刚体绕汇交轴转动的角速度矢量的合成

刚体绕汇交轴转动的角速度矢量的合成图4-12刚体绕汇交轴转动在考察某刚体B的绕定点O运动时，如果有两个参考基，其中参考基『为不动的惯性基，称为定基，另一个参考基为肘，它相对基*作绕点O定点运动，称为动基。作定点运动的刚体的连体基为矿。连体基产相对于定基『的角速度矢量记为质，称其为刚体B的绝对角速度矢量。连体基『相对于动基聲的角速度矢量记为苗，称其为刚体B的相对角速度矢量。动基肘相对于定基产的绝对角速度矢量记为詡，称其为刚体B的牵连角速度矢量。从瞬轴的角度，如果认为动基与定基瞬时固结，刚体绕沿幫的瞬轴转动；如果认为连体基与动基瞬时固结，刚体作绕沿詡的瞬轴转动。上述两瞬轴汇交于点O,刚体B在该瞬时同时绕两瞬轴转动，故称这种运动为刚体绕汇交轴转动。由角速度矢量叠加原理式(4.1-22)，有(4.1-34)由此可得到如下结论：对于刚体绕汇交轴转动，刚体的绝对角速度等于该刚体相对动基的相对角速度与牵连角速度之和。它称为绕汇交轴转动合成定理角速度与欧拉角姿态坐标导数间的关系本节将介绍定点运动刚体的角速度与姿态坐标导数间的关系。在4.1.3节已经指出，时间t刚体的角速度矢量心是平均角速度矢量的总极限。后者的定义式(4.1-12)描述了在非常小的时间间隔庶内,由时刻t连体基訐绕一次转动矢量0转过一次转动角分到达时刻才+竝的连体基評的变化过程。根据4.1.2节关于描述姿态的欧拉角的定义，上述过程也可以认为连体基訐先绕基矢量『转过有限角A屮，再绕基鈔的基矢量科转过有限角A0，最后绕基汀的基矢量暫转过有限角姉，至U达时刻r+竝的连体基評。故平均速度的定义式(4.1-12)可表为占=些丈+空严+如計&&&代入绝对角速度的定义式(4・1T3)(5= +—zlR谑"+费+欷 (4.1—35)由定轴转动的角速度的定义式(3.3—2)和图4-4所示，基計相对于基沪、基*相对于基旷和基『相对于基訐的角速度矢量分别为即=辺=谟“，矿二护二和，护=材=迸 (4.1—36)故由角速度叠加原理式(4^33!也可得到上式。由式(4・1—36)，式(4・1-35)也可表为

E=1蛙+陵+材基矢量塑、和严在各自连体基『的坐标阵分别为^=（001）',故=（10叶,^=（001）1由式（1.3-13）与（1.1-18）,聲和〒•在连体基訐上的坐标阵为刊=屮）T严=[A-A^芒=肚町口町严，时=口町就将式（4.1-38）和式（4.1-3）与（4.1-4）代入上式，有=（£in&£in0sin^cos^uo询’，=（匚口帥-sin^0）1 （4.1一39）刚体定点运动的欧拉运动学方程令角速度矢量任在连体基孑的坐标阵记为(4.1-37)(4.1-38)(4.1-40)(4.1-37)(4.1-38)考虑到式（4・1-38）至（4・1-40）,经整理，矢量式（4.1-37）在连体基訂的坐标式可表为Ginggin币 cos^Ginggin币 cos^小sinScos^-sin^0lcos3 0 I】(4.1-41)上式给出了角速度矢量负在连体基犷的坐标阵与欧拉姿态坐标及其导数间的关系。由上式可解得(4.1-42)(4.1-42)这是以欧拉姿态坐标为变量的一阶微分方程，称为刚体定点运动的欧拉运动学方程。在方程中，角速度矢量在连体基&的三个坐标为方程的参变量。当它们的时间历程给定后，通过对方程组(4.1-42)进行积分，可得到欧拉姿态坐标的时间历程。由式(4.1-42)可知，章动角不能为零。上述的推导过程同样可在参考基『上进行。将角速度矢量航在连体基『的坐标阵记为(4.1-43)(4.1-43)角速度矢量游在连体基『的