湖南省重点中学知识点交汇题型分析及解题策略5

湖南省重点中学知识点交汇题型分析及解题策略5概率与统计综合性题型分析及解题策略【命题趋向】概率与统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立的，但是，概率与统计试题的背景与日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着应用的观念与意识，在展现分类讨论、化归思想与同时，培养学生解决问题的能力.在高考的考查中，基本上都是1道小题以及1道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代了90年代兴起的应用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对题目的背景和题意理解要求较高，如08年重庆理5题(5分)为容易题，考查正态分布的计算及密度曲线性质、08年湖南文12题(12分)为中档题，考查样本的识别与抽样、08年安徽高考理科第19题(12分)是中档题，考查几种事件的交汇、08年福建理20题(12分)中等难度，考查概率的计算与离散随机变量的分布列及期望，等等.预计在09年高考中解答题仍可能是文科题重点考查古典概率，互斥事件的概率，独立事件的概率，独立重复事件的概率等，考查应用意识和实践能力；理科重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能有所提升，考生应有心理准备.文科一般两个问题都考查概率问题，而理科一般第1问考概率的计算，第2问考分布列、期望的计算.【考试要求】1．了解等可能性事件的概念的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．2．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．3．了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．4．了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差．5．会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本．6．会用样本频率分布去估计总体分布，了解正态分布的意义与主要性质及线性回归的方法和简单应用．【考点透视】主要考点：（1）等可能事件、互斥事件(对立事件)、相互独立事件及独立重复实验的基本知识及四 种概率计算公式的应用，考查基础知识和基本计算能力.（2）求简单随机变量的分布列、数学期望及方差，特别是二项分布，常以现实生活、社 会热点为载体.（3）抽样方法的确定与计算、总体分布的估计.【典例分析】题型一几类基本概型之间的综合在高考解答题中，常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件，它们相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件.【例1】（08·安徽高考）在某次普通话测试中，为测试汉字发音水平，设置了10张卡片，每张卡片印有一个汉字的拼音，其中恰有3张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.（Ⅰ）现对三位被测试者先后进行测试，第一位被测试者从这10张卡片总随机抽取1张，测试后放回，余下2位的测试，也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上，拼音都带有后鼻音“g”的概率。（Ⅱ）若某位被测试者从10张卡片中一次随机抽取3张，求这三张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于2张的概率.【分析】第（Ⅰ）小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算；第（Ⅱ）利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算.【解】（Ⅰ）每次测试中，被测试者从10张卡片中随机抽取1张卡片上，拼音带有后鼻音“g”的概率为eq\f(3,10)，因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的，因而所求的概率为eq\f(3,10)×eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(27,1000).（Ⅱ）设Ai(i＝1，2，3)表示所抽取的三张卡片中，恰有i张卡片带有后鼻音“g”的事件，且其相应的概率为P(Ai)，则P(A2)＝eq\f(Ceq\o(1,7)Ceq\o(2,3),Ceq\o(3,10))＝eq\f(7,40)，P(A3)＝eq\f(Ceq\o(3,3),Ceq\o(3,10))＝eq\f(1,120)，因而所求概率为P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)＝eq\f(7,40)＋eq\f(1,120)＝eq\f(11,60).【点评】本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要混淆了互斥事件与相互独立事件，第（Ⅱ）的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等可能事件，同时也可以利用事件的对立事件进行计算. 【例2】（08·福建高考）三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分 别为eq\f(1,5)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密 码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.【分析】第（Ⅰ）小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算；第（Ⅱ）小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率，然后再利用对立事件可计算“密码被破译”的概率，进而比较大小.【解】记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i＝1，2，3)，依题意有P(A1)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(1,4)，P(A3)＝eq\f(1,3)，且A1，A2，A3相互独立.(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B＝A1A2eq\o(￣,A3)＋A1eq\o(￣,A2)A3＋eq\o(￣,A1)A2A3，且A1A2eq\o(￣,A3)、A1eq\o(￣,A2)A3、eq\o(￣,A1)A2A3彼此互斥于是P(B)＝P(A1A2eq\o(￣,A3))＋P(A1eq\o(￣,A2)A3)＋P(eq\o(￣,A1)A2A3)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(3,20).