第2课时基本不等式一轮复习讲义

第四知识块不等式第2课时（2）基本不等式考试内容基本不等式考向定位基本不等式是每年高考的热点，主要考查命题的判定、不等式的证明以及最值问题。特别是求最值问题往往和实际问题相联系。基本不等式的和与积的转化作用在高考中也经常有所体现。考查的方式灵活，可以出选择题、填空题，也可以出解答题。考纲解读1、掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；2、利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．重难点重点：掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理难点：利用基本不等式求最值核心知识突破基本不等式：如果是正数，那么说明：eq\o\ac(○,1)我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数eq\o\ac(○,2)成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数eq\o\ac(○,3)“当且仅当”的含义是等价eq\o\ac(○,4)“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值。2、利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧（如配凑、整体代换、换元、取平方等），积极创造条件利用均值不等式。3、当为正数时基本不等式的变形：（当且仅当a=b时取“=”号）；；；。典例解读例1、已知都是正数，求证：证明：∵都是正数，∴得由不等式的性质得即点评：证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识变式拓展1、若，则例2、已知，求的最小值。解法1：不妨将乘以1，而1用代换。当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。解法2：将分子中的1用代换。评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。变式拓展2、（1）已知是正常数，,求证：,并指出等号成立的条件.(2)求函数,∈(0,)的最小值,指出取最小值时的值.(1)证明:∵都是正数,∴()＝≥当且仅当,即时取“＝”.∴,当且仅当时等号成立.(2)解：∵∴由(1),知,当且仅当，即时取“＝”.∴时,的最小值为25.例3、甲、乙两地相距（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数；固定部分为元．(1)试将全程运输成本(元)表示成速度(千米/小时)的函数.(2)为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？解:(1)依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为，故所求函数及其定义域为(2)∵，故当且仅当时取等号，此时若即时，全程运输成本最小．若，则当时，∵，且，故有∴，且仅当时取等号，即时全程运输成本最小．评注：解应用题时，一定要注意变量的实际意义，亦即其取值范围，在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到“=”号，此时要考虑函数的单调性。变式拓展3、某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制,房子侧面的长度不得超过米,房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为,且不计房屋背面的费用.(1)把房屋总造价表示成的函数,并写出该函数的定义域.(2)当侧面的长度为多少时,房屋的总造价最低?最低总造价是多少?解:(1)由题意，可得y＝3()+5800＝900()+5800(0＜x≤a).(2)y＝900()+5800≥900×+5800＝13000,当且仅当x＝,即x＝4时取等号.若a≥4,则当x＝4时,y有最小值13000;当0＜a＜4,任取x1,x2∈(0,a］且x1＜x2,y1-y2＝900()+5800-900()-5800＝900［(x1-x2)+16()］＝,∵x1＜x2≤,∴x1-x2＜0,x1x2＜＜16.∴y1-y2＞0.∴y＝900()+5800在(0,］上是减函数.∴当x＝时,y有最小值900()+5800.综上,①若≥4,当侧面的长度为4米时,总造价最低,最低总造价是13000元;当0＜＜4时,当侧面长度为a米时,总造价最低,最低总造价是900()+5800元.真题体验1、（2022重庆理7）已知，则的最小值是A.3B.4C.D.1、B解析：考察均值不等式，整理得即，又，2、（2022四川理12）设，则的最小值是（）（A）2（B）4（C）（D）52、B解析：＝＝≥0＋2＋2＝4当且仅当时等号成立如取满足条件.3、（2022四川文11）设，则的最小值是（A）1（B）2（C）3（D）43、D4、（2022安徽文15）若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是(写出所有正确命题的编号)．①；②；③；④；⑤【答案】①，③，⑤【解析】令，排除②②；由，命题①正确；，命题③正确；，命题⑤正确。5、（2022浙江文15）若正实数满足，则的最小值是。5、186、（2022山东文14）已知，且满足，则的最大值为.6、37、（2022安徽理13）设满足约束条件，若目标函数的最大值为8，则的最小值为________。【答案】4【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是，易见目标函数在取最大值8，所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4.思维方法1、在应用