5s振子首次到达C点．(1)求振子的振幅、周期和频率；(2)振子在5s内通过的路程及5s末相对于平衡位置的位移的大小．122抓关键促规范在解答过程中，正确理解题意是关键．若对振幅的意义理解错误，则

处书写错误，从而出现A＝5cm的失误．这在考试中至少失去3分．在解答过程中，若对振子通过的路程与离开平衡点的位移理解不到位，则会将

处在5s内通过的路程与5s末振子相对于平衡位置的位移为5cm或－5cm而等同，从而出现失误，这在考试中最多得10分．1122跟踪训练

1.6三角函数模型的简单应用(2)第一章三角函数问题提出1.函数的最小正周期是，且，能否确定函数f(x)的图象和性质？2.三角函数的应用十分广泛，对于与角有关的实际问题，我们可以建立一个三角函数，通过研究其图象和性质或进行定量分析，就能解决相应问题.这是一种数学思想，需要结合具体问题的研究才能领会和掌握.三角函数性质的简单应用探究一：建立三角函数模型求临界值

【背景材料】如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值.如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？太阳光φδθφ-δ思考1：图中θ、δ、φ这三个角之间的关系是什么？θ=90°－∣φ－δ∣.思考2：当太阳高度角为θ时，设高为h0的楼房在地面上的投影长为h，那么θ、h0、h三者满足什么关系？h=h0tanθ.太阳光φδθφ-δ思考3：根据地理知识，北京地区一年中,正午太阳直射什么纬度位置时,物体的影子最短或影子最长？太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长.思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的临界距离应是图中哪两点之间的距离？-23°26´0°23°26´40°MACBh0思考5：右图中∠C的度数是多少？MC的长度如何计算？思考6：综上分析，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？-23°26´0°23°26´40°MACBh0探究二：建立三角函数模型解决最值问题

【背景材料】某地拟修建一条横断面为等腰梯形的水渠（如图），为了降低成本，必须尽量减少水与水渠周壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值S，渠深为h，问应怎样修建才能使修建成本最低？ABCDS思考1：修建水渠的成本可以用哪个几何量来反映？思考2：设想将AD＋DC＋CB表示成某个变量的函数，那么自变量如何选取？ABCDSEh思考3：取∠BCE=x为自变量，设y=AD＋DC＋CB，那么如何建立y与x的函数关系？ABCDSEhx思考5：注意到S、h为常数，要使y的值最小，只需研究哪个三角函数的最小值？思考4：考虑x的实际意义，这个函数的定义域是什么？ABCDSEhx思考6：对于函数你有什么办法求出当x为何值时，k取最小值？xyOP(-sinx,cosx)A(0,2)思考7：如何对原问题作出相应回答？

修建时使梯形的腰与底边的夹角为60°，才能使修建成本最低.ABCDSEhx理论迁移

例1

某市的纬度是北纬21°34′，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米，要使所买楼房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，最低应该选择第几层的房？15156三楼21

例2

如图，甲船在点A处测得乙船在北偏东60°的B处，并以每小时10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏东θ角方向直线航行，并与乙船在C处相遇，求甲船的航速.BCA北θD1.三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意设角建立三角函数分析三角函数性质解决实际问题.其中根据实际问题的背景材料，建立三角函数关系，是解决问题的关键.小结作业2.在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活的运用三角函数的图象和性质进行解答.2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1平面向量的实际背景及基本概念第二章平面向量问题提出1.在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？2.现实世界中有各种各样的量，如年龄、身高、体重、力、速度、面积、体积、温度等，在数学上，为了正确理解、区分这些量，我们引进向量的概念.探究（一）：向量的物理背景与概念思考1：在物理中，怎样区分作用于同一点的两个力？力的大小和力的方向思考2：物体受到的重力、物体在液体中受到的浮力的方向分别如何？受力的大小分别与哪些因素有关？GF思考3：在如图所示的弹簧中，被拉长或压缩的弹簧的弹力方向如何？在弹性限度内，弹力的大小与什么因素有关？思考4：力既有大小，又有方向，在物理学中称为矢量，你还能指出哪些物理量是矢量吗？思考5：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有大小，没有方向的量称为数量.那么年龄、身高、体重、面积、体积、温度、时间、路程、数轴等是向量吗？探究（二）：向量的几何表示

思考1：一条小船从A地出发，向西北方向航行15km到达B地，可以用什么方式表示小船的位移？BA东北思考2：对于一个实数，可以用数轴上的点表示；对于一个角的正弦、余弦和正切，可以用三角函数线表示；对于一个二次函数，可以用一条抛物线表示….数学中有许多量都可以用几何方式表示，你认为如何用几何方式表示向量最合适？思考3：如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作，一条有向线段由哪几个基本要素所确定？A（起点）B（终点）思考4：用有向线段表示向量，向量 的大小和方向是如何反映出来的？起点、长度、方向思考5：有向线段的长度就是指线段AB的长度，也称为向量的长度或模，它表示向量的大小，记作||，两个不同的向量可以比较大小吗？思考6：如果表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可以用黑体字母a，b，c，…，或表示，如图.此时向量的模怎样表示？a思考7：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？思考8：模为0的向量叫做零向量，记作 ；模为1个单位的向量叫做单位向量.怎样理解零向量的方向？怎样理解向量？理论迁移

例1已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地，再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行1000km到达D地.（1）画图表示向量；（2）求飞机从A地到达D地的位移所对应的向量的模和方向.BA东北CD

例2如图，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形.以图中各点为起点和终点，写出与向量模相等的所有向量.ABCDE

