等差等比数列的应用测模拟试题

等差等比数列的应用(2)【知识网络】1、运用等差、等比数列的知识，解决数列实际问题模型；2、运用等差、等比数列的知识，用切合实际意义的语言表述问题的解；3、解决数列有关综合性问题。【典型例题】例1：（1）北京市为成功举办2022年奥运会，决定从2022年到2022年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2022年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据1．14=1．461．15=1．61） （）A．20% B．18．8% C．16．4% D．10%答案:C。解析：设2022年底更新的车辆为x，总更新车辆数为a，则。（2）一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知信息的另外两个人，如此继续下去，要传遍100万人口的城市，所需的时间大约为（）A、三个月B、一个月C、10天D、20小时答案:D。解析，每小时传递人数构成数列2，4，8……所以n小时共传递人数，∴小时。（3）数列前n项的和为（ ）A． B． C．D．答案:B。解析：（4）某厂在1997年底制定生产计划，要使2022年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为_________________,答案:。解析：令97年底的产量为1，则2022年底的产量为4，则。（5）楼梯共n级，每步只能上1级或2级，走完这n级楼梯共有种不同的走法，则的关系式为。答案：。解析：第n+1级楼梯只能由第n级及第级楼梯上来。例2：．等比数列共有偶数项，且所有项之和是奇数项之和的3倍，前3项之积等于27，求这个等比数列的通项公式。答案:S=3S奇S奇+qS奇=3S奇q=2又（aq）3=27∴aq=3a1=∴an=·2n-1=3·2n-2例3：某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．（1）问第几年开始获利；（2）若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；方案二：总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案合算？答案:（1）由题意知，每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数n的关系为f（n），则…．由题知获利即为f（n）＞0，由，得．∵nN，∴n＝3，4，5，…，17．即第3年开始获利．（2）方案一：年平均收入．由于，当且仅当n＝7时取“＝”号．∴（万元）．即前7年年平均收益最大，此时总收益为12×7＋26＝110（万元）．方案二：f（n）＝＋40n-98＝-2＋102．当n＝10时，f（n）取最大值102，此时总收益为102＋8＝110（万元）．比较如上两种方案，总收益均为110万元，而方案一中n＝7，故选方案一．例4：设等比数列{an}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lgan}的前多少项和最大？(lg2=03,lg3=04)答案:设公比为q,项数为2m,m∈N*化简得设数列{lgan}前n项和为Sn,则Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1)=nlga1+n(n－1)·lgq=n(2lg2+3lg3)－n(n－1)lg3=(－)·n2+(2lg2+lg3)·n可见，当n=时，Sn最大而=5,故{lgan}的前5项和最大【课内练习】1．已知数列满足（nN*），则= （）A． B．0 C． D．答案:D。解析：∵从而知3为最小正周期，从而。2．数列的前项和为，若，则这个数列一定是() A．等比数列B．等差数列C．从第二项起是等比数列D．从第二项起是等差数列答案:A。解析：由得时，，即为等比数列。3．若数列的前8项的值各异，且对任意都成立，若，则下列数列中可以取遍的8项的值的数列为（）A．B． C．D．答案:B。解析：通过分析即可得。4．已知是递增数列,且对任意都有恒成立,则实数的取值范围是。答案。解析：当时，恒成立，∴5．一个凸n边形的内角成等差数列，公差为20度，且最小内角为60°，则凸n边形的边数为。答案：4或9。解析：或9。6.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个分裂为2个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成：。答案:512个。解析：形成的数列为1，2，4，8……7．正数数列{an}的前n项和为Sn，且2eq\r(Sn)＝an+1．试求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,an·an+1)，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<eq\f(1,2)．解析:（1）∵an>0，，∴，则当n≥2时，即，而an>0，∴又（2）8．已知数列中，a1=，以an-1，an为系数的二次方程：an－1x2－anx+1=0都有实根、，且满足3－+3=1。①求证：｛a－｝是等比数列；②求的通项。解析:①∵3（+）－=1∴3a=an-1+1an－=(an-1－)∴｛a－｝是等比数列②a－=·()n-1=()n∴a=()n+9．甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为。（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式。解析：（1）开始时，A中含有10=千克的农药，B中含有10=千克的农药，n次操作后，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而不（常数）。（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得①（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列。由①，由等比数列的通项公式知：，所以。10．