【高中物理竞赛大全】 竞赛3 电磁学 50题竞赛真题强化训练解析版-高考物理备考复习重点资料归纳

【高中物理竞赛专题大全】

竞赛专题3电磁学

50题竞赛真题强化训练

一、填空题

1.（2019•全国•高三竞赛）如图所示是电台发出的无线电信号的接收电路图（P为耳机）,

图中少画了一个元件，请用惯用的符号把这个元件补画在电路图中—.图中电容器起

着的作用，电容器C?起着的作用.

【答案】选台（或调频）的作用通高频，阻低频，使音

频信号通过耳机P

【解析】

【详解】

接收电路有一个检波过程，而检波是通过二极管来完成的.补画的元件如图所示.

电路中G的作用是通过改变其大小，改变接收回路的固有频率，达到选台（或调频）的作

用；而G的作用是通高频，阻低频，使音频信号通过耳机P.

2.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在水平面内有一个光滑匀质圆环，圆环总电阻为

Ro,半径为心质量为如初速度vo向右，右半空间有均匀的稳定的垂直于面的磁场，大

小为瓦结果圆环进入磁场后恰好静止。整个过程中圆环中通过的电量大小

。尸。如果保持圆环单位长度的质量和电阻大小不变，但是把半径变为原来两

倍，为了使得圆环进入磁场后仍然恰好静止，则V。应当变为原来倍。

XX

XX

XX

XX

,A...TiBr2

【答案】--2

【解析】

【详解】

[1]电量可以通过考查电流得到

八、、.\、△①\、△①B,兀广

0=>zAr=>---A--Az=>——=------

⑵最终我们约去了时间，安培力作为阻力的冲量

I=（iB/dt=\-Bl-dt=—\l2dx

」J4

式中/为导线在磁场交界面所截的宽度，x为向内的位移，实际我们不用计算这个积分，能

够通过观察看出

/ocr3

动量

尸=/

2

B3

mv0oc——r

用

我们知道质量和电阻都与「成正比关系

B23

rvoc——r

0r

则

v0ocr

故而我们知道为了满足题设的运动条件，初速度也需要变成两倍

3.（2019•全国•高三竞赛）如图（a）所示，在一个立方体的网格中，每边上有一个大小为

1Q的电阻，在必和cd边上还有IV的电池，求。6两点的电压差6-%=0调

整一下连接方式如图（b）所示，把一个电池改加在ae上，求仍两点的电压差

【解析】

【详解】

[1]我们将电路变形为平面的电路，如图所示

其中中间五个的电阻为go,左右两边的为g,分别计算两个电源在加上产生的电流力与

h,左边电源:

1_5

A宰口

1+-+-+-//2

2225

右边电源根据并联电路分流关系有

J.

