第2课时空间几何体的表面积和体积2022-2022高考冲刺

第2课时空间几何体的表面积和体积（理科）2022---2022高考真题1、（2022全国卷2理9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（A）1（B）（C）2（D）32、（2022北京理8）如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），则四面体PEＦＱ的体积（Ａ）与ｘ，ｙ，ｚ都有关（Ｂ）与ｘ有关，与ｙ，ｚ无关（Ｃ）与ｙ有关，与ｘ，ｚ无关（Ｄ）与ｚ有关，与ｘ，ｙ无关3、（2022全国卷1理12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为(A)(B)(C)(D)4、（2022安徽理8）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为A、280 B、292 C、360 D、372.5、（2022浙江理12）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是___________.6、（2022江西理数）16.如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且>>,分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的大小关系为。7、（2022天津理数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为8、（2022湖北理13）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm。9、（2022福建理12）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于．10、（2022四川理数18）已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.11、（2022·海南宁夏卷·文9,理8）如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（A）（B）（C）三棱锥的体积为定值（D）12、（2022·辽宁卷·理11）正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为()．（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：213、（2022·上海卷·理）已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，满足的等量关系是___________．14、（2022·江苏卷·8）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4．类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．15、（2022湖北，3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（） A． B． C． D．16、（2022重庆，9）如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点。设V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系式中正确的是（） A． B． C．V1>V2 D．V1<V217、（2022陕西，6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是（） A． B． C． D．18、（2022全国II，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.19、（2022天津，12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为。20、（2022福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长为，则其外接球的表面积是。21、（2022上海春，8）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=。22、（2022上海春，16）如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠A2AC=∠ACB=，∠AA1C=，侧棱BB1与底面所成的角为，AA1=，BC=4。求斜三棱柱ABC—A1B1C1的体积V。答案与解析1、C2、D3、B4、C【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。5、解析：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图，由卷中所给公式计算得体积为144，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题6、【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过补形，借助长方体验证结论，特殊化，令边长为1，2，3得。7、【解析】由三视图可知，该几何体为一个底面边长为1，高为2的正四棱柱与一个底面边长为2，高为1的正四棱锥组成的组合体，因为正巳灵珠的体积为2，正四棱锥的体积为，所以该几何体的体积V=2+=8、4【解析】设球半径为r，则由可得,解得r=4.9、【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为，侧面积为，所以其表面积为。10、解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点所以AM所以MO由AA’⊥AK，得MO⊥AA’因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’所以AK⊥BD’所以MO⊥BD’又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’过点N作NH⊥BC’于H，连结MH则由三垂线定理得BC’⊥MH从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角MN=1,NH=Bnsin45°=在Rt△MNH中，tan∠MHN=故二面角M-BC’-B’的大小为arctan2(3)易知，S△OBC=S△OA’D’，且△OBC和△OA’D’都在平面BCD’A’内点O到平面MA’D’距离h＝VM-OBC=VM-OA’D’=VO-MA’D’=S△MA’D’h=解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点所以M(1,0,),O(,,),=(0,0,1),=(-1,-1,1)=0,+0=0所以OM⊥AA’,OM⊥BD’又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)=(0,-1,),＝(－1,0,1)即取z＝2,则x＝2,y＝1，从而=(2,1,2)取平面BC'B'的一个法向量为＝(0,1,0)cos由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角故二面角M-BC'-B'的大小为arccos(3)易知，S△OBC＝S△BCD'A'＝设平面OBC的一个法向量为＝(x1,y1,z1)＝(－1,－1,1),＝(－1,0,0)即取z1＝1,得y1＝1，从而＝(0,1,1)点M到平面OBC的距离d＝VM－OBC＝11、D【解析】易知，而，所以，故A正确；∥面ABCD是显然的，故B也正确；对C，当时，易知，所以=为定值，故C也正确，从而用排除法可知D是错误的．【点评】本题主要考查的立体几何线线、线面位置关系，线线所成的角及空间图形的体积计算等知识，考查空间想象能力．ABCDABCDEFH在底面正六边形ABCDER中BH＝ABtan30°＝AB而BD＝AB故DH＝2BH于是VD－GAC＝2VB－GAC＝2VP－GAC13、【解析】；【解析】依题意可知，从而有，又因为，从而有，所以有，所以填写答案为：14、1∶8【解析】由题意知，面积比是边长比的平方，由类比推理知：体积比是棱长比的立方．【点评】本题考查立体几何、合情推理之类比推理．15、B【解析】截面圆的半径为1，又球心到截面距离等于1，所以球的半径，故球的体积，故选B。16、D【解析】设大球半径为2，则小球的半径为1，则V2>V1，故选D。17、C【解析】过S作SO⊥面ABC于O，由已知O为球心，连OB、OC，则O为正△ABC的中心，且OB=OS=1，易求底面边长为故选C。18、【解析】设正四棱柱高为a，由长方体与球的切接性质知4=1+1+a2，则，∴正四棱柱的表面积为S=1×1×2+4