答：恰好二人破译出密码的概率为eq\f(3,20).(Ⅱ)设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D＝eq\o(￣,A1)·eq\o(￣,A2)·eq\o(￣,A3)，且eq\o(￣,A1)、eq\o(￣,A2)、eq\o(￣,A3)相互独立，则P(D)＝P(eq\o(￣,A1))·P(eq\o(￣,A2))·P(eq\o(￣,A3))＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).而P(C)＝1－P(D)＝eq\f(3,5)，故P(C)＞P(D).答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.【点评】本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第（Ⅰ）小题正确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件，而第（Ⅱ）的解答则充分利用对立事件进行的计算.一般情况下，如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁，则可以考虑计算对立事件的概率来解答.【例3】（08·重庆高考）在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(Ⅰ)恰有两道题答对的概率；(Ⅱ)至少答对一道题的概率.【分析】第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验，因此可直接计算；第(Ⅱ)小题可以考虑利用正确解答，也可以考虑其对立事件进行解答.【解】“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为eq\f(1,4).由独立重复试验的概率计算公式得：（Ⅰ）恰有两道题答对的概率为P4(2)＝Ceq\o(2,4)(eq\f(1,4))2(eq\f(3,4))2＝eq\f(27,128).（Ⅱ）解法一：至少有一道题答对的概率为1－P4(0)＝1－Ceq\o(0,4)(eq\f(1,4))0(eq\f(3,4))4＝1－eq\f(81,256)＝eq\f(175,256).解法二：至少有一道题答对的概率为分为4类情形：P4(1)＝Ceq\o(1,4)(eq\f(1,4))1(eq\f(3,4))3＝eq\f(108,256)，P4(2)＝Ceq\o(2,4)(eq\f(1,4))2(eq\f(3,4))2＝eq\f(27,128)，P4(3)＝Ceq\o(3,4)(eq\f(1,4))3(eq\f(3,4))1＝eq\f(12,256)，P4(4)＝Ceq\o(4,4)(eq\f(1,4))4(eq\f(3,4))0＝eq\f(1,256).所以至少答对一道的概率为P4(1)＋P4(2)＋P4(3)＋P4(4)＝eq\f(108,256)＋eq\f(54,256)＋eq\f(12,256)＋eq\f(1,256)＝eq\f(175,256).【点评】本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第(Ⅱ)小题的两种解法可以看到，当正确解答分类情况较多时，还是计算其对立事件的概率来的快.题型二求离散型随机变量的分布列、期望与方差此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理信息的能力.主要题型：（1）离散型随机变量分布列的判断；（2）求离散型随机变量的分布列、期望与方差应用；（3）根据离散型随机变量的分布列求概率；（4）根离散型随机变量分布列、期望与方差性质的求参数.【例4】(08·湖北理)袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号.(Ⅰ)求ξ的分布列，期望和方差；(Ⅱ)若η＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值.【分析】第(Ⅰ)小题根据等可能事件的概率计算公式可求ξ取0、1、2、3、4时的概率，从而得分布列；第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决.【解】（Ⅰ）ξ的分布列为：ξ01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴Eξ＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝.Dξ＝(0－2×eq\f(1,2)＋(1－2×eq\f(1,20)＋(2－2×eq\f(1,10)＋(3－2×eq\f(3,20)＋(4－2×eq\f(1,5)＝.（Ⅱ）由Dη＝a2Dξ，Eη＝aEξ＋b，得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a2×＝11,＋b＝1)，解得eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a＝2,b＝－2)或eq\b\lc\{(\s(,))eq\s(a＝－2,b＝4).【点评】（1）求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量X取哪些值；②计算随机变量X取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与结合知识.（2）而解决与分布列、期望与方差及应用等问题，一般利用它们相关的性质就可以求解 或通过建立方程来解决来解决.【例5】（08全国Ⅱ高考）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元的概率为1－\s(104,).(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率p；(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．【分析】第（Ⅰ）小题利用对立事件，并通过比较系数即可求得投保人在一年度内出险的概率p；第（Ⅱ）小题首先求投保的10000人中出险的人数ξ的期望，再利用期望的线性关系的性质求取盈利期望Eη的值.【解】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则eq\o(￣,A)发生当且仅当ξ＝0，P(A)＝1－P(eq\o(￣,A))＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)eq\s(104,)又P(A)＝1－\s(104,)，故p＝．（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10000ξ＋50000，盈利η＝10000a－(10000ξ＋50000)，20220318盈利的期望为Eη＝10000a20220318由ξ～B(104，103)知，Eξ＝104×103，Eη＝104a－104Eξ－5×104＝104a－104×104×10Eη≥0104a－104×104×103－5×104≥故每位投保人应交纳的最低保费为15元．