551

=-A

12-+212

2

第一空可知

U=£_(…)R=gv

⑵在第二空中我们改换变形方式，并且根据对称性可知有两条棱上没有电流，我们将它们

移除出电路

此时。。上的电流

5

I=_____=___

2+3//22+68A

5

电压

4.（2019•全国•高三竞赛）两个点电荷电量分别为+g,质量均为相，间距为/,在静电作用

下，绕着共同的质心以相同的角速度做匀速圆周运动。静电常量为K,不考虑相对论和电

磁辐射，求绕质心运动的角速度。若/变为原来的两倍，仍然保持匀速圆周运动,

则两个电荷在质心处产生的磁场大小变为原来的倍。

和无法比较）

【解析】

【详解】

库仑力提供向心力，列方程

一+阵

20I2

取正根为解

磁场强度由毕奥萨伐尔定律推导

I•2兀Ia1co-I

'Z2Til

可知结果，由于两个电荷各自产生磁场为原来2《，而总磁场为两者之和为0,因此变化前

后总磁场为0,因此如果理解为总磁场则结果为0/0,无意义或写0口

5.（2020•全国•高三竞赛）如图，导电物质为电子的霍尔元件长方体样品置于磁场中，其上

下表面均与磁场方向垂直，其中的1、2、3、4是霍尔元件上的四个接线端。若开关Si处

于断开状态、开关S2处于闭合状态，电压表示数为0；当开关Si、S2闭合后，三个电表都

有明显示数。已知由于温度非均匀性等因素引起的其它效应可忽略，则接线端2的电势—

（填“低于”、“等于”或“高于”）接线端4的电势；若将电源用、心均反向接入电路，电压

表的示数—（填“正负号改变，大小不变”、“正负号和大小都不变”或“正负号不变，大小

【详解】

开关Si接通以后，产生的磁场方向由上到下，霍尔元件中的电流方向由1到2,因此

电子的运动方向由2到1,则由左手定则可知电子向2方向偏转，因此2一面的电势低，

当电源Ei和E2反向，则磁场方向和电子移动方向均反向，因此电子的偏转方向不变，电

压表的正负号不变，磁场的强度不变，电流的大小不变，电子的移动速度不变，因此

q^=qvB

a

可知电压表示数不变。

二、解答题

6.（2019•全国•高三竞赛）一电流秤如图所示，它的一臂下面建有一个矩形线圈，共有”

匝，这线圈的下部悬在磁感强度为B的均匀外磁场内，下边长为/的一段与B垂直.当线圈

的导线中通有电流/时，调节祛码使两臂达到平衡；然后使电流反向，但大小仍为/,这

时需要在一臂上加质量为机的祛码，才能使两臂再达到平衡.试求磁感强度的大小B,并

计算当/=10.0s,Z=0.100A,m=8.78g,〃=9时8的值

【答案】3=0.479T

【解析】

【详解】

如图所示，线圈下边的水平部分所受的安培力方向向下，其大小为

F=IIB.

电流/反向后，安培力的大小仍为上式，但方向则向上.矩形线圈两边的竖直部分所受的

安培力都在水平方向，而且大小相等，方向相反，对电流秤没有影响，于是按题意得

mg=2xnIlB=2.nIlB,所以，8=屐-.

2nll

代入数值得B=4.797.

从知识点的要求与难度上讲，电流秤的原理及应用在常规教学领域都是应该熟练掌握的，

属于安培力的基本应用题.当然，本题亦有一些变式，如引入线圈的质量等.

7.（2019•全国•高三竞赛）如图甲所示，经U=1000V电压加速的电子（加速前电子静止）

从电子枪T射出，其初速沿直线。的方向.若要求电子能击中在夕=60°方向飞、与枪口相

距d=5.0cm的靶试求在以下两种情形，所需的匀强磁场的磁感应强度3的大小：

a

s

甲

（1）磁场B垂直于由直线a和靶M所确定的平面；

（2）磁场B平行于枪口T向靶M所引的直线

【答案】（1）B=3.7xlO-3T（2）B=nx6.7xlO-3T-n=i,2,3,...

【解析】

【详解】

设电子从枪口T射出的速度为v,则l小丫2=6。，故丫匡，

2Vm

式中加，e分别为电子的质量、电量（绝对值）.

（1）如图乙所示，为了击中靶电子圆轨道的半径R与d及夕应满足关系:

d

又，圆半径R与磁场B的关系为尺=上.

eB

由上两式，为了击中靶，B的大小应为B=竺电色/亚.

aye

把已知数据代入得：B=3.7xW3r.

（2）BPTM时，电子作等距螺旋线运动，如图丙所示，电子以“=vcos夕沿刃0做匀速

一d

直线运动，到达M点所需时间为仁------，同时，电子以匕=vsin。在垂直于8的平面内

VC0S^9

做匀速圆周运动，绕一整圈的时间即周期7=二.为了能够击中■点，要求

r=U（〃=l,2,3,L）,故要求B为8=^n^2^（w=i,2,3,L）.

ea

把有关数据代入，得3=〃x6.7xl（r3r.

本题中的问题（1）是粒子在平面内的运动，两问题（2）则是空间的螺旋运动.在阅读问

题（2）的解答时，应知道图中的虚线实际上是一条空间螺旋线，而不是平面曲线.

即使粒子是平面运动，其研究过程也无法避开空间问题，因为粒子的运动方向、受力方

向、磁场的方向本身就是以空间形态呈现给我们的，如果粒子的运动轨迹再以空间形态出

现，其难度可想而知.