设数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn－(2t+3)Sn－1=3t(t＞0,n=2,3,4…)(1)求证数列{an}是等比数列；(2)设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4…)，求数列{bn}的通项bn；(3)求和b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2nb2n+1解析(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)－(2t+3)=3t∴a2=又3tSn－(2t+3)Sn－1=3t，n≥2 ①3tSn－1－(2t+3)Sn－2=3t n≥3 ②①－②得3tan－(2t+3)an－1=0∴,n=2,3,4…,所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列；(2)由f(t)==,得bn=f()=+bn－1可见{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列于是bn=1+(n－1)=;(3)由bn=,可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列，于是b2n=,∴b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1=b2(b1－b3)+b4(b3－b5)+…+b2n(b2n－1－b2n+1)=－(b2+b4+…+b2n)=－·n(+)=－(2n2+3n)【作业本】A组1．已知由正数组成的等比数列｛an｝中,公比q=2,a1·a2·a3·…·a30=245,则a1·a4·a7·…·a28=（）A25B210C215答案:C。解析：∴。2．已知实数满足，那么实数是（ ）A．等差非等比数列 B．等比非等差数列C．既是等比又是等差数列 D．既非等差又非等比数列答案:A。解析：。3．设数列{xn}满足，且，则的值为（）A．100aB．101a2C．101a答案:D。解析：4．如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数时，输出结果记为，且计算装置运算原理如下：①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍。则=．答案：。解析：5．一个类似于杨辉三角的三角形数组(如图)满足：当n>2时,①第n行首尾两数均为n；②中间各数都等于它肩上两数之和．则第n行第2个数是．1223434774答案：＋1。解析：考虑前n－1行的第1个数之和与第n行第2个数的关系。6．设数列｛an｝中，首项a1=1，点均在直线上。（1）求的值（2）求数列｛an｝的通项公式答案:（1）由在上得（2）是以2为首项，2为公比的等比数列，∴。7．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N＊，且x1>0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．⑴求xn＋1与xn的关系式；⑵猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）。答案:：（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为，因此①即②（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，从而由①式得因为x1>0，所以a>b.猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.8.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元.写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?答案:第1年投入800万元，第2年投入800×(1-)万元……，第n年投入800×(1－)n－1万元,所以总投入an＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n－1＝4000［1－（）n］,同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，第n年收入400×（1＋）n－1万元,bn＝400＋400×（1＋）＋……＋400×（1＋）n－1＝1600×［（）n－1］(2)∴bn－an＞0，1600［（）n－1］－4000×［1－（）n］＞0化简得，5×（）n＋2×（）n－7＞0设x＝（）n，5x2－7x＋2＞0∴x＜，x＞1（舍)即（）n＜，n≥5.B组1．是成等比数列的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案:B.解析：若，则不能推出成等比数列。2．某城市郊区冬季种植番茄供应城市市场，当市场价格上涨时，市场供给量增加，市场需求量减少，具体调查结果如下表：表（1）市场售价与供给量的关系表（2）市场售价与需求量的关系单价（元/公斤）24供给量（吨）单价（元/公斤）24供给量（吨）506070758090单价（元/公斤）42需求量（吨）506065707580 A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）答案:C提示：市场供需平衡必须在单价相同的前提下考虑．3．设是一次函数，若则f(2)+f(4)+…+f(2n)等于（）A．n(2n+3) B．n(n+4) C．2n(2n+3) D．2n(n+4)答案:A。解析：由，可令，由成等比数列，则。4．已知a,b,a+b成等差数列，a,b,ab成等比数列，且0<logm(ab)<1,则m的取值范围是_________答案:(8，+∞)解析，即。5．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒次后才能使酒精浓度低于10%。答案：4次。解析：设开始浓度为1，操作一次后溶液的浓度是，设操作n次后，溶液浓度为，则，得。6．已知f(x＋1)＝x2－4，等差数列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－eq\f(3,2)