【点评】本题主要考查二项分布的期望计算及性质的应用.二项分布的期望与方差的计算一般不利用求解离散型随机变量X的期望与方差的方法求解，因计算较为繁琐，而是根据其自身的期望与方差的计算公式，常可使问题得到快速的解决.【例6】（08·江西高考）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的倍、倍、倍的概率分别是、、；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的倍、倍的概率分别是、.若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的倍、倍、倍的概率分别是、、；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的倍、倍的概率分别是、.实施每种方案，第二年与第一年相互独立。令ξi(i＝1，2)表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（Ⅰ）写出ξ1、ξ2的分布列；（Ⅱ）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（Ⅲ）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【分析】第(Ⅰ)小题将首先根据两年后增长倍数确定ξ1、ξ2的取值，同时由相应的概率积可即可得分布列；第(Ⅱ)小题根据分布列将满足条件的数据相加即可比较得结果；第(Ⅲ)小题根据第(Ⅰ)小题的分布列确定关于两个方案带来的效益ηi(i＝1、2)的分布列，再通过计算期望进行比较.【解】（Ⅰ）ξ1的所有取值为、、、、，ξ2的所有取值为、、、、.∴ξ1、ξ2的分布列分别为：ξ1Pξ2P（Ⅱ）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P(A)＝＋＝，P(B)＝＋＝,可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.（Ⅲ）令η1表示方案所带来的效益，则η1101520Pη2101520P所以Eη1＝10×＋15×＋20×＝，Eη2＝10×＋15×＋20×＝，可见，方案一所带来的平均效益更大.【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列及期望，以及根据期望进行比较方案优劣.此题比较有新意，表现在一个分布列的建立须根据前一个分布列的数据，解答此题的易错之处：由于本题涉及到的数据较多，交叉性也较强，因此容易把对应的数据搞错.题型三抽样方法的识别与计算此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型，搜集数据，处理材料等研究性学习的能力，主要考查题型：(1)根据所要解决的问题确定需要采用的何种抽样方法；(2)根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据.【例7】(08·陕西)某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为()A．30 B．25 C．20 D．15【分析】利用分层抽样的特点，按比较进行计算即可.【解】设样本中松树苗的数量为，则eq\f(150,30000)＝eq\f(x,4000)，解得x＝20.点评：确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点来判断：总体中的个体数较少时，宜用简单随机抽样；总体由差异明显的几部分组成时，宜用分层抽样.而关于抽样方法的计算主要集中在分层抽样上，一般按比例进行计算.题型四总体分布的估计此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布表与频率分布直方图，同时考查识图、用图的能力.主要题型：（1）根据表或图中数据求解限制条件下的个体频数与频率、参数等相关的数据；（2）频率分布表与频率分布表或直方图的完善.【例8】(08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45，55]，[55，65]，[65，75]，[75，85]，85，95)，由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在55，75)，的人数是________.【分析】利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可.【解】20××10＋×10)＝13.点评：解答此类问题主要有三条途径：①利用所有分组对应的频率之和为1；②利用公式：频率＝条形图的面积＝纵坐标×横坐标，或利用公式频数＝样本容量×频率；③利用频率分布图中相关数据；④利用频率分布表绘制频率分布直方图.【专题训练】一、选择题1．在抽查某产品的尺寸过程中，将其中尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为，该组上的直方图的高为，则|a－b|等于（）A．hm B．eq\f(h,m) C．eq\f(m,h) D．与m，n无关2．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量eq\o(→,m)＝(a，b)，eq\o(→,n)＝（1，－2），则向量eq\o(→,m)与向量eq\o(→,n)垂直的概率是（）A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,12) C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,18)3．中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为Ａ．eq\f(Ceq\o(1,4)Ceq\o(2,8)Ceq\o(3,12)Ceq\o(4,16),Ceq\o(10,40)) Ｂ．eq\f(Ceq\o(2,4)Ceq\o(1,8)Ceq\o(3,12)Ceq\o(4,16),Ceq\o(10,40)) Ｃ．eq\f(Ceq\o(2,4)Ceq\o(1,8)Ceq\o(1,12)Ceq\o(4,16),Ceq\o(10,40)) Ｄ．eq\f(Ceq\o(1,4)Ceq\o(3,8)Ceq\o(4,12)Ceq\o(2,16),Ceq\o(10,40))4．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师人为()A．81 B．152 C．182 D．2025．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为，活到15岁的概率为，现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是()A．eq\f(3,5) B．