2021年北京市高考数学试卷（文科）

2021年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。TOC\o"1-5"\h\z.（5.00分）已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则AAB=（ ）A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2）.（5.00分）在复平面内，复数的共粗复数对应的点位于（ ）1-1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限.（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）A.IB.旦C.ZD.J2 6 6 12.（5.00分）设a,b,c,d是非零实数，则〃ad=be"是〃a,b,c,d成等比数列〃的（ ）A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（5.00分）〃十二平均律〃是通用的音律体系，明代朱载培最先用数学方式计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次取得十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于1版,若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）A7/ B.%2f…25f6.（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三

2侧（左）视图2侧（左）视图角形的个数为（ ）俯视图A.1B.2C.3D.47.（5.00分）在平面直角坐标系中，鬣，而，茄，丽是圆x2+y2=l上的四段弧（如图），点P其中一段上，角a以Ox为始边，OP为终边.若tana<cosa<sina,贝!]P所在的圆弧是（ ）A-abB.cdC.而D.而（5.00分）设集合A={（x,y）|x-y^l,ax+y>4,x-ay<2},贝I]（ ）A.对任意实数a,（2,1）eAB.对任意实数a,（2,1）EAC.当且仅当a<0时，（2,1）EAD.当且仅当④忘空■时，（2,1）EA2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（5.00分）设向量；3=（1,0）,b=（-l,m）.若日，（m之-b）,则m=.（5.00分）已知直线l过点（1,0）且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的核心坐标为.（5.00分）能说明“若a>b,则』<工”为假命题的一组a,b的值依次为 .ab（5.00分）若双曲线《_- =1（a>0）的离心率为_5,则a=.「 4 2 （5.00分）若x,y知足x+1WyW2x,则2y-x的最小值是.（5.00分）若4ABC的面积为-I（a2+c2-b2）,且NC为钝角，则NB=；4 工的取值范围是.a三、解答题共6小题，共80分。解承诺写出文字说明，演算步骤或证明进程。（13.00分）设｛3｝是等差数列，且a『ln2,a2+a3=5ln2.（I）求｛3｝的通项公式；（口）求eai+e%+...+e%.（13.00分）已知函数f（x）=sin2x+.Msinxcosx.（I）求f（x）的最小正周期；（口）若f（x）在区间[-三，m]上的最大值为反，求m的最小值.3 2（13.00分）电影公司随机搜集了电影的有关数据，经分类整理取得下表：电影类型第一第二第三第四第五第六类类类类类类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中取得好评的部数与该类电影的部数的比值.（I）从电影公司搜集的电影中随机选取1部，求这部电影是取得好评的第四类电影的概率；（口）随机选取1部电影，估量这部电影没有取得好评的概率；（田）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将致使不同类型电影的好评率发生转变.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生转变，那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得取得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）（14.00分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD，平面ABCD,PA±PD,PA=PD,E,F别离为AD,PB的中点.（I）求证：PE±BC；（口）求证：平面PAB，平面PCD；（田）求证：EF〃平面PCD.（13.00分）设函数f（x）=[ax2-（3a+1）x+3a+2]ex.（I）若曲线y=f（x）在点（2,f（2））处的切线斜率为0,求a；（口）若f（x）在x=l处取得极小值，求a的取值范围.（14.00分）已知椭圆1\/1：4+专1（£1>13>0）的离心率为正,焦距为2也.斜率为k的直线I与椭圆M有两个不同的交点A,B.（I）求椭圆M的方程；（H）若匕1,求|AB|的最大值；（III）设P（-2,0）,直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q（-工，1）共线，求k.442021年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。.