正交矩阵的性质

正交矩阵的性质第1页，共19页，2023年，2月20日，星期五习题课正交矩阵的性质一、正交矩阵的定义及简单性质二、有限维欧氏空间里的正交矩阵三、正交矩阵的特征根第2页，共19页，2023年，2月20日，星期五一、正交矩阵的定义及简单性质

问题①正交矩阵之和？1

定义，若称A为正交矩阵2运算性质①正交矩阵之积为正交阵②正交矩阵的转置为正交阵

③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵

②数乘正交矩阵？第3页，共19页，2023年，2月20日，星期五

③A为正交矩阵

②A为正交矩阵

①A为正交矩阵3正交矩阵的判定第4页，共19页，2023年，2月20日，星期五

的关系如何？

④元素与其余子式，代数余子式③当某时，

②的上界？问题：①的上界？第5页，共19页，2023年，2月20日，星期五二、有限维欧氏空间里的正交矩阵

空间的一组标准正交基。A为正交矩阵A的行（列）向量组是n维行（列）向量

1

矩阵，则第6页，共19页，2023年，2月20日，星期五2n维欧氏空间的一组标准正交基，矩阵满足则为标准正交基A为正交矩阵第7页，共19页，2023年，2月20日，星期五

A是正交变换A为正交矩阵

则

标准正交基，若3

A为n维欧氏空间的线性变换，是一组A，第8页，共19页，2023年，2月20日，星期五

②A为第二类的，若。

①A为第一类的(旋转)，若；4

n维欧氏空间的正交变换的分类第9页，共19页，2023年，2月20日，星期五

使即

对角矩阵向量，即A在下的矩阵为实存在标准正交基是A的特征A为对称变换

则标准正交基，且A，5A为n维欧氏空间的线性变换，为一组第10页，共19页，2023年，2月20日，星期五1在不同的教材上曾出现下面的命题三、正交矩阵的特征根

③正交矩阵的特征根的模等于1。

②正交矩阵的实特征根为1或－1；

①正交变换的特征根为1或－1；第11页，共19页，2023年，2月20日，星期五

可得即注意此时由（1）和（2）对（1）两边取共轭转置（2）

（1）③的证明：设为维非零复向量，为复数，且第12页，共19页，2023年，2月20日，星期五2正交矩阵A的特征根

共轭出现的。

②当时，由（3）知A的非实的复特征根是成对这里为矩阵A的所有特征根

iii)

ii)

i)

（3）①特征多项式第13页，共19页，2023年，2月20日，星期五③正交矩阵的特征根

这里，为非负整数且非实特征根负特征根（4）正特征根ii)可设

非实特征根为成对共轭与出现，且实特征根为1或－1i)

分类第14页，共19页，2023年，2月20日，星期五3正交矩阵A的行列式

，是－1作为A的特征根的重数（5）

即②在（4）之下①或－1（简单证明，由定义给出）第15页，共19页，2023年，2月20日，星期五

4正交矩阵的三类特征根

特征根为1或－1。

②n为奇数时，与的奇偶性相反，且至少有1个①n为偶数时，与的奇偶性相同

第16页，共19页，2023年，2月20日，星期五5

n维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况

③若A有特征根，则特征根1的重数与n的奇偶性相同。相同。

A必以－1为特征根且重数为奇数，特征根1的重数与n的奇偶性②A为第二类的即

若A有特征根，则特征根－1的重数为偶数，特征根1的重数与n的奇偶性相同①A为第一类的即才是A的特征根，约定当不是特征根时，其重数为0：

注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根第17页，共19页，2023年，2月20日，星期五③设A是33正交阵且证明A的特征多项式为

这里，

②证明第二类正交变换一定以－1作为它的一个特征值。特征值。

①证明奇数维欧氏空间中的旋转一定以1作为它的一个

6问题第18页