空间问题的处理能力，是参与物理竞赛的学生必须具备的能力，而且该能力在各种能力要

求中处于特别突出的位置.

8.（2019•全国•高三竞赛）近代的材料生产和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制

在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，

不受杂质原子散射的影响.这种特点可望有新的应用价值.图甲所示为四端十字形.二维

电子气半导体，当电流从1端进入时，通过控制磁场的作用，可使电流从2,3或4端流

出.对下面模拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动.在图乙

中，。、6、。、d为四根半径都为R的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极

窄的狭缝1、2、3、4,在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，

磁场方向垂直纸面指向纸内.以B表示磁感应强度的大小.一个质量为优、电荷量为4的

带正电的粒子，在纸面内以速度“沿与。、6都相切的方向由缝1射入磁场内，设粒子与

圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，

也不受摩擦力作用.试求B为何值时，该粒子能从缝2处且沿与方、c都相切的方向射出？

【解析】

【详解】

在图中纸面内取坐标（如图丙所示），原点在狭缝1处，x轴过缝1和缝3.粒子从缝

1进入磁场，在洛仑兹力作用下做圆周运动，圆轨道在原点与x轴相切，故其圆心必在y轴

上.若以「表示此圆的半径，则圆方程为炉+（＞一厂）2=户.

丙

根据题目要求和对称性可知，粒子在磁场中做圆周运动时应与d的柱面相碰于缝3、4间的

圆弧中点处，碰撞处的坐标为

x=2R—Rsin45。，y=R-Rcos450,解得厂=3R.

由洛仑兹力和牛顿定律有所以，B二端.

本题是第26届全国中学生物理竞赛预赛试题.

带电粒子在磁场中的运动是常规教学中训练最多的题型之一.解答此类问题，要求答题者

具备较强的几何认知能力，对带电粒子的各种圆轨迹的形态、边界、圆心位置的确定、半

径的计算等，能做到熟练应对.

遗憾的是，在常规教学中对轨迹的讨论几乎都局限在平面内进行，而在竞赛中往往又会出

现空间特性，要求更高.

9.（2019•全国•高三竞赛）如图所示为一两端无限延伸的电阻网络，设每小段电阻丝电阻均

为1。，试问：A、8间等效电阻为多少？（结果保留三位有效数字）

44彳

■(*■»>»••«

(««*«««

«■■»(««

.....................................•••-•・♦•・•••«•

••»»••*

•♦«n*•»♦

•••D*t*/*

/'xl

［答案】RAB=—~7=0.465Q

L+I2+I3

【解析】

【详解】

将该网络压扁，如图1所示，除A3,BC,CD,间各边电阻为1。外，其余电阻为

图2

现在我们讨论MNPQ的内部电阻

我们将RS7L的内部电阻等效为图2所示电路，其中。，6为待定值，由于RS7L与脑\丁。

全等，则有如图所示的等价关系,此等价关系即

下标的1代表图3,2代表图4

ab

a+b

①RMA,由对称性，去掉NS,SL,LQ得RMHdl

ab

a+b41

得%=4,

②Rp,由对称性,去掉NQ,

M2a+b

aba+b）2,解得与与

从而

a+bab

a+b

（2）RM。的分析

①RMQ,.如图5所示，取回路MVP。"，MRLQM,RSTLR,RLTR,QLTPQ得

.w

,r…，Y,16b

76ab+7〃+2lb+16H------

a

2。+56

3八+/4=02a+4Z?+8+—

a

22。+56

222c,cri,6b

2ab+3Q+7Z?+6H-----

<Z5-3Z2+3Z5+4Z6-Z4=0解得a

3。+6

al5-a(^l2-I5-I6)-bI6=025

=02a+2+—

22\25o/Qj

2〃+56

C7313b

22aT

52a+55

—/.6ab+7。+2lbT------F16

1

故时白2a

人+4+八16ab+24a+64b+迎+60

a

MQPM得

al-j(a+3b)a

故时2

，7+/g+4a+4b

(〃+3Z?)〃_6〃"+7a+21"+7+16

⑧

于是有<4。+4"16必+24q+64Z?+^^+60

ab_A/3-1

⑨

a+b2

令彳=工，由⑨得：=（若一1）一X⑩

ab,，

由⑩代入⑧化简有一—2x-l=0.贝鼠=1土血

a=—ijn

又a＞0,贝U尤＞0,所以,尤=V2+1＞所以，

Z?=(73+V2)Q

于是ABC。如图7所示，同上步骤可得:

