圆锥曲线解题技巧和方法综合方法(精心排版)

.(1)中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(x,y)，(x,y)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式1122。xy则有0+0k=0。ab00xy0000典型例题给定双曲线x2y2=1。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点P2112(2)焦点三角形问题三PFF=，三PFF=。1221(1)求证离心率e=； (2)求|PF|3+PF|3的最值。2(3)直线与圆锥曲线位置关系问题.直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常的范围；对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它.B(5)求曲线的方程问题 QCxyM动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数入NOQ(6)存在两点关于直线对称问题Cxy=1，试确定m的取值范围，使得对于直43(7)两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k·k=y·y12=1来处理或用向量的12x·x2.l与抛物线C有两个不同的交点(如图)。(1)求k的取值范围；(2)直线l的倾斜角9为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。(1)充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，典型例题设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2+x2y=0相交于P、Q两点，O(2)充分利用韦达定理及“设而不求”的策略典型例题已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q2(3)充分利用曲线系方程典型例题求经过两已知圆C：x2+y24x+2y=0和C：x2+y22y4=0的交2(4)充分利用椭圆的参数方程.x2y2典型例题P为椭圆+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上a2b2(5)线段长的几种简便计算方法少运算过程bAx，判别式为△，则|AB|=1+k2·|xx|=1+k2·△，若直接用结论，能BAB|a|减少运算B1225912，把到焦点的距离转化为到准线的距离例.1212圆锥曲线解题方法技巧归纳(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容002121(3)弦长公式x1122121(4)两条直线的位置关系①l」l一kk=-1②l//l一k=k且b丰b1212121212mn.aa如：已知F、F是椭圆x2+y2=1的两个焦点，平面内一个动点M满足12432MF一MF=2则动点M29P在椭圆上时，=b2tanF9P在双曲线上时，=b2cot 000p (3)抛物线焦点在x轴上时为|x|+,焦点在p2pp1、点差法(中点弦问题)22.434343(xx)(x+x)(yy)(y+y)3kAB=4b1212=3kAB=4bAxyBxy1122它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决。(1)若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;(2)若角A为900，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.得xx+yy14(y+y)+16=0，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方121212xyxy21+1=1,2+2=1两式作差有(x1+x2)(x1x2)+(y1y2)(y1+y2)=0x0+y0k=0(1)201654F(2,0)为三角形重心，所以由x1+x2=2，得x=3，由y1+y2+4=0得y=2，代入3030解法一：如图，以AB为垂直平分线为解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB 5y121212124+5k2,124+5k2k9y+Dxyyy+9x2一32y一16=09xx993、设而不求法时，求双曲线离心率e的取值范围。a2b2..设双曲线的方程为x2-y2=1，则离心率e=ca2b2a由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=c代入双曲线方程得a①②③43故故3e2+2477EC求解.23377k22分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结得k的值题.k于是，问题即可转化为如上关于x的方程.于是关于x的方程(*)|l2(k2+1)-2k+kx>05点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.在线段AB上取点Q，使AP=-AQ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.PBQB然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目..4(x4(x+x)2xx就是运用题目条件：=就是运用题目条件：=来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到PBQB利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.APAQ=PBQB4(x+x)2xxx=ABABx8(x+x)AByx=f(k)yxxfk简解：设A(x,y),B(x，y),Q(x,y)，则由AP=AQ可得：4x1=xx1，1122PBQBx4xx2x28(x+x) ∴ 在(2)中，由编=-64k2+64k+24>0，解得2-10<k<2+10，结合(3)可求4499.9一条有效通道.94PB94PB取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP=x，但从此后却一筹莫展,问-APBxB其一是构造所求变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程)，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.分析1:从第一条想法入手，AP=-xA已经是一个关系式，但由于有两个变量PBxB.韦达定理B11221APx=一1PBx2，k2k9k2kAPAP5无法直接应用韦达定理，原因在于AP=一x1不是关于x,x的对称关系式.原因找PBx122到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于x,x的对称关系式.12.(*)(*)x入45k2+202在(*)中，由判别式编>0,可得k2>5，95PB5范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，形结合的角度入手，给出又一优美解法.解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里..(Ⅰ)(Ⅰ)写出椭圆方程数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的注意所使用的命题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等)，做到思考缜OFOF=1(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P,Q两点，问：是否存在直线(Ⅱ)k〈得出关于得出关于两根之积两根之积MP•FQ=0m的方程a2b2故椭圆方程为x2+y2=12.r.r(Ⅱ)假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且F恰为PQM的垂心，则1122PQx22y22x22y221221ii得x(x1)(xm)(xm1)0即1221121233经检验m4符合条件．3例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(2,0)、2(Ⅰ)求椭圆E的方程：H(Ⅰ)由椭圆经过A、B、C三点设方程为mx2ny21(Ⅱ)转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大转化为DFH面积最大D为椭圆短轴端点DFH面积最大值为3S周长rDFH2内切圆33内切圆33.|lm+4n=143431 (Ⅱ)|FH|=2，设ΔDFH边上的高为S=根2根h=h编DFH2编DFH2所以R的最大值为3．所以内切圆圆心的坐标为33(0,3).1两点.(Ⅰ)若线段AB中点的横坐标是-1，求直线AB的方程；2若不存在，请说明理由.思维流程：(Ⅰ)解：依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k(x+1)，y1122.(Ⅱ)解：假设在x轴上存在点M(m,0)，使MA.MB为常数.12121212121239 (3)(3) (3)(3)9 (3) (3)kkM(2，1)，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，l交椭圆于A、B(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)求m的取值范围；(Ⅲ)求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：.82(Ⅱ)∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为mOM又K=OM221212112212122212121212=12121212故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形一k+k=012.3=3=Bbab3距离是3.2(1)求双曲线的方程；3AB：xy=1ab=accd==a2+b2故所求双曲线方程为x2y2=1.322002200x==15k.y=kx+5=5,0213k20013k2y+11k=0=.BExk00即15k+5k+k=0,又k0,：k2=7k13k2故所求k=±7.点石成金:C，D都在以B为圆心的圆上一BC=BD一BE⊥CD;(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；.精品 (II)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的a2b2(II)设A(x，y)，B(x，y)．122l4+3=1.|1221212121271.2