eq\f(3,10) C．eq\f(2,3) D．eq\f(27,50)6．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(79,120) C．eq\f(3,4) D．eq\f(23,24)6．2022年的2月有28天，1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月均有31天，其余月均有30天，若从12个月中随机抽取3个月，恰有一个月有30天的概率是（）A．B． C．D．7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（）A．eq\f(1,51) B．eq\f(1,68) C．eq\f(1,306) D．eq\f(1,408)8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为()A．1 B．2 C．3 D．49．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b。，c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的期望为2，则eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值为()信号源A．eq\f(32,3) B．eq\f(28,3) C．eq\f(14,3) D．eq\f(16,3)信号源10．右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在 同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收 到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三 组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把 所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接 收器能同时接收到信号的概率是A．eq\f(4,45) B．eq\f(1,36)C．eq\f(4,15) D．eq\f(8,15)11．已知随机变量X分布列如下表(n∈N*)：X12…n－1nPeq\f(1,1·2)eq\f(1,2·3)…eq\f(1,(n－1)n)x则表中x为()A．eq\f(1,n(n＋1)) B．eq\f(1,(n－1)(n－2)) C．eq\f(1,n) D．eq\f(1,n＋1)12．已经一组函数y＝2sin(ωx＋)(ω＞0，0＜≤2π)，其中在集合中任取一个数，在集合{eq\f(,3)，eq\f(,2)，eq\f(2,3)，π，eq\f(4,3)，eq\f(5,3)，2π}中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个，其图象能经过相同的平移后得到函数y＝2sinωx的图象的概率是 ()A．eq\f(8,21) B．eq\f(1,3) C．eq\f(4,105) D．eq\f(1,30)二、填空题13．已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，则数据3x1＋2，3x2＋2，3x3＋2，…，3xn＋2的平均数是_____.14．某校高中研究性学习小组对本地区2022年至2022年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万盒．15．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a、b、c∈(0，1)），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab的最大值为________．16．在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为________．三、解答题17．某次有奖竞猜活动中，主持人准备了A`、B两个相互独立问题，并且宣布：观众答对问题A可获奖金a元，答对问题B可获奖金2a元，先答哪个问题由观众选择，只有第一个问题答对才能再答第2个问题，否则终止答题。若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(1,3).问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望最大？说明理由。18．将两颗骰子先后各抛一次，a，b表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.(Ⅰ)若点(a，b)落在不等式组eq\b\lc\{(\s(,,))eq\s(x＞0,y＞0,x＋y≤4)表示的平面区域内的事件记为A，求事件A的概率；(Ⅱ)若点(a，b)落在直线x＋y＝m上，且使此事件的概率最大，求m的值.19．学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝eq\f(7,10)．(Ⅰ)求文娱队的人数；(Ⅱ)写出ξ的概率分布列并计算Eξ．20．某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为eq\f(5,12)，至少一项技术指标达标的概率为eq\f(11,12)．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求Eξ与Dξ.21．某工厂为了保障安全生产，每月初组织工人参加一次技能测试.甲、乙两名工人通过每次测试的概率分别是eq\f(4,5)和eq\f(3,4).假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲工人连续3个月参加技能测试至少1次未通过的概率；(Ⅱ)求甲、乙两人各连续3个月参加技能测试，甲工人恰好通过2次且乙工人恰好通过1次的概率；(Ⅲ)工厂规定：工人连续2次没通过测试，则被撤销上岗资格.求乙工人恰好参加4次测试后被撤销上岗资格的概率.22．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是eq\f(1,2)，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率；（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.【针对训练】参考答案一、选择题1．C【解析】频率分布的直方图中eq\f(频率,组距)＝高度，∴|a－b|＝eq\f(m,h).2．B【解析】掷骰子是独立事件，∵eq\o(→,m)·eq\o(→,n)＝a－2b＝0，所以a＝2b，a＝2，4，6，b=1，2，3，所求概率为eq\f(1,12).3．A【解析】依题意，各层次数量之比为4︰3︰2︰1，即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个.4．