图7

/；=18.93/；，(=14.55/；，Z/=7.197/,/：=2.644'，=10.57//.

x[

则勰=〒七~;=0.465Q

A+A+4

10.（2019•全国•高三竞赛）两平行导线中电流方向相反时，它们便互相排斥，有一种磁悬

浮列车便是利用这种排斥力使列车悬浮在车轨上运行的.设想两个相同的共轴圆线圈，半

径都是R,匝数都是N,相距为人载有相反的电流/,如图所示.假定一个线圈中的电

流在另一线圈处产生的磁感强度的大小可近似当作B=4叫.试估算在r=10s,

R=1.0m时，要使排斥力为尸=10吨力，所需的安匝数M

【答案】M=8.8X104A.E

【解析】

【详解】

排斥力为尸=NIIB=NI-2TIR-为”=%（'/）区，

2jirr

故所求的安匝数为M=、1=&8X1（）4A.匝.

本题是有关安培力的基本计算题，本身难度不大，但本题也给我们提供了思考的空间，要

使得磁悬浮达到实用，需足够大的安匝数，而要将这样大的安匝数的功率八尺限制在实际

可能的范围内，只有采用超导材料制成的线圈才行，于是，本题提供的基本模型便有了延

伸的空间.

11.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，在圆形区域中（足够大），有垂直于纸面向内随时间

均匀增加的磁场竽在与圆心。距离为d的位置尸处有一个钉子，钉住了一根长度为

I,质量为m的均匀绝缘棒的中心，绝缘棒能在平面内自由无摩擦地自由转动.绝缘棒上

半截均匀带正电，电量为Q,下半截均匀带负电，电量为一。.初始时刻绝缘棒垂直于。尸

（1）计算在尸点处钉子受到的压力

（2）若绝缘棒受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽略）,

求证此运动是简谐振动，并计算周期.（绝缘棒绕质心的转动惯量为

【解析】

【详解】

设由变化的磁场产生的涡旋电场大小为E,则有£2口="噂

得到E=：•般方向垂直于与。的连线.

2

则杆上场强分量为凡=-1y,Ey=~d.

<i）由于上下电量相反，y方向的场强为定值，故钉子在y方向不受力.

在x方向上，其所受电场力（考虑到上下对称）为F=2x[T1-

故钉子压力为半.（由于电场和y坐标成正比，因而也可以使用平均电场计算电场力）

（2）设绝缘棒转过一微小角度e,此时，y方向的电场力会提供回转力矩.（由于力臂是

一阶小量，横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小量，忽略二阶以上小量，因而不必计

算电场力改变量产生的力矩.由于电场几乎是均匀的，所以正电荷受力的合力力臂为

6»--）

4

M=--.dQ-0-=-'^-0,而M=贝lJ9+^^9=0.

24441

这是简谐方程，故绝缘棒的运动是简谐运动，其周期为7=29区=2%二练.

VK73kdQ

12.（2019•全国•高三竞赛）（1）一维电磁驻波E（x）=Asin化无）在无方向限制在x=0和

x之间.在两个端点处驻波消失，求心的可能值.

（2）弦理论认为物理空间多于三维，多出的隐藏维空间像细圆柱的表面一样卷了起来，如

图中》坐标所示，设圆柱的半径为匕（，。），在圆柱面上电磁波的形式为

£（%,y）=Asin（V）cos（^y）,其中>是绕圆柱的折叠空间的坐标.求心的可能值.

