面第三章两自由度系统振动超详细

精品学习资料1．如图2-1所示，一小车(重P)自高h处沿斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起作自由振动。弹簧常数k，斜面倾角为，小车与斜面之间摩擦力。PkhαT2APP2．确定图2-2所示系统的固有频率。圆盘质量为kakrOx有频率。n4kra2欢迎下载第1页，共46页欢迎下载精品学习资料精品学习资料精品学习资料Rmrn3Rr第三章两自由度系统振动由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动车床刀架系统(a)、车床两顶尖间的工件系统(b)、磨床主轴及砂轮架系统(c)。只要将这些系统中的主要结合面(或芯轴)视为弹簧(即只计弹性，忽略质量)，将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在迎下载第2页，共46迎下载精品学习资料精品学习精品学习资料第3页，共46于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图(d)所示的两自以图3.1(c)所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第4页，共46欢迎下载k2是砂轮，取其铅垂位移12x及x12x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由度振动系统)[工程实例演示]一、系统的运动微分方程(①汽车动力学模型)②以图3.2的双弹簧质量系统为例。设弹簧的刚度分别为k和2212x和12精品学习资料精品学习资料精品学习资料第5页，共46此时，在质量m1上作用有弹性恢复力k1x1及k2x2x1，在质量m2上作用有弹性恢复力kxx。这些力的作用方向如图所示。221应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：11mx22令kx22kx22m1x01022,cm1 (3.1)k2m2则(3.1)式可改写成如下形式：11mx2222x1x100精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第6页，共46欢迎下载1212x00 (3.2)这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。bx2项，第二个方程中则包含到弹簧k的恢复力的作用外，还受到弹簧k的恢复力的作用。m1222虽然只受一个弹簧k恢复力的作用，但这一恢复力也受到第一质点2主振型希望在两自由度系统无阻尼自由振动中然后用待定系数法来寻找有简谐振动解的条件。可设方程组(3.2)式的特解为：x1x2xAsin1Asin2tnt (3.3)精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第7页，共46迎下载x1x2A1A2Ancoscosntn12A2sin1nA2sin2ntn (3.4)将(3.3)、(3.4)式代入(3.2)式，并加以整理后得：a2AbA0n12c2A0c2A0(3.5)上式是A、A的线性齐次代数方程组。A、A=0显然不是我们所1212要的振动解，要使A、A有非空解，则(3.5)式的系数行列式必须12ac2ncb2n=04ac2nn列方程，可得如下的cab0 (3.6)n1,2ac2ac2ac22ac22cab (3.7)由此可见，(3.6)式是决定系统频率的方程，故称为系统的频精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第8页，共46迎下载AAAAAAAAequation)。特征方程的特征值(characteristicvalue)即频率n2m2和刚度k1，k2，即频率n只决定于系统本身的物理性质，故称nordernaturalcircularfrequency)。[基频]称为第二阶固有n2频率(secondordernaturalcircularfrequency)。[(推广)理n个根必定都是正实根，故主频率的个数与系统]n212112121122212a2代入(3.5)式中得：2c2n1c2cn1 2n2c2cn2由此可见，对应于n1和n2，振幅A1与A2之间有两个确定的将(3.8)式与(3.3)式联系起来可以看出，两个m与2m任一2精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第9页，共46欢迎下载xAxAxx。系统的其它点的位移都可以由2112x及x12定。