希望杯复赛数论题大合集涵括历年数论题及详细解析

奇数与偶数质数与合数约数与倍数1.（2006年希望杯第四届四年级二试第7题，4分）一群猴子分桃，桃子共有

56个，每只猴子能够分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了

4只猴子，于是从头分派这些桃子，结果每只猴子分到的桃子

数量相同，那么最后每只猴子分到

个桃子。解答：56的因数有1，2，4，7,8，14,28，56,其中只有4和8相差4,所以最后有猴子8只，每只猴子分到56宁8=7个桃子。2.（2007年希望杯第五届四年级二试第4题，5分）在224，339，4416，5525，6636，...等这些算是中，4,9，16，25,36，叫做完全平方数。那么，不超过2007的最大的完全平方数是。解：45X45=2025;44X44=1936,所以最大的是1936.整除（2008年希望杯第六届四年级二试第15题）连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，获得一个多位数：请说明:这个多位数除以3,获得的余数是几？为什么？【剖析】因为连续3个自然数能够被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为2007是3的倍数，所以是3的倍数，又因为，所以除以3，获得的余数是1。余数4.（2004年希望杯第二届四年级二试第15题，6分）小朋友们做游戏，若3人分红一组，则最后余下2人；若4人分红一组，则最后余下3人；若5人分红一组，则最后余下4人。那么一同做游戏的小朋友起码有人。【答案】这个数除以3余2,除以4余3,除以5余4,那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3X4X5=60,那么小朋友起码59人（2008年希望杯第六届四年级二试第3题）一个三位数除以

36,得余数

8,这样的三位数中，最大的是

。【剖析】因为最大的三位数为

999,9993627L27

,所以知足题意的三位数最大为：362789806.（2009年希望杯第七届四年级二试第2题，5分）某数被13除，商是,余数是,则某数等于o98【答案】125周期（2004年希望杯第二届四年级二试第3题,6分）312、610、128、246、484、是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式的计算结果【答案】规律是，第一个加数是公比为2的等比数列，第二个加数是差为2的等差数列，所以第六个式子是96+2=988.（2004年希望杯第二届四年级二试第14题，6分如图5所示，在2X2方格中，）画一条直线最多穿过3个方格；在3X3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5X5方格中，画一条直线，最多穿过个方格。圈5【答案】边长每多1,穿过的方格多2,那么5X5的最多穿过3+2+2+2=9个方格9.（2004年希望杯第二届四年级二试第19题，10分）将若干个边长为1的正六边形（即单位六边形）拼接起来，获得一个拼接图形。比如：周长=6周长=10周长=12那么，要拼接成周长等于18的拼接图形，需要多少个单位六边形？画出对应的一种图形。【答案】4、5、6、710.（2008年希望杯第六届四年级二试第4题）小明按1~5循环报数，小花按1~6循环报数，当两个人都报了600个数时，小花报的数字之和比小明报的数字之和多。【剖析】小花一个循环报的数字之和为：12345621，小明一个循环报的数字之和为：1234515，小明一共报了6005120（组），小花一共报了6006100（组），所以小花报的数字之和比小明报的数字之和多：100211201521001800300。11.（2008年希望杯第六届四年级二试第8题）已知一列数：5,4，7，1,2,5,4,3，7，1,2，5,4,3，7，1，2，5，4,,圈532008【剖析】察看数列发现，除前两个数字之外，

7,1

,2

,5

,4

,3

六个数字周期出现，因为（2008

2）

6

334L2

，所以第

2008

个数是

1。进位制及位值12.（2003年希望杯第一届四年级二试第18题，10分）一个三位数，个位和百位数字互换后仍是一个三位数，它与原三位数的差的个位数字是7，试求它们的差。【答案】abc-cba个位是7，显然a大于c，所以10+c-a=7，a-c=3，所以他们的差为29713.（2004年希望杯第二届四年级二试第11题，6分）如果一个数的所有数位上的数字的和是10,那么知足条件的最小的四位数是。【答案】100914.（2009年希望杯第七届四年级二试第14题，15分）abcd，abc，，a依次表示四位数、三位数、两位数及一位数，且知足abcdab—abc—ab—a=1787。求：这四位数abcd。【答案】2009或2010。奇数与偶数质数与合数1.（2004年希望杯第二届五年级二试第5题，6分）a、b、c都是质数，如果abbc342，那么b_________________。【解析】由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以ab与bc为一奇一偶，则a或许c为质数2，令a2，而342=2x3x3x19,则ab9或许ab31957或许ab919171，对应的b为7或许55或许169,只有7是质数，所以b=7。（2006年希望杯第四届五年级二试第8题，4分）如果a，b均为质数，且ab，则ab。3+7=41+=___________________【解析】因为41是奇数，只有奇数加偶数和才为奇数，且a，b均为质数，所以a，b中必有一个是2。假定a=2，贝Ub）+7=5。所以a+b。=（41-6=7约数与倍数3.（2003

