2022年湖南省常德市中考数学试卷及答案

2022年湖南省常德市中考数学试卷一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）在，，﹣，π，2022这五个数中无理数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（3分）国际数学家大会每四年举行一届，下面四届国际数学家大会会标中是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）计算x4•4x3的结果是（）A．x B．4x C．4x7 D．x114．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适 B．“煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件 C．一组数据的中位数可能有两个 D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式5．（3分）从1，2，3，4，5这五个数中任选两个数，其和为偶数的概率为（）A． B． C． D．6．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，则k的取值范围是（）A．k＞4 B．k＜4 C．k＜﹣4 D．k＞17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（）A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF8．（3分）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．（3分）|﹣6|＝．10．（3分）分解因式，x3﹣9xy2＝．11．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围为．12．（3分）方程+＝的解为．13．（3分）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是．14．（3分）今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是分．15．（3分）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD＝BA，BE＝BC，则△ABC的面积是．16．（3分）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；…；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．（5分）计算：30﹣（）﹣2sin30°+cos45°．18．（5分）解不等式组．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．（6分）化简：（a﹣1+）÷．20．（6分）小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．（7分）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．22．（7分）2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．（8分）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于B，E是OA上的一点，ED∥BC交⊙O于D，OC∥AD，连接AC交ED于F．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝8，AE＝1，求ED，EF的长．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．（10分）如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；（3）在（2）的条件下，P是抛物线上的动点，当PA﹣PB的值最大时，求P的坐标以及PA﹣PB的最大值．26．（10分）在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD．（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD；②BO•GD＝GO•FC．（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明．

2022年湖南省常德市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）1．【解答】解：﹣＝﹣2，无理数有：，π共2个，故选：A．2．【解答】解：∵将图形绕着一点旋转180°后能和它本身重合的图形是中心对称图形，∴选项B符合上述特征，故选：B．3．【解答】解：原式＝4•x4+3＝4x7，故选：C．4．【解答】解：A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，应采用折线统计图最合适，不符合题意；B．“煮熟的鸭子飞了”是一个不可能事件，不符合题意；C．一组数据的中位数只有一个，不符合题意；D．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，符合题意，故选：D．5．【解答】解：画树状图如图：∴共有20种等可能的结果，其中两个数的和为偶数的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），共8种，∴这五个数中任选两个数的和为偶数的概率为．故选：B．6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0无实数解，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＜0，解得：k＞4，故选：A．7．【解答】解：A、由旋转的性质可知，CB＝CE，∠BCE＝60°，∴△BCE为等边三角形，∴BE＝BC，本选项结论正确，不符合题意；B、在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，点F是边AC的中点，∴AB＝AC＝CF＝BF，由旋转的性质可知，CA＝CD，∠ACD＝60°，∴∠A＝∠ACD，在△ABC和△CFD中，，∴△ABC≌△CFD（SAS），∴DF＝BC＝BE，∵DE＝AB＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥DE，BF＝DE，本选项结论正确，不符合题意；C、∵△ABC≌△CFD，∴∠DFC＝∠ABC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；D、在Rt△GFC中，∠GCF＝30°，∴GF＝CF，同理可得，DF＝CF，∴DF＝3GF，故本选项结论错误，符合题意；故选：D．8．