这样，在振动过程中，系统各点位移的相对比值都可以由振幅比2当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动时，即称为系x11A11sinn1t111A11222xx2xx12212nttn222AA212na2n22ntnt，可以将(ac22 (3.9)1 (3.10)23.7)式改写成如下形精品学习资料精品学习资料精品学习资料下载第10页，共46下载a2aac2ac22ac2ac22又因为0a2n2aac2a2an1ac22，由(3.8)ac2ac222因为上式的等式右边恒小于零，所以a2222，由(3.8)12话，两个质点就同时向同方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位置。而0，则表示第二主振动中两个质点的相21212达最高位置。它们一会相互分离，一会又相向运动，这样，在整个第二主振动的任一瞬间的位置都不改变。这样的点称为“节点”(nodalpoint)。精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第11页，共46迎下载振动理论证明，多自由度系统的i阶主振型一般有i－1个节点。的响应精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第12页，共46欢迎下载x2x2AA11A2sin1A2A12122 (3.11)12A1A1AA112121tg1tg1n1n1222x21x210x1x10x20xx21020xxxxxx0xx102022x0x0xx110x110x22 (3.12)将(3.12)式代入(3.11)就得到系统在上述初始下响应。从(3.11)式可以看出，两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。但从(3.7)式来看，这两个分振动的频率n2n精品学习资料精品学习资料精品学习资料第13页，共463．节点和节面越高，则节点数也就越多。一般来说，第i阶主振型有i-1个节点。为节线(nodalline)和节面(nodalsurface)。1212xx20xxxx，，精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第14页，共46欢迎下载mxk1k2mxkxk22212令令a122,1,kx22kx32cc2,200kk2dkk2m则112x112xcxdx0212精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第15页，共46迎下载2n1,2ad2ad22故aaaa,bm1222234344k1.581,22c442kmaa2b2,dk,d2m2m321k222m2kk2n1m2n1km2k5k22km根据给定的初始条件，代入(3.12)式得：精品学习资料精品学习资料精品学习资料第16页，共46A1A1A2A111121112121,1222故系统的响应为：x1x2x0.4costmktm0.8cos1.581tmktm性精品学习资料精品学习资料精品学习资料下载第17页，共46下载置可以用矢量xrcosr,iyrcosr,j当小球偏离平衡位置O点后，就要受到圆杆的弹性恢复F的作力用。由于圆杆在任何方向上的刚度k都相等，故Fkr将F力投影到x，y轴上得：Fcosr,ikrcosr,iFcosr,jkrcosr,j因此，可建立系统的运动微分方程式：精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第18页，共46迎下载122yk相等，故两个方向的振动频率也相等。即knxnym由此可见，在x，y方向，系统均按其固有频率作自由振动，故所以系统的两个主振型也分别沿x和y方向，也就是说，系统的两个精品学习资料精品学习资料精品学习资料载第19页，共46载。。度就有所不同。现取杆截面的两个惯性主轴作为x、y坐标轴，则x轴方向上的刚度为kx，y轴方向上的刚度为ky，因而系统的运动微分1xmx1xmx2kyykx;mm这时，在x，y两个方向上是不同频率的简谐振动，其合成结果同频率的李沙如图。[振动运动学知识]的性质，叫做主振型的正交性(orthogonalpropertiesofprincipal (能量各个独立，不相干扰)精品学习资料精品学习资料精品学习资料下载第20页，共46下载称简谐激振力作用的m1-k1质量弹簧系统称为主系统。这一振动系统的运动微分方程式为：mx2211kxk21122kx22x1x0psin0t (3.13)令akk12kkm1k2,k1k2,m,2pm1则(3.13)式可改写成：x1x2xpsin00t (3.14)成。一是对应于齐次方程组的解，即为上一节讨论过的自由振动。