C【解析】设总共有x人教师，由于抽样采用的是系统抽样，所以每一层次抽到的概率是相等的，所以可得eq\f(x－26－104,x)＝eq\f(16,56)，解得x＝182.5．C【解析】设事件A：从0到10岁，事件B：10岁到15岁，A与B互斥，C：0到15岁，所以P(C)＝P(A)·P(B)，∴P（B）＝eq\f,＝eq\f(2,3).6．C【解析】可从对立面考虑，即三张价格均不相同，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为P＝1－eq\f(Ceq\o(1,5)Ceq\o(1,3)Ceq\o(1,2),Ceq\o(3,10))＝eq\f(3,4).6．B【解析】3个月中恰有1个月有30天的情况有两种：①两个月31天，1个月30天；②31天，30天，28天，各有1个月，故所求概率.7．B【解析】古典概型问题，基本事件总数为Ceq\o(3,18)＝eq\f(18×17×16,3×2×1)＝17×16×3，能组成以3为公差的等差数列有(1，4，7)、（2，5，8）、…、（12，15，18）共12组，因此概率P＝eq\f(12,17×16×3)＝eq\f(1,68).8．D【解析】由题意可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出｜x－y｜，设x＝10＋t，y＝10－t，｜x－y｜＝2|t|＝4.9．D解析：由题3a＋2b＝2，其中0＜a＜eq\f(2,3)，0＜b＜1，所以eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)·(eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2＝eq\f(16,3).(当且仅当a＝2b＝eq\f(1,2)时取等)．10．D【解析】将六个接线点随机地平均分成三组，共有eq\f(Ceq\o(2,6)Ceq\o(2,4)Ceq\o(2,2),Aeq\o(3,3))＝15种结果，五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中，有Ceq\o(1,4)·Ceq\o(1,2)·Ceq\o(1,1)＝8种结果，这五个接收器能同时接收到信号的概率是eq\f(8,15).11．C【解析】根据分布列的性质：x＝1－[P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝n－1)]＝1－[eq\f(1,1·2)＋eq\f(1,2·3)＋…＋eq\f(1,(n－1)n)]＝＝1－[(1－eq\f(1,2))＋(eq\f(1,2)－eq\f(1,3))＋…＋(eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n))]＝eq\f(1,n).∵n∈N*，∴表格中概率P(X)均为非负，满足分布列的第一条性质：Pi≥0，i＝1，2,…,n.12．C【解析】这一组函数共有3×9＝21个，从中任意抽取个共有种不同的方法，其中从这些函数中任意抽取两个，向右平移eq\f(,6)个单位得到函数y＝2sinωx的图象有三种情形，则有Ceq\o(2,3)＝3种取法；向右平移eq\f(,3)个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有三种情形，则有Ceq\o(2,3)＝3种取法；向右平移eq\f(,2)个单位得到函数y＝2sinωx的图象有两种情形，则有Ceq\o(2,2)＝1种取法；向右平移eq\f(2,3)个单位得到函数y＝2sinωx的图象也有两种情形，则有Ceq\o(2,2)＝1种取法；故所求概率是eq\f(3＋3＋1＋1,210)＝eq\f(4,105).二、填空题13．3a＋2【解析】∵eq\f(1,n)eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))xi＝a，∴eq\f(1,n)eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))(3xi＋2)＝eq\f(1,n)[eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))(3xi)＋eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))2]＝eq\f(1,n)[3eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))xi＋2n＝3·eq\f(1,n)eq\o(,\s\up5(n),\s\do5(i=1))xi＋2＝3a＋2.14．85【解析】每年平均销售盒饭为eq\f(1,3)(30×1＋45×2＋90×＝85(万盒).15．eq\f(1,6)【解析】由已知得3a＋2b＋0×c＝0，即3a＋2b＝2，∴ab＝eq\f(1,6)·3a·2b≤eq\f(1,6)(eq\f(3a＋2b,2))＝eq\f(1,6).16．160【解析】：直方图中，所有矩形面积之和为1，等差数列公差为a1，等差数列各项和为10a1＝1，所以a1＝，最大的矩形为，频数为400*＝160三、解答题17．【解】设先答A、B所得奖金分别为ξ和η，则P(ξ＝0)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝a)＝eq\f(1,2)(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3a)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴Eξ＝eq\f(5,6)a.P(η＝0)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2a)＝eq\f(1,3)(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝3a)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，∴Eη＝eq\f(5,6)a.由此知，先答哪题获奖金的期望一样大.18．【解】(Ⅰ)x＋y＝4上有3个点，x＋y＝3上有2个点，x＋y＝2上有1个点，事件总数为36，故事件A的概率为eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(Ⅱ)当点P(a，b)落在直线x＋y＝m上，所以a＋b＝m，当a＋b＝2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12时，点P(a，b)的个数分别为1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1，所以当a＋b＝7时事件的概率最大为eq\f(1,6)，所以m＝7.19．【解】设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．(Ⅰ)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝eq\f(7,10)，∴P(ξ＝0)＝e