【解答】解：将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；将（9，91）代入＝10≠9，＝，∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．【解答】解：﹣6＜0，则|﹣6|＝﹣（﹣6）＝6，故答案为6．10．【解答】解：x3﹣9xy2＝x（x2﹣9y2）＝x（x+3y）（x﹣3y），故答案为：x（x+3y）（x﹣3y）．11．【解答】解：由题意得：x﹣4＞0，解得：x＞4，故答案为：x＞4．12．【解答】解：方程两边同乘2x（x﹣2），得4x﹣8+2＝5x﹣10，解得：x＝4，检验：当x＝4时，2x（x﹣2）＝16≠0，∴x＝4是原方程的解，∴原方程的解为x＝4．13．【解答】解：由图可得，“神”字对面的字是“月”，故答案为：月．14．【解答】解：她的最后得分是85×40%+88×40%+92×10%+90×10%＝87.4（分），故答案为：87.4．15．【解答】解：连接DE，CD，∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为2，∴S△BDE＝S▱BDFE＝1，∵BE＝BC，∴S△BDC＝4S△BDE＝4，∵BD＝BA，∴S△ABC＝3S△BDC＝12，故答案为：12．16．【解答】解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，多边形的边数增加4，第一次，将其中两个边分成四条边，且剪刀所在那条直线增加两条边，即为2+2×2+1×2＝8＝4+4×1（边），分成两个图形；第二次，边数为：8﹣2+2×2+2×1＝12＝4+4×2，分成三个图形；……；当剪第n刀时，边数为4+4n，分成（n+1）个图形；∵最后得到10张纸片，设还有一张多边形纸片的边数为m，∴令n＝9，有4+4×9＝5+3×3+5×4+m，解得m＝6．故答案为：6．三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）17．【解答】解：30﹣（）﹣2sin30°+cos45°，＝1﹣4×+2×，＝1﹣2+2，＝1．故答案为：1．18．【解答】解：由5x﹣1＞3x﹣4，得：x＞﹣，由﹣≤﹣x，得：x≤1，则不等式组的解集为﹣＜x≤1．四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）19．【解答】解：（a﹣1+）÷＝[+]•＝•＝．20．【解答】解：设平常的速度是x千米/小时，根据题意，得，解得x＝60，经检验，x＝60是原方程的根，4×60＝240（千米），答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）21．【解答】解：（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，解得：k＝4，∴y2＝，由，解得：，，∴B（﹣2，﹣2），由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，∵A（2，2），∴AE＝OE＝2，∴△AOE是等腰直角三角形，∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，∵四边形ACBD是菱形，∴AB⊥CD，OC＝OD，∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，∵∠DFO＝90°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴DF＝OF，∵菱形ACBD的周长为4，∴AD＝，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，∴DF＝OF＝1，∴D（1，﹣1），由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．22．【解答】解：（1）×100%＝21%，∴本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；（2）2000×（1﹣40%﹣27%﹣7%﹣10%）＝320（人），∴若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的有320人；（3）（答案不唯一，合理即可）如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）23．【解答】解：如图，过点F作FN⊥BC于点N，交HG于点M，则AB＝AH﹣EM+EN．根据题意可知，∠AHF＝∠EMF＝∠EMG＝90°，EN＝40（米），∵HG∥BC，∴∠EGM＝∠ECB＝36°，在Rt△AHF中，∠AFH＝40°，AF＝50，∴AH＝AF•sin∠AFH≈50×0.64＝32（米），在Rt△FEM和Rt△EMG中，设MG＝m米，则FM＝（7﹣m）米，∴EM＝MG•tan∠EGM＝MG•tan36°＝0.73m，EM＝FM•tan∠EFM＝FM•tan25°＝0.47（7﹣m），∴0.73m＝0.47（7﹣m），解得m≈2.7（米），∴EM＝0.47（7﹣m）≈2.021（米），∴AB＝AH﹣EM+EN≈32﹣2.021+40≈70（米）．∴此大跳台最高点A距地面BD的距离是70米．24．【解答】（1）证明：连接OD，∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD，∠DOC＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠OAD，∴∠BOC＝∠DOC，在△BOC和△DOC中，，∴△BOC≌△DOC（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点D作DH⊥BC于H，∵ED∥BC，∴∠OED＝180°﹣∠ABC＝90°，则四边形EBHD为矩形，∴BH＝ED，DH＝BE＝7，∵AB＝8，AE＝1，∴OE＝3，∴ED＝＝＝，∵CB、CD是⊙O的切线∴CB＝CD，设CB＝CD＝x，则CH＝x﹣，在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2，即72+（x﹣）2＝x2，解得：x＝4，即BC＝4，∵ED∥BC，∴＝，即＝，解得：EF＝．七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）25．【解答】解：（1）∵抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把A（5，5）代入，得5a＝5，解得：a＝1，∴y＝x（x﹣4）＝x2﹣4x，故此抛物线的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B（2，m）（m＞0），设直线OA的解析式为y＝kx，则5k＝5，解得：k＝1，∴直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），∴BH＝m﹣2，∵S△OAB＝15，∴×（m﹣2）×5＝15，解得：t＝8，∴点B的坐标为（2，8）；（3）设直线AB的解析式为y