（3）光子能量卬=?也；+后,其中//c=1239（eVxs）,eV表示1电子伏特，1〃机等于

9

10~m.目前人类能产生的最高能量的光子大约为LOxlO/W如果该能量能够产生一个

折叠空间的光子，6的值满足什么条件？

FJTT

【答案】(1)k1=一,n=l,2,3,...(2)k=—,m=l,2,3,...(3)

ab

1939

b>----xl0-12zzm«2xlO-lonm

2兀

【解析】

【详解】

(1)要使得电磁波在两端形成驻波，则长度应是半波长的整数倍，相位满足:

ka=mt,即/=—,n=l,2,3,....

xa

(2)要使得电磁波在>方向上的形式稳定为E(x,y)=Asin(&x)cos(%y),则圆柱的周长

应为波长的整数倍，相位满足：&2位=2/即，即号=7，m=l,2,3,....

b

所以，1239/H—<1012,^b>^-x-[O'2nm^2xlO^onm

2兀b2兀

13.(2019•全国•高三竞赛)在图1所示的二极管电路中，从A端输入图2所示波形的电

压，若各电容器最初都没有充电，试画出8、。两点在三个周期内的电压变化.将三极管

当作理想开关，B点电压的极限是多少？

【答案】2U。

【解析】

【详解】

将过程分为三个阶段，记为夕、

在第一个!周期内，%增加，UA>UD>0,因此二极管■截止；又因。加20,二极管

4

，保持导通，等效电路如图1所示，在此阶段U»=UB=UA/2,记为a

然后以开始减小，但保持不变，最初仍然大于零，因此，2依然截止.不过

正在逐渐减小，所以R截止.由于电容上的电荷无处可走，4保持不变，U"也保持不

变.这个阶段一直持续到。0=0,这一过程等效电路如图2所示，记为。.

不过，UD<。是不可能的，所以U"=。直至这一过程等效电路如答图3所示，

记为九

下面心又从-U。开始增加，然后Us又保持在-U。不变（再次处于"阶段），而停

留在4/2,直到6,升至当6,=4时月阶段结束.

而后新的a阶段又开始了.

每个周期均按一夕的次序通过各个阶段，但是电路并不是随时间周期变化的，这

可以从图4中看出.%等比地趋近于2U。，即是说234,3-U。，3沁

248

14.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，一电容器由一圆形平行金属板构成，金属板的半径

为R,间距为d,现有一点尸，在两金属板的中位面（即平行于两板，且平分两极板所夹

区域的平面）上，尸到两中心。的距离为R+『（r>0）R,已知极板所带的面电荷密度为

士o'，且Rard,试求尸点的场强大小导

【解析】

【详解】

我们用磁场来类比，引入假想的磁荷4网、q“”,且定义

F=J_=^^r,且=4.

4兀〃。r3%4兀〃°r

下面我们通过磁偶极子与环电流找到联系：

对于一士心,的磁偶极子，磁矩=4/,而对于一个电流为/的线圈，磁矩p==4/S,当

p„,=p,,'时，有4/=氏IS.

对于此题，我们认为上、下两极板带磁荷面密度为±6“，则对于AS面积中的上、下磁荷，

我们看作磁偶极子，则若用环电流代替，=,

所以，/=必.

4o

于是，该两带电磁荷板可等效为许多小电流元的叠加，而这样的电流源会在内部抵消，最

ad

后只剩下最外层一大圆，且/r

Ao

在尸点处的磁场强度，由于H?r,故可认为由一距尸距离为一的无限长通电导线所产生，

BI<jd

且其中的电流为/,则TT=丁=丁」.

42兀厂2兀〃0-

「od

由于电、磁场在引入磁荷后，在形式上完全一样，则斗=7^—

15.（2019•全国•高三竞赛）在一环形铁芯上绕有N匝外表绝缘的导线，导线两端接到电动

势为£的交流电源上，一电阻为R、自感可略去不计的均匀细圆环套在这环形铁芯上，细

圆环上。、b两点间的环长（劣弧）为细圆环长度的将电阻为r的交流电流计G接在

n

。、6两点，有两种接法，分别如图1、图2所示，试分别求这两种接法时通过G的电流

【答案】N［（n-l）R+n2r~\

【解析】

【详解】

解法（1）：细圆环中的电动势为分=（.