二精品学习资料精品学习资料精品学习资料载第21页，共46载是对应于上述非齐次方程组的一个特解，它是由激振力引起的受迫振我们只研究稳态振动，故设上列微分方程组有简谐振动的特解：x1x2xBsint1Bsint2 xx2B12cost;xcost;x2B2sint1B2sint2 (3.16)将(3.15)及(3.16)式代入(3.14)式得：acB12Bc22B2p0 (3.17)元非齐次联立代数方程，它的解可用行列式原理求a2bcc2pb10c2c2p2c0apc2c2bc2精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第22页，共46迎下载故Bpc21a2c2bcpc(3.18)B2B2a2c2bc这就是说，我们期待的方程组(3.14)式的简谐振动特解是可以二、振动特性的讨论由(3.15)式得知，两自由度系统无阻尼受迫振动的运动规律是两自由度系统受迫振动的频率与激振力的频率相同。由(3.18)式得知，两自由度系统受迫振动的振幅决定于激振力力幅、激振力频率，以及系统本身的物理性质。现分别讨论如下： (1)激振力幅值p0的影响B也越大。2 (2)激振力频率的影响对振幅的影响，我们以2坐标，将(3.18)式作成曲线示图3.9中，称之为振幅频率响应曲线，精品学习资料精品学习资料精品学习资料第23页，共46讨论：BB2p0，这表明，此时激振力的作用和静力kn2n212由(3.18)式可得质量2Bc21212 (3.19)精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第24页，共46迎下载阶固有频率B2B1c2c2n1 (3.20)当n2时，则Bc(3.21(3.21)1n2n当t0sink2t2222psint022主系统上的激振力相平衡。这样，主系统的受迫振动就被副系统吸收这象可以被利用来作为减小振动的一种措施。1B精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第25页，共46欢迎下载、、现将振幅计算公式(3.18)式的分母作如下的变换：a2c2bc4ac2cab(3.23)由系统的频率方程(3.6)式，可以得知频率方程的两个根22222acn1n222cab(3.24)n1n2将(3.24)式代入(3.23)式得：a2c2bc4因而(3.18)式可改写成：222222222 (3.25)B1B222pc2n1n2n1n2222n2n2n2n (3.26)从(3.26)式中可以看出：n112n1121212精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第26页，共46迎下载当当负值。这就是说，在cn212力反相。即两个质量之间的相位相反。当2根据以上分析，可作出如图3.10所示的相频特性曲线减振器使主系统不动，动力减振器就是应用这一原理来设计的。精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第27页，共46欢迎下载动力减振器是用弹性元件把一个辅助质量固定到振动系统上的一种减振装置，其动力学模型如图3.11所示。系统(主系统)的质量(主质量)和弹簧刚度。 (附加系统)的质量(辅助质量)和弹簧刚度，2m、2c为动力减振器的阻从图3.11可以看出，在主系统上增加了附加系统后，即使原来1121121220mxcx1121121220mxcxxkxkx0(3.27)22212221设上列方程组的x1x2x1B1x22x22Beit(3.28)2B2sinB2sintxx1B1B2sint22cost;22精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第28页，共46迎下载将(3.28)式及其一阶、二阶导数代入(3.27)式得：11212m2kkicB112122122kicB2122解上列联立方程，求出主系统的振幅B1k10m2km222 (3.30)22km22222 (3.29)2c2cc2kc2k2222p0k01k1k————22——减振器固有频率与主系统固有频率之比；c2km2km22则(3.29)式可改写成下列无量纲形式：精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第29页，共46迎下载B12122224222224 (3.31)2221222 器没有阻尼元件，则B121222222n2时，辅助，故(3.31)式简化为：22 (3.32221m通过弹性元件k作用于主质221当激振频率等于主系统固有频率n1，即λ=1时，主系统产生共振。为了消除系统共振，应使减振器固有频率n2等于主系统固有频率n1，即令1。若再取质量比0.2，则(3.32)如图3.12所示。精品学习资料精品学习资料精品学习资料第30页，共4612222所以2。这两点的坐标值可以从(3.32)式的分项等2及222201222201222222 (3.3324的系统，两个固有频率(主频率)为：211n1,2m21根据(3.33)式可作出与表示了系统的两个主频率24 (3.34)4n1或n2时，都会使系统产生的关系曲线，如图3.13所示n2的n2精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第31页，共46欢迎下载2．