数理统计 假设检验

数理统计假设检验第1页/共55页二、单个正态总体均值和方差一、参数的假设检验第四章假设检验的假设检验三、两个正态总体均值相等和方差相等的假设检验第2页/共55页例怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？罐装可乐的容量按标准应是355毫升.通常的办法是进行抽样检查.

每隔一定时间，抽查若干罐.

如每隔1小时，抽查5罐，得5个容量的值X1，…，X5，根据这些值来判断生产是否正常.

很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大的情况下就判断生产

不正常，也不能总认为正常，有了问题不能及时发现，这也要造成损失.第3页/共55页

如何处理这两者的关系，假设检验面对的就是这种矛盾.

在正常生产条件下，由于种种随机因素的影响，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动.这些因素中没有哪一个占有特殊重要的地位.因此，根据中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理的.现在我们就来讨论这个问题.第4页/共55页称H0为原假设（或零假设）；H1为备选假设（或对立假设）.在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.H0：（=355）H1：X1,…,X5是取自正态总体的样本，是一个常数.当生产比较稳定时，检验假设：可从历史资料获得的值.那么，如何判断原假设H0

是否成立呢？第5页/共55页较小时，可以认为H0是成立的；当-

||生产已不正常.当较大时，应认为H0不成立，即-

||问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质.差异可能是由抽样的随机性引起的，称为“抽样误差”或随机误差这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机波动.然而，这种随机性的波动是有一定限度的，第6页/共55页如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样的随机性来解释了.必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即反映了生产已不正常.这种差异称作“系统误差”是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的？根据所观察到的差异，这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生.第7页/共55页实际推断原理（小概率原理）通过大量实践，人们对小概率事件（即在一次试验中发生的概率很小的事件）总结出一条原理：小概率事件在一次试验中几乎不会发生并称此为实际推断原理，其为判断假设的根据。在假设检验时，若一次试验中小概率事件发生了，就认为是不合理的。小概率事件在一次试验中发生的概率记为α，一般取在假设检验中，称小概率α为显著水平、检验水平。一、假设检验的思想方法第8页/共55页信息看在H0成立下会不会发生矛盾。最后对H0成立与否作出判断：中居然发生，若小概率事件发生了，则否定H0。若不发生，则接受H0，并称H0相容。概率反证法的逻辑是：如果小概率事件在一次试验我们就以很大的把握否定原假设.假设检验使用的方法是概率论的反证法：即先对所关心的问题提出原假设H0,然后运用样本第9页/共55页

不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.所以假设检验又叫“显著性检验”第10页/共55页由于作出结论的依据是下述小概率原理小概率事件在一次试验中基本上不会发生.不是一定不发生

如果H0成立，但统计量的实测值落入否定域，从而作出否定H0的结论，那就犯了“以真为假”的错误.

如果H0不成立，但统计量的实测值未落入否定域，从而没有作出否定H0的结论，即接受了错误的H0，那就犯了“以假为真”的错误.两类错误：假设检验会不会犯错误呢第11页/共55页

假设检验的两类错误H0为真实际情况决定拒绝H0接受H0H0不真弃真正确正确取伪P{拒绝H0|H0真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯两类错误的概率:显著性水平为犯第一类错误的概率.P{第一类错误}=P{第二类错误}=第12页/共55页对给定的显著性水平α，H0关于的接受域：H0关于的拒绝域：第13页/共55页把本来正确的东西给丢弃了这就范了“弃真”的错误，其概率是P{拒绝H0|

真}=而结论是：若落在H0的接受域内，就接受H0，但结论是：若落在H0的拒绝域内，就拒绝H0，（1）在H0正确的情况下，落在R上的每一点都是可能的范了“取伪”的错误，第14页/共55页

注意：积分区间长度不变：

但积分区间的中心第15页/共55页（2）要同时降低两类错误的概率或者要在不变的条件下降低，需要增加样本容量.（1）当样本容量固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.因α减少，积分区间长度：第16页/共55页

实际问题中，我们希望两类错误都能得到控制。一般多是控制第I类错误的概率到适当程度而不管第II类错误的大小，这种检验叫显著性检验。第17页/共55页4.2单个正态总体均值与方差的假设检验设总体为X的样本。我们对μ,σ2作显著性检验一、总体均值μ的假设检验1、已知σ2，检验（H1可以不写）其中μ0是已知常数，在实际工作中，往往把不轻易否定的命题作为原假设.第18页/共55页提出原假设和备择假设第一步：1.已知已知，第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布第三步：查表确定临界值,使对给定的显著性水平检验假设的过程分为五个步骤：或得H0否定域第四步：将样本值代入算出统计量第19页/共55页选择假设H1