细圆环上仍段的电阻为

劣弧见=工

n

(n-l)T?

优弧

n

如题图1中接上G后，G的电阻「与此〃并联，然后再与Rj串联，这时总电阻便为

6=4+q'=旦+

r+nr+Rn

I-SR~G________\______

于是，总电流（通过优弧Rj的电流）为「R「NrR

nr+Rn

（请读者自行推导此式）

R

nj.R[

则通过G的电流为彳

县+='nr+R'+

n

（请读者自行推导此式）

解法（2）：如题图2中接上G后，G的电阻厂与此；并联，然后再与降串联，这时总电阻

便为

rR(n-l)rT?R

凡=—h+&，b=+—.

nr+(n-l)7?n

r+Rab

_______]

I=—=—

于是，总电流（通过劣弧R必的电流）为2R?N(n-l)r/?1R,

nr+(n-l)Rn

则通过G的电流为J=

16.（2019•全国•高三竞赛）表面绝缘的细导线绕成一个半径为R的平面圆盘，一头在盘中

心，一头在盘边缘，沿半径每单位长度为〃匝，如图所示.当导线中载有电流/时，将每

匝电流都当作圆电流，试求圆盘轴线上离盘心为厂处尸点的磁感强度2

unI.R+1r~+R~R..

【答案】-T-In------------------/,方向沿轴线向右

2Ir\+R2

【解析】

【详解】

由毕奥一萨伐尔定律和对称性可知，半径为R的圆电流J在轴线上离圆心为r处产生的磁感

强度8沿/的右旋进方向，其大小为

jUIdlsin90°4/•271HR〃。加2

B=Qsin6=

可产+心）.+&卜2+炉产①

R〃。点

所以,八…f«②

式中，为电流/的右旋进方向（即图中沿轴线向右）的单位矢量.

图中沿半径dR长度上的匝数为加以，其电流为"=〃/由?.由式②,，这电流在P点产生的

磁感强度为

加2骨箸…

4

R+J产+&、R

In

2r4r2+R2

7

22

17.（2019•全国•高三竞赛）一载有电流/的导线弯成椭圆形，椭圆的方程为二+与=1,

ab

a>b,如图所示，试求/在椭圆中心。产生的磁感强度3。

【答案］名旦

nb

【解析】

【详解】

根据毕奥-萨伐尔定律，椭圆上的电流元Id/在椭圆中心。产生的磁感强度为

4/d/xr

。一①

式中r是电流元/d/到。的矢量，有

dZxr=(d/)rsin^e1,②

式中6为垂直于纸面向外的单位矢量，由图乙可见

(d/)=sin°=nie.③

将式②③代入式①便得

④

4兀r

为了积分，换成用极坐标表示，以椭圆中心。为极点，X轴为极轴，如图所示，便有

x-rcosO,y=rcosO.⑤

代入椭圆方程得

Oh，⑥

得出1=-yjb2cos20+a2sin20.⑦

rab

代入式④得所求的磁感强度为

="。/[2kyjb1cos20+a1sin20d0e,.⑧

471abJ。

这个积分是一种椭圆积分，为了化成标准形式，作如下变换:

⑨

所以，b1cos26+a?sin20=b2sin2(/)+a2cos2°

=<72-(^a2-Z?2)sin20.⑩

代入式⑧，并由6-/卜是。的以兀为周期的函数,便得

B。二悬』：“亚-(I-63in20d网

=篝『乒尹冉d四

=比-/sin?阿网,⑪

式中，e是椭圆的离心率,

式⑪中的积分叫作第二类全椭圆积分，其值为

E-J：^/1-e2sin2<j)A<j)--1-

于是得所求的磁感强度为

线=写=/⑭

本题从练习功能上讲，与上题有相似之处，特别是在积分技巧方面，肯定是需要中学生特

别注意并加以训练的.

既然竞赛不再回避积分运算，那么二次函数的积分一定是竞赛生需要掌握的内容，希望本

章中的相关练习题对读者有所帮助.