(5.00分)已知集合A二仪||知<2},B={-2,0,1,2},则AAB=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2）【分析】按照集合的交集的概念进行求解即可.【解答】解：,・,集合A二仪|合<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},.\AnB={0,1},故选：A.【点评】本题主要考查集合的大体运算，比较基础..（5.00分）在复平面内，复数的共辗复数对应的点位于（ ）1-1A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【分析】利用复数的除法运算法则，化简求解即可.【解答】解:复数―—= =_^_j__^_■【解答】解:1-iCl-i)(1+i)2^2共辗复数对应点的坐标（工，-工）在第四象限.2 2故选：D.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，复数的几何意义，是大体知识的考查..（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）A.工B.&C.工D.J-2 6 6 12【分析】直接利用程序框图的应用求出结果.【解答】解：执行循环前：k=l,S=l.在执行第一次循环时，s=i--.22由于k=2W3,所以执行下一次循环.S二2口至，236k=3,直接输出S=—,6故选：B.【点评】本题考查的知识要点：程序框图和循环结构的应用..（5.00分）设a,b,c,d是非零实数,则〃ad=be〃是〃a,b,c,d成等比数列〃的（ ）A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】按照充分条件和必要条件的概念结合等比数列的性质进行判断即可.【解答】解：若a,b,c,d成等比数列,则ad=be,反之数列-1,-1,1,1.知足-1X1=-1X1,但数列-1,-1,1,1不是等比数列，即〃ad=be〃是〃a,b,c,d成等比数列〃的必要不充分条件.故选：B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键..（5.00分）〃十二平均律〃是通用的音律体系，明代朱载埴最先用数学方式计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次取得十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于1世.若第一个单音的频率为3则第八个单音的频率为（ ）A.3引B.〜/氐C.5fD.⑵2讦【分析】利用等比数列的通项公式，转化求解即可.【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于1版.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为：「炳m相q故选：D.【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查计算能力.（5.00分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的正视图侧（左）视图个数为（） 俯视图A.1B.2C.3D.4【分析】画出三视图的直观图，判断各个面的三角形的情况，即可推出结果.【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA,底面ABCD,AO如，CD=世，PO3,PD=2也可得三角形PCD不是直角三角形.所以侧面中有3个直角三角形，别离为：^PAB,APBC,APAD.故选：C.【点评】本题考查简单几何体的三视图的应用，是大体知识的考查.（5.00分）在平面直角坐标系中，淳，CD,而,⑥是圆X2+y2=l上的四段弧（如图），点P其中一段上，角a以Ox为始边，0P为终边.若tana<cosa<sina,则P所在的圆弧是（ ）A.嵋B.CDC.EFD.GH

【分析】按照三角函数线的概念，别离进行判断排除即可.【解答】解：A.在AB段，正弦线小于余弦线，即cosotVsinot不成立，故A不知足条件.在CD段正切线最大，则cosa<sina<tana,故B不知足条件.C.在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，知足tana<cosa<sina,D.在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，知足cosa<sina<tana不满足tana<cosa<sina.故选：C.【点评】本题主要考查三角函数象限和符号的应用，别离判断三角函数线的大小是解决本题的关键.(5.00分)设集合A={(x,y)|x-y^l,ax+y>4,x-ay<2},贝I]( )A.对任意实数a,(2,1)eAB.对任意实数a,(2,1)EAC.当且仅当a<0时，(2,1)EAD.当且仅当aWg时，(2,1)EA2【分析】利用a的取值，反例判断(2,1)£A是不是成当即可.【解答】解：当-1时，集合A={(x,y)|x-y^l,ax+y>4,x-ay<2}={(x,y)|x-y^l,-x+y>4,x+yW2},显然(2,1)不知足，-x+y>4,x+y<2,所以A,C不正确；当a=4,集合A={(x,y)|x-y^l,ax+y>4,x-ay<2}={(x,y)|x-y^l,4x+y>4,x-4yW2},显然(2,1)在可行域内，知足不等式，所以B不正确；故选：D.【点评】本题考查线性计划的解承诺用，利用特殊点和特殊值转化求解，避免可行域的画法，精练明了.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(5.00分)设向量声(1,0),b=(-1,m).