有阻尼动力减振器(本科自学)当减振器有阻尼元件时，则根据(3.31)式，以为参变量，仍令1 2B1看出：1222224222224221222精品学习资料精品学习资料精品学习资料第32页，共461)无论阻尼的为何值，幅频响应曲线均经过P、Q两点，也就11值与的2的点相应的频率比值时，主系统和12和值 当时从(3.31)式得：B11122 (3.35)令(3.32)式与(3.35)式相等得1221221222224122222202 (3.36)1221222221,2222(3.37)2将求得的值代入(3.32)式(3.35)式，即可得P、Q精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第33页，共46欢迎下载B11111122112221 (3.38)22P、Q两点在共振点1)的两侧，两者的相位是相反的，所以这两点 (的振幅的符号也相反，因此，在图3.15中，在1右边的曲线，3)既然无论值是多少，所有的幅频响应曲线都要经过B了使减振器获得较好的减振效果，就应该设法降低P、对应的振幅以下(见图3.16)。精品学习资料精品学习资料精品学习资料迎下载第34页，共46迎下载PQ就要适当选值；为择BPQ值。所以选择的st择和值，分别称为最佳频率比(optimumfrequencyratio)opoptimumdampingratioop (1)最佳频率比op的确定。(第一步) (3.38)1st112121st2121222222 (3.39)221根据代数方程理论，由(3.36)式得知212221222 (3.40)联立(3.39)式及(3.40)式，并求解得：21212222所以op1 (3.41)精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第35页，共46欢迎下载将op值代入(3.37)式，即得到与1212p2p12Q2Q2值 (3.42)将(3.42)式代入(3.32)式或(3.35)式，即得到在选取最佳B1PB11Q2 (3.43)[分析]可见，要降低P、Q两点的纵坐标，应使质量比22 (2)最佳阻尼比的确定(第二步110根据(3.31)式，使，求出相应的值，即应是使P、Q阻尼求出与相对应的值，并将比op值代入其中，可分：精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第36页，共46页欢迎下载23p8132 (3.44)2Q81332出来的阻尼比不一样。换句话说，在适当选择值时，只能使曲线在P点(或Q点)为极大值。图3.16)中就分别表示出以PQ2与PQ但它们彼此相差不多。所以，可取23813 (3.45) (3)设计步骤(*)1)根据主系统的振动情况，测定振动频率B1。然后根据减振要求，按(3.43)式计算出质量比的值。B2)测定主系统的静刚度221精品学习资料精品学习资料精品学习资料欢迎下载第37页，共46欢迎下载1k12 2m13)根据(3.41)式，计算最佳频率比222op2222k22221kmn1122k2m2opm14)根据(3.45)式计算减振器最佳阻尼比阻尼系数C，即OP2n2OPCOP2m2n2OP然后，根据C来计算减振器中油的粘。度OP度第3次作业题：1、如图所示起重机小车，其质量为m1=2220kg,在质心A处用绳悬挂一重物B，其质量为m2=2040kg。绳长l=14m,左侧弹簧是缓冲器，刚度系数k=852.6kN/m。设绳和弹簧质量均忽略不计，当车连同重物B0vms和重物的运动。0迎下载第38页，共46迎下载精品学习资料精品学习资料mkm若然割断绳子，两质量块将沿斜面下滑。试求瞬时t两质量块的位置。2m2mt2t2222]g222]gsinm2x[222k(m1m2)t2t2m2c21ostm)2]ostm)21m1k2答案：利用程序，易得n1n2n1n2主振型图示11.0115精品学习资料精品学习资料精品学习资料第39页，共46x0.4cos3.1622777t0.8cos5t1x0.4cos3.1622777t0.4cos5t2900,[c]=11110501,[k]=,{f(t)}110501509023-3如图所示，已知质量比＝0.1,固有频率比=0.909,放大系数r=1.55,0.1846，m1=11,k1=100,根据程序求动力吸振器弹簧的刚度3-4一辆汽车重17640N，拉着一个重15092N的拖车。若挂钩的弹簧下载第40页，共46下载dd精品学习资料dd精品学习资料x1x2m1km2n1n2111T;u210.856T3-5一个电动机带动一台油泵。电动机转子的转动惯量为J，油泵的12JJdd2u12222232JJ(d4ld4l)2121221TuTu223-6试确定图3-3所示皮带传动系统的固有频率和特征向量。两皮带下载第41页，共46下载k精品学习资料k精品学习资料kJ1,d1k0,u11r/r22k(12J1J2r2),u2J2J21dJ/dJT21