22

18.（2019•全国•高三竞赛）电流/沿双曲线流动，双曲线方程为=1,如图所

ab

示.试求/在焦点尸产生的磁感强度3小

【答案】第

【解析】

【详解】

本题用平面极坐标求解较方便，以焦点尸为极点，龙轴为极轴，如图所示，将双曲线方程

用平面极坐标表示为

ep

r=-------------

1-ecos。

式中。和e与题给的参数。和6的关系如下:

b2b2

p=—②

c^a2+b2'

③

④

a-yja2+b2cos0

由毕奥-萨伐尔定律，有

MUxr

dg=⑤

4兀

由图可知，焦点的磁感强度外垂直于纸面向外，于是得

叫」。/（d理n竺％⑥

式中。是d/与"（d/到焦点尸的矢量）之间的夹角，/是垂直于纸面向外的单位矢量.

由图可见

（d/）sine=M⑦

代入式⑥得

dBF=^-d3e,.⑧

4兀厂

将式④代入式⑧得

dB=-.⑨

F4兀rb\'

积分得B=-^-[2n（a-yla2+b2cos^d^,

F4兀而Jo\/

22

=\a0-y/a+bsin0~\ex

471rbL-10=o

课er⑩

Zb

本题与上题一样，也是有关二次函数的积分，其难度体现在积分计算的技巧上，供大家练

习、巩固.

19.（2019•全国•高三竞赛）导体杆水平挂在两根柔软导线上，放入磁感强度3=17的竖直

向下的磁场中（如图所示）.杆长/=0.2相，质量根=10g,导线长4=0.而电容

C=100xl0-6F,电容器充电到电压。=100V,接到导线的固定点上.求：

(1)当电容器放电后(可以认为在很短时间内放完电)，系统离开平衡位置的最大偏角为

多少？

(2)如果当电容C。=10x10-6尸的电容器充电到相同电压再接入系统时，系统最大偏角

a。=2°,那么当接上另一个电容器并且也充电到相同电压再接入系统时，系统最大偏角

at=3°,则该电容器的电容为多少？

【答案】(1)«®12(2)01=15x10"

【解析】

【详解】

(1)当电容器接通时电流i开始通过杆，由此受到安培力作用:

F=BU.

电流随时间从最大值平稳地减小到零，所以安培力与时间有关.

由于电容器放电时间加很短，可以认为在加时间内杆离开平衡位置位移小并且杆在水平方

向获得动量P.将时间4分成大量元段，其间每一元段的安培力可以认为是恒定的，根据

动量定理列出方程

p==Blq,及v=E=巩q.

mm

式中4为通过杆的电荷.到电容器放电完毕时，*=CU,

BICU

所以，v=--------

m

2

根据机械能守恒定律，有gmv=mglA(1-cosa).

B2l2C2U2

由此得l-cosa=Fy-c72.

2gli2gl、m

但是1-cosa=2sin2—,

2

及a=2arcsinBlC^_=2arcsin0.1~12°

2m弧

.aBIU万.a,BIU万

(2)因为sin—0^=------/=C,sin—------7=C.,

口为22〃?疯022m而

.a,

sin—1

所以，Q=-2_c0

sin」

2

考虑到安仁均为小角，所以,S吟喈，S畤吟,

结果得到C=&C°=15xlO-6尸.

«0

首先，本题解答过程中的。=汇况”=瓦＞＞加=3〃是计算安培力的冲量的典型方法，其

结论可作为推论进行应用，这一推论不论是在常规教学还是在竞赛中都有极为广泛的应

用；

其次，基于现阶段的知识掌握，题目设置了电容器“可以认为在很短的时间内放完电”这一

条件，忽略放电结束时剩余电荷的存在，这实际上是基于学生没有学习电磁感应的一种近

似.因为，当电容器放电结束时，由于金属杆在磁场中的运动，必然会产生感生电动势，

亦即电容器两端还会有一定的电压，则电容器上的电荷也就不可能全部放完.