表示Z可能大于μ0，也可能小于μ0。这称为双边假设检验。由于取用的统计量服从Z(U)分布，第五步：判断则否定H0，接受H1则H0相容，接受H0故称其为Z(U)检验法。0第20页/共55页例1某车间生产铜丝，X的大小。铜丝的主要质量指标是折断力由资料可认为今换了一批原料，从性能上看，估计折断力的方差不会有变换，但不知折断力的大小有无差别。解方差已知抽出10个样品，测得其折断力（斤）为进行检验。提出假设（=0.05）第一步：第21页/共55页第二步：取统计量，在H0成立下求出它的分布第三步：查表确定临界值,使对给定的显著性水平得H0否定域第四步：将样本值代入算出统计量第22页/共55页第五步：判断说明小概率事件竟在一次试验中发生了，故否定H0.可以接受H1。第23页/共55页2、未知σ2，检验（H1可以不写）未知σ2，可用样本方差代替σ2检验步骤提出原假设和备择假设第一步：第二步：取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布第三步：查表确定临界值,使对给定的显著性水平确定H0的否定域。第24页/共55页即“”是一个小概率事件.或由于取用的统计量服从t分布，第四步：得H0否定域将样本值代入算出统计量第五步：判断则否定H0，接受H1则H0相容，接受H0故称其为t检验法。第25页/共55页抽取6件,得尺寸数据如下:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03问这批产品是否合格?…某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5毫米.实际生产的产品其长度X假定服从正态分布，未知，现从该厂生产的一批产品中例2（=0.01）提出假设解已知未知.第26页/共55页取一检验统计量，在H0成立下求出它的分布得否定域对给定的显著性水平查表确定故不能拒绝H0.将样本值代入算出T0的值,没有落入拒绝域第27页/共55页正态总体均值的假设检验小结H0接受域第28页/共55页H0接受域0第29页/共55页测量值X服从正态分布,取=0.05)?解:提出假设H0：=112.6；H1：112.6用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度,重复测量7次，测得温度(℃):112.0113.4111.2112.0114.5112.9113.6而用某种精确办法测得温度为112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有无系统偏差(设温度因为未知方差σ2，故采用t检验法。取统计量例3查表第30页/共55页由样本算得这里H0相容，接受H0。即用热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差。第31页/共55页由于S2为σ2的无偏估计，自然想用S2与σ2进行比较若过大或过于接近0，则说明σ2

偏离σ02较大。因此有理由否定H0。三、关于σ2假设检验在显著性水平条件下检验假设其中σ0是已知常数，取统计量第32页/共55页提出原假设和备择假设第一步：第二步：取一检验统计量，第三步：查表确定临界值对给定的显著性水平确定H0的否定域。或H0否定域第33页/共55页第四步：在样本值下计算第五步：判断若或则否定H0。若则接受H0。第34页/共55页例1已知某种延期药静止燃烧时间T,今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位秒）数据为问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为我们的任务是根据所得的样本值检验第35页/共55页提出假设第一步：第二步：取统计量，第三步：查表确定临界值对给定的显著性水平或得H0否定域解第36页/共55页根据样本值算得则H0相容，接受H0

。可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为显然第四步：第五步：判断第37页/共55页（=0.05）解:提出假设某次统考后随机抽查26份试卷,测得平均成绩:试分析该次考试成绩标准差是否为已知该次考试成绩取统计量例2查表第38页/共55页根据样本值算得则H0相容，故接受H0

。显然表明考试成绩标准差与12无显著差异。第39页/共55页关于σ2假设检验µ已知，其中σ0是已知常数，取统计量或H0否定域第40页/共55页分别是且X与Y独立,X1,X2,…,是取自X的样本,取自Y的样本,分别是样本方差,均值,1.Y1,Y2,…,是样本提出假设H0：1=2

；H1：1≠2

四.检验两正态总体均值相等第41页/共55页取统计量，拒绝域的形式对给定查表确定1.提出假设H0：1=2

；H1：1≠2

第42页/共55页则否定H0，接受H1则接受H0即认为两个正态母体均值无显著差异即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平为由样本值代入算出统计量第43页/共55页H0：1=2

；H1：1≠2

取统计量提出假设拒绝域的形式给定显著性水平第44页/共55页且X与Y独立,1.提出假设

检验两正态总体均值之差取统计量拒绝域的形式给定第45页/共55页算出统计量则否定H0，接受H1则接受H0即认为两个正态母体均值无显著差异注意在关于的假设检验中,通常遇到的情况是，即检验与是否相等.第46页/共55页例3某苗圃用两种育苗方案对杨树进行育苗试验,

已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为cm,cm.cm,设杨树苗高服从正态分布,试在显著性水平下,判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响？现各抽取80株树苗作为样本,算得苗高的样本均值分别为cm.第47页/共55页解