小结1.向量是为了表示、刻画既有大小，又有方向的量而产生的，物理中有许多相关背景材料，数学中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理论和方法，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的实际应用.2.由于有向线段具有长度和方向双重特征，所以向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，二者只是一种对应关系.3.零向量是一个特殊向量，其模为0，方向是不确定的.引入零向量将为以后的研究带来许多方便，但须注意：

.2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.3相等向量与共线向量第二章平面向量问题提出1.向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？联系：向量与数量都是有大小的量；区别：向量有方向且不能比较大小，数 量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示.2.什么叫向量的模？零向量和单位向量分别是什么概念？向量的模：表示向量的有向线段的长度.零向量：模为0的向量.单位向量：模为1个单位长度的向量.3.引进向量概念后，我们就要建立相关的理论体系，为了研究的需要，我们必须对向量中的某些现象作出合理的约定或解释，特别是两个向量的相互关系.对此，我们将作些研究.探究（一）：相等向量与相反向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a、b，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考2：两个向量不能比较大小，只有“相等”与“不相等”的区别，你认为如何规定两个向量相等？长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等记作a=b.思考3：用有向线段表示非零向量和，如果，那么A、B、C、D四点的位置关系有哪几种可能情形？ABCDABCD思考4：对于非零向量和，如果，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.思考5：非零向量与称为相反向量，一般地，如何定义相反向量？DCBABA思考6：如果非零向量与是相反向量，通过平移使起点A与C重合，那么终点B与D的位置关系如何？DCBABA探究（二）：平行向量与共线向量

思考1：如果两个向量所在的直线互相平行，那么这两个向量的方向有什么关系？思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行向量所在的直线一定互相平行吗？方向相同或相反思考3：零向量0与向量a平行吗？规定：零向量与任一向量平行.思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向.如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，分别作=a， =b，=c，那么点A、B、C的位置关系如何？ABCOlabc思考5：上述分析表明，任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.如果非零向量 与是共线向量，那么点A、B、C、D是否一定共线？思考6：若向量a与b平行（或共线），则向量a与b相等或相反吗？反之，若向量a与b相等或相反，则向量a与b平行（或共线）吗？思考7：对于向量a、b、c，若a//b，b//c，那么a//c吗？思考8：对于向量a、b、c，若a=b，b=c，那么a=c吗？

例1判断下列命题是否正确：（1）若两个单位向量共线，则这两个向量相等；（）（2）不相等的两个向量一定不共线； （）（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，则该四边形是梯形；（）（4）对于不同三点O、A、B，向量与一定不共线.（）理论迁移××××

例2如图，设O为正六边形ABCDEF的中心，分别写出与、相等的向量.ABCDEFO

例3如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知 求证：.ABCDEF小结作业1.相等向量与相反向量是并列概念，平行向量与共线向量是同一概念，相等向量（相反向量）与平行向量是包含概念.2.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.3.向量的平行、共线与平面几何中线段的平行、共线是不同的概念，平行向量（共线向量）对应的有向线段既可以平行也可以共线.4.平行向量不具有传递性，但非零平行向量和相等向量都具有传递性.§2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义明目标

知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律，并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性.明目标、知重点如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作

则向量

叫做a与b的和(或和向量)，记作

，即a＋b＝

＝

.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则.对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝

＋

＝

.1.向量的加法法则(1)三角形法则a＋b填要点·记疑点0aa(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作

则O、A、B三点不共线，以

，

为邻边作

，则以O为起点的对角线上的向量

＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则.2.向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝

.(2)结合律：(a＋b)＋c＝

.OAOB平行四边形b＋aa＋(b＋c)探要点·究所然情境导学两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.探究点一向量加法的三角形法则导引两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量.一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北.通过上面地图中客机的位移，我们得到向量加法的三角形法则：思考1

使用向量加法的三角形法则具体做法是什么？答先把两个向量首尾顺次相接，然后连接第一个向量的始点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就得到两个向量的和向量.思考2

当向量a，b是共线向量时，a＋b又如何作出？答(1)当a与b同向时：(2)当a与b反向时：思考3

|a＋b|与|a|和|b|之间的大小关系如何？答当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.探究点二向量加法的平行四边形法则思考1

向量加法还可以用平行四边形法则，其具体做法是什么？答先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和.对于零向量与任一向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.思考2

实数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足交换律、结合律吗？如何检验？答

向量的加法满足交换律，

根据下图中的平行四边形ABCD验证向量加法的交换律：a＋b＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.向量的加法也满足结合律，根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).思考3

向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系？答向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别：①三角形法则中强调“首尾相连”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形仅适用于不共线的两个向量求和.联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.例1

如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.反思与感悟已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据平行四边形法则作图.跟踪训练1

如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.0探究点三向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量.这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效.例如，在正六边形ABCDEF中，0例2

化简：反思与感悟解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序.当堂测·查疑缺12341.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中错误的是(

)1234故选D.答案D12342.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式：012343.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则

等于(

)D1234呈重点、现规律1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的.当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则.2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2平面向量的线性运算第二章平面向量1、向量加法的三角形法则baOaaaaaaaabbbbbbbBbaA注意：a+b各向量“首尾相连”，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点.温故知新baAaaaaaaaabbbBbaDaCba+b作法:(1)在平面内任取一点A；

(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b；（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b.2、向量加法的平行四边形法则注意起点相同.共线向量不适用走进新课已知：两个力的合力为求：另一个力

其中一个力为减去一个向量等于加上这个向量的相反向量说明：１、与长度相等、方向相反的向量，