常用逻辑用语易错及热点知识分析

第2节常用逻辑用语易错及热点知识分析考情透析简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．2022年的高考题中，常用逻辑用语部分以选择题为主要题型，往往与立体几何，三角，不等式相结合，估计2022年高考，该知识点仍是命题热点，复习时应加以重视，特别是全称量词与存在量词在高考试题中出现的几率很大，重点考查对全称量词与存在量词的理解、全称命题与存在命题的判断、两种命题的否定命题的写法等

考点透析1、命题及其关系①理解命题的概念。②了解“若则”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题，会分析四种命题的相互关系。③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。2、简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。3、全称量词与存在量词①理解全称量词与存在量词的意义。②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。重难点重点是四种命题的关系、充要条件的判定、全称量词与存在量词以及对“或”、“且”、“非”命题的否定及其真假判定；难点是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言为表现形式，结合逻辑知识,考查数学思想、数学方法和数学能力的题型解答；易错点是将否命题和命题的否定混淆，对全称命题与特称命题的否定易出错,充要条件的判定易出错。错解剖析例1、写出下列命题的否定矩形的四个角都是直角错解：（1）矩形的四个角都不是直角（2）剖析：（1）错误原因在于：“四个角都是直角”的否定有以下几种情况：eq\o\ac(○,1)四个角都不是直角；eq\o\ac(○,2)三个角不是直角；eq\o\ac(○,3)二个角不是直角；eq\o\ac(○,4)一个角不是直角。上述否定形式只指出一种情况而没有否定全部情况。忽略正解：（1）矩形的四个角不都是直角（2）规律总结：①书写命题的否定时一定要抓住决定命题性质的量词，从对量词的否定入手，书写命题的否定.常见量词的否定如下：都所有任意任何至少有一个不都至少有一个或存在一个都不或没有一个②书写命题的否定时，一定要注重理解数学符号的意义.有些数学符号，从表面上看我们已非常熟悉，其实不一定.如：，谈到它的否定，很多同学会认为是：，其实不然，其否定应该是：存在某个实数x；③命题的否定与否命题：命题的否定是针对仅含一个量词的命题，显然，并非所有命题都有写出它的否定的必要.以量词为前提的命题，如命题：“，若y＞0，则”的否命题为“，若y≤0，则”；而此命题的否定为“，若y＞0，则”；显然，两者的区别很大.例2、判断命题“若，则或”的真假错解：因为，所以，，若，从而或”是真命题剖析：“”不是仅仅包括上面两种情况，例如，也满足，所以上面的解法不够全面，实际上，从正面解答比较麻烦，要讨论多种情况，是不易判断真假的，如果考虑逆否命题就容易多了正解：原命题的逆否命题是：若且，则，因为两个正数的乘积还是正数，所以上述命题是真命题，由互为逆否命题的等价性可知，原命题是真命题。规律总结：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真，如，原命题“若，则”是真命题，它的逆命题“若，则”是假命题．②原命题为真，它的否命题不一定为真，如，原命题“若，则”是真命题，它的否命题“若，则”是假命题．③原命题为真，它的逆否命题一定为真，如，原命题“若，则”为真命题，它的逆否命题是“若，则”是真命题．注意：互逆命题、互否命题与互为逆否命题描述的是两个命题之间的关系，其中原命题与它的逆否命题同真同假，一个命题的逆命题与它的否命题同真同假（两个命题也恰好互为逆否命题）例3、已知，，试判断是的条件错解：由已知可得：：，所以：；：，所以：，于是是的既不充分也不必要条件剖析：上述解法的错误在于由得：，这种含有分式或根式的不等式的转化过程中，不能简单地改变不等号得到原命题的非，这不是一种等价转化。正解：由得即由得易判断的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件规律总结(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若则”形式的命题为真时，就记作pq，称是的充分条件，同时称是的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质(4)从集合观点看，若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A、B互为充要条件(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)例4、已知命题：方程在上有且仅有一解；命题：只有一个实数满足不等式若命题是假命题，求的取值范围.易错分析：因为命题是假命题，由真值表可知，命题p和命题q都是假命题.由此入手分析。对于本题要注意参数的分类讨论，许多同学在此易出现做重或漏，同时方程、不等式的求解也是同学易出现错误的地方正解：由，得显然所以,因为方程在上有且仅有一解，故、所以…只有一个实数满足不等式所以因为命题是假命题，所以命题p和命题q都是假命题.所以的取值范围为方法指引：先确定简单命题与复合命题的真假，再由命题的真假划分参数的范围本节易错问题提示命题的否命题和命题的否定是两个不同的概念；充分性的证明是从条件推出结论，必要性的证明是从结论推出结论；逻辑连接词“且”和“或”有很大的区别；对含一个量词的命题进行否定，不但量词要转换而且要对量词后面的命题作否定；要理解逻辑联接词“或”、“且”、“非”的含义，并能剖析复合命题中所使用的联接词及其联接词的简单命