若方，(ma-b),则m=-1.【分析】利用向量的坐标运算，和向量的垂直，列出方程求解即可.解：向量一(1,o),%(-1,m).ma-b=(m+1,-m).ma-b=(m+1,-m).,**3-L（mg-b）,m+l=O?解得m=-1.故答案为：-1.【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力.（5.00分）已知直线I过点（1,0）且垂直于x轴.若I被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的核心坐标为（1,0）.【分析】先求出直线x=l,代入抛物线中，求出y,按照I被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,即可求出a,问题得以解决.【解答】解：•・•直线I过点（1,0）且垂直于x轴，.\x=l,代入到y2=4ax,可得y2=4a,显然a>0,，y=±2-a，•・•l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,••4-3=4,解得a=1,y2=4x,，抛物线的核心坐标为（1,0）,故答案为：（1,0）【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，属于基础题.（5.00分）能说明“若a>b,则工<L,为假命题的一组a,b的值依次为a=1,abb=-1.【分析】按照不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可.【解答】解：当a>0,b<0时，知足a>b,但上<工为假命题，ab故答案可以是a=1,b=-1,故答案为：a=1,b=-1.【点评】本题主要考查命题的真假的应用，按照不等式的性质是解决本题的关键.比较基础.（5.00分）若双曲线直-叉：=1（a>0）的离心率为_5,则a=4.「 4 2 【分析】利用双曲线的简单性质，直接求解即可.【解答】解：双曲线乙=1(a>0)的离心率为逅，/4 2可得：且乎二巨，解得a=4.相。故答案为：4.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.(5.00分)若x,y知足x+lWyW2x,则2y-x的最小值是3.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2y-x,贝I]y=—x+—z,22平移y=lx+—z，22由图象知当直线y=ix+lz通过点A时，22直线的截距最小，此时z最小，由卜“二了得[武1,即八(1,2),止匕时z=2X2-1=3,故答案为：3【点评】本题主要考查线性计划的应用，利用目标函数的几何意义和数形结合是解决本题的关键.14.(5.00分)若4ABC的面积为_Jt(a2+c2-b2),且NC为钝角，则NB=2L；4 一m一£的取值范围是 (2,+8).a【分析】利用余弦定理，转化求解即可.【解答】B：△abc的面积为返(a2+c2-b2),可得：—JL(a2+c2-b2)JacsinB,式显二.用，4 2 cosB”、可得：tanB=.5,所以B=2L,NC为钝角，A£(0,三)，cotA£(.5,+8).3 6£=e;nC=sin，A+B)=cosB+cotAsinB=L4_ljlcotA£(2,+8).asinAsinA 2 2故答案为：工_；(2,+°°).3【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力.三、解答题共6小题，共80分。解承诺写出文字说明，演算步骤或证明进程。(13.00分)设｛“是等差数列，且a『ln2,a2+a3=5ln2.(I)求｛aj的通项公式；(II)求eai+ea2+...+e%.【分析】(I)求｛3｝的通项公式；(H)化简数列的通项公式，利用等比数列求和公式求解即可.【解答】解：(I)｛“是等差数列，且a/ln2,a2+a3=5ln2.可得：2a1+3d=5ln2,可得d=ln2,｛a/的通项公式；an=ax+(n-1)d=nln2,(H)e，二B52口二2一.\eai+ea2+...+ea3x=2i+22+23+...+2n=2^-=2n+i-2.1-2【点评】本题考查等差数列和等比数列的应用，数列的通项公式和数列求和，考查计算能力.(13.00分)已知函数f(x)=sin2x+V3sinxcosx.(I)求f(x)的最小正周期；(H)若f(X)在区间［-2L,m］上的最大值为国，求m的最小值.TOC\o"1-5"\h\z3 2【分析】(I)运用二倍角公式的降嘉公式和两角差的正弦公式和周期公式，即可取得所求值；(口)求得2x-2L的范围，结合正弦函数的图象可得2m-工三工，即可取得& & 2所求最小值.【解答】解：(I)函数f(x)=sin2x+V3sinxcosx=^~CQ+2/j_sin2x2 2=sin(2x-2L.)+.L,6 2f(x)的最小正周期为T=”7l;2(口)若f(x)在区间［-三，m］上的最大值为我，3 2