年希望杯第一届五年级二试第

7题，4

分）向电脑输入汉字，每个页面最多可输入

1677

个五号字。现在页面中有

1个五号字,将它复制后粘贴到该页面，就获得

2个字；再将这

2个字复制后粘贴到该页

面，就获得4个字。每次复制和粘贴为1次操作，要使整个页面都排满五号字，起码需要操作次。【解析】2的10次方为1024,2的11次方为2048,所以需要操作11次。4.（2009年希望杯第七届五年级二试第3题，5分）100以内的自然数中。所有是3的倍数的数的平均数是。【解析】100以内的自然数中是3的倍数的数有0，3,6,9L,99共33个，他们的和是09934217991683，则他们的平均数为1683+34=49.5。整除5.（2003年希望杯第一届五年级二试第3题，4分）六位数2003口□能被99整除，它的最后两位数是___________________【解析】试除法200399^99=2024L23,所以最后两位是99-23=76。6.（2004年希望杯第二届五年级二试第4题，6分）若四位数

9a8a

能被

15整除，则

a

代表的数字是

。【解析】15=3x5,能被

15整除，那么能同时被

5和

3整除。能被

5整除，看个位，那么

a只能是

0或

5;可是当a=0,9080不能被3整除；当a=5时，9+5+8+5=27是3的倍数，所以a=5。奇数与偶数质数与合数1.（2006年希望杯第四届六年级二试第9题，4分）如果a，b均为质数，且3d+7b=41,则a+b=___________。【解析】根据奇偶性我们能够知道、b中必定有一个是2,若,则b=7,满aa=2足题意；若b=2,则a=9,与题意不符。所以a为2、b为,则。7a+b=9约数与倍数2.（2006年希望杯第四届六年级二试第15题，4分）体育课上，60名学生面向老师站成一行，按老师口令，从左到右报数：1,2,3,,,60然后，老师让所报的数是4的倍数的同学向后转，接着又让所报的数是5的倍数的同学向后转，最后让所报的数是6的倍数的同学向后转，现在面向老师的学生有。【解析】可知其中4的倍数有15个，5的倍数有12个，6的倍数有10个，同时是4和5的倍数的有3个，同时是5和6的倍数的有2个，同时是4和6的倍数的有5个，同时是4、5、6的倍数的数有1个，现在背向老师的有15+12+10-3-2-5+1=28个，面向老师的学生有60-28=32人。3.（2009年希望杯第七届六年级二试第5题，5分）已知A、B两数的最小公倍数是180,最大条约数是30,若A=90,则B____________。【答案】60整除4.（2007年希望杯第五届六年级二试第10题，5分）已知n个自然数之积是2007,这n个自然数之和也是,那么n的值最大是。2007考点：数论、最值问题一级提示：怎样结构和与积都等于2007的一组自然数？二级提示：怎样结构才能使数的个数最多？【答案】

1781。【剖析】为了结构和与积都等于

2007

的一组自然数，首先把

2007

拆成若干个整数之积，

然后把和不足的地方用

1补足。容易看出来，

2007

拆分红的整数越多，它们的和就越小，需要增添的

1也就越多。2007

的质因数分解式是

3X223，3+3+223=229，还需要补

2007-229=1778

个1。所以共有

1781

个。5.（2008年希望杯第六届六年级二试第9题，5分）有一个不等于0的自然数，它的-是一个立方数，它的-是一个平方数，则这个23数最小是。1剖析：设为2a3bc（c为不含质因子2、3的整数），则它的一是2a13c是立方数，所以a1是213的倍数，b是3的倍数，此外它的-即2a3b1c是一个平方数，所以a是偶数，b是奇数，3切合以上两个条件的a的最小值为4，b的最小值为3，这个数最小为432。余数6.（2007年希望杯第五届六年级二试第8题，5分）2007年4月15日（星期日）是第5届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行地2试的日子，那么这日此后的第+4X15天是星期。2007考点：周期、余数一级提示：计算星期，属于哪种问题？二级提示：有什么简单的方法能够计算？【答案】

2。【剖析】计算星期属于余数问题，也就是考虑被

7除的余数。因为

2002

被

7整除，所以

2007

被

7除余

5;又因为

15被

7除余

1,所以

2007+4X155+4X1（mod7）

,5+4X仁

9,被

7除余

2,所以是星期二。7.（2008年希望杯第六届六年级二试第6题，5分）某小学的六年级有一百多名学生，若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人。该年级的人数是剖析：切合第一、第三条条件的人数为的最少人数为3X7