20.（2019•全国•高三竞赛）台式或墙式电流计是一种很灵敏的电流计，它的矩形线圈由金

属丝悬挂在圆柱形铁芯和永磁铁之间的狭缝里，这狭缝里的磁场线是辐射状的；金属丝上

固定了一个小反光镜，镜前有照明光源和圆弧形标尺（圆弧的中心在线圈的转轴上），如图

所示.当线圈内有电流/通过时，线圈便受力而转动.已知线圈是由表面绝缘的细导线密

绕而成的，长为“，宽为6,共有N匝，金属丝的扭转系数为3磁感强度为8,弧尺的

半径为R.

（1）试求电流为/时，磁场作用在线圈上的力矩〃和线圈的偏转角度6.

（2）当弧尺上的光点偏转为/R）时，通过电流计的电流是多少？

【解析】

【详解】

（1）由于线圈所在处的磁场呈辐射状，故磁场作用在线圈上的安培力矩的大小为

M=NIabB.

当线圈偏转的角度为。时，便有妞="，所以，d=a坐.

k

（2）由图可见，弧尺上的光点偏转/（/R）时，线圈的偏转角为

磁电式电流表的内部结构中，指针偏转平衡是通电线圈产生的磁力矩与扭转弹簧（或金属

丝）间构成的平衡，在这一平衡中，一方面磁力矩的大小与线圈中的电流/成正比，另一

方面是弹簧的扭转力矩与扭转的角度e成正比，于是有68/,这也是磁电式电表刻度均匀

的原因.

本题中金属丝上的反光系统起到了放大扭转特性的作用，在很多微小的扭转装置中均有应

用.

21.（2019•全国•高三竞赛）距地面九高处水平放置距离为L的两条光滑金属导轨，跟导轨

正交的水平方向的线路上依次有电动势为£的电池，电容为C的电容器及质量为优的金属

杆，如图所示，单刀双掷开关S先接触头1,再扳过接触头2,由于空间有竖直向下的强度

为B的匀强磁场，金属杆水平向右飞出做平抛运动.测得其水平射程为问：电容器最

终的带电量是多少？

【解析】

【详解】

先由电池向电容器充电，充得电量Q°=C£,之后电容器通过金属杆放电，放电电流是变

化电流，安培力歹也是变力，我们选取一个微元时间进行研究，根据动量定理有

FM=BUNt,BPBL\q=mAv.

对上式两边求和有BLq=mv，其中q是电容器所放电量.

/17

又v=,h=-gt，

mvms

综合得V=s.1乙，所以，q

2hBLBLV2h

ms

电容器最终带电量为。=2-q=Ceg

BL\2h

本题与第10题属同一类型的试题，都是电容器放电时，对放电电流产生的冲量效果的研

究.

根据动量定理来研究磁场力冲量产生的效果，实际上就是寻找电量和导体动量变化的关

系.

本题所给的模型，实际上就是电磁炮的雏形，有很大的拓展空间，读者可对电容器的放电

情形及相关模型进行归类训练.

22.（2019•全国•高三竞赛）如图所示，设在讨论的空间范围内有磁感强度为2、方向垂直

纸面向里的匀强磁场，在纸面上有一长度为的光滑绝缘空心细管在其“端内有一

质量为加、电量为+4的小球匕，管的N端外侧有另一不带电的小球鸟.开始时A相对管

静止，管带着片以垂直管方向的速度匕向右运动，鸟则以鸟的速度向反方向运动.如果片

从N端离开后最终能与外相碰，试求Vz的值.设B、h、机、q、匕均已知，且管的质量

远大于机，并忽略重力的作用

【解析】

【详解】

粒子4在图中水平被空心细管带着向右匀速运动，则会产生一个竖直向上的洛仑兹力，其

大小恒为Bqv-因此粒子在该方向上做匀加速运动，粒子《的整体运动为一类平抛运动.

粒子A离开细管后，做匀速圆周运动，且=L=卜窑

d上同士tanO'=-----=L=—=tan0

又由图有rm\匕，

qB

所以，6轨迹圆心。在细管出发位置正上方.故有6化+幻=%,

其中/2=仃_=7.-4怨（a=1,2,3,1）,

2兀Iit）qB

W-t