可得2乂-三£[-2，2m-A],6 6 6即有2m-2L三三，解得m^2L,6 2 3则m的最小值为2L.3【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和三角函数的周期公式、最值，考查运算能力，属于中档题..（13.00分）电影公司随机搜集了电影的有关数据，经分类整理取得下表：电影类型第一第二第三第五第六电影类型第一第二第三第五第六第四电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中取得好评的部数与该类电影的部数的比值.（I）从电影公司搜集的电影中随机选取1部，求这部电影是取得好评的第四类电影的概率；（口）随机选取1部电影，估量这部电影没有取得好评的概率；（in）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将致使不同类型电影的好评率发生转变.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生转变，那么哪类电影的好评率增加o.i,哪类电影的好评率减少o.i,使得取得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【分析】（I）先求出总数，即可求出答案，（H）按照互斥事件的概率公式计算即可，（田）由题意可得，增加电影部数多的，减少部数少的，即可取得.【解答】解：（I）总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部，取得好评的第四类电影200X0.25=50,故从电影公司搜集的电影中随机选取1部，求这部电影是取得好评的第四类电影的概率学—二工；200040（口）取得好评的电影部数为140.0.4+50.0.2+300.0.15+200X0.25+800.0.2+510X0.1=372,估量这部电影没有取得好评的概率为1-@”0.814,2000（田）故只要第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,则使得取得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.【点评】本题考查了用频率来估量概率，属于基础题..（14.00分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD，平面ABCD,PA±PD,PA=PD,E,F别离为AD,PB的中点.（I）求证：PE±BC；（口）求证：平面PAB，平面PCD；（田）求证：EF〃平面PCD.【分析】（I）由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证;（口）作出平面PAB和平面PCD的交线，注意运用公理4,再由面面垂直的性质和两个平面所成角的概念，即可得证；（田）取PC的中点H,连接DH,FH,运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证.【解答】证明：（I）PA=PD,E为AD的中点，可得PE1AD,底面ABCD为矩形，可得BC〃AD,则PE±BC；（口）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P,且AB〃CD,在平面PAB内过P作直线PG〃AB,可得PG〃CD,即有平面PABn平面PCD=PG,由平面PAD，平面ABCD,又AB±AD,可得八8，平面PAD,即有AB±PA,PA±PG；同理可得CD^PD,即有PD1PG,可得NAPD为平面PAB和平面PCD的平面角,由PA±PD,可得平面PAB，平面PCD；(HI)取PC的中点H,连接DH,FH,在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH〃BC,FH』BC,2由DE〃BC,DE二工BC,2可得DE=FH,DE〃FH,四边形EFHD为平行四边形，可得EF〃DH,EF。平面PCD,DHu平面PCD,即有EF〃平面PCD.【点评】本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，和面面垂直的判断和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力,属于中档题.19.(13.00分)设函数f(x)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]ex.(I)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a；(H)若f(x)在x=l处取得极小值，求a的取值范围.【分析】(I)求得f(x)的导数，由导数的几何意义可得F(2)=0,解方程可得a的值；(H)求得f(x)的导数，注意分解因式，讨论a=0,a=l,a>l,0<a<l,a<0,由极小值的概念，即可取得所求a的范围.【解答】解：(I)函数f(x)=1x2-(3a+l)x+3a+2]ex的导数为F(x)=[ax2-(a+1)x+l]ex.曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,可得(4a-2a-2+1)e2=0,解得a=l;2(口)f(x)的导数为f'(x)=[ax2-(a+l)x+l]ex=(x-1)(ax-1)ex,若a=0则x<1时，f‘(x)>0,f(x)递增；x>1,f'(x)<0,f(x)递减.X=1处f（X）取得极大值，不符题意；若a>0,且a=l,则F（x）=（x-1）2ex^0,f（x）递增，无极值；TOC\o"1-5"\h\z若a>l,则工<1,f（x）在（工，1）递减；在（1,+8）,（-8,J_）递增，a a a可得f（X）在X=1处取得极小值；若 则1>1,f（x）在（1,1）递减；在（工，+8）,（-8,1）递增,a a a可得f（X）在X=1处取得极大值，不符题意；若a<0,则工<1,f（x）在（［，1）递增；在（1,+8）,（_8,±）递减，a a a可得f（x）在x=l处取得极大值，不符题意.综上可得，a的范围是（1,+8）.【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方式，和运算能力，属于中档题.20.（14.00分）已知椭圆M：J+牵l（a>b>0）的离心率为逅,焦距为2a.斜a/b/ 3率为k的直