人教版通用2015年高考数学文科大题部分专练11份

目录

中档大题规范练——导数的应用................................................1

中档大题规范练——概率与统计................................................7

中档大题规范练——立体几何.................................................11

中档大题规范练一三角函数.................................................15

中档大题规范练一数列.....................................................19

中档大题规范练——圆锥曲线.................................................24

中档大题规范练——直线与圆.................................................31

压轴大题突破练——函数与导数(一)...........................................36

压轴大题突破练——函数与导数(二)...........................................40

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一).......................................44

压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二).......................................48

中档大题规范练——导数的应用

1.已知函数2x+1,g(x)=lnx.

(1)求尸(x)=/(x)-g(x)的单调区间和极值；

(2)是否存在实常数人和加，使得x>0时，・危)》丘+，〃且g(x)Wfcc+，〃？若存在，求出后和加的值

;若不存在，说明理由.

解⑴由F(x)=x3-2x+1-lnx(x>0),

,3x3-2x-1

得9(x)=--一(x>0),

令厂'(x)=0得x=l,易知他制在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，从而尸(x)的极

小值为尸(1)=0.

⑵易知.*x)与或v)有一个公共点(1,0),而函数g(x)在点(1,0)处的切线方程为y=x-1,下面只

f{x)^x-1

需验证g07都成立即可.

设h(x)=x3-2x+1-(x-l)(x>0),

则h'(x)=3x2-3=3a+l)(x-l)(x>0).

易知〃(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

所以〃(x)的最小值为力(1)=0,

所以/(x)2x-1恒成立.

]-X

设％(x)=Inx-(x-1),则上,(x)=x(x>0).

易知”(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以A(x)的最大值为网1)=0,

所以g(x)Wx-1恒成立.

故存在这样的实常数左=1和加=-1,使得x>0时，+”?且g(x)WAx+m.

2.设函数/仁)=亦3+取2+5在区间［0,1］上单调递增，在区间(一8,0),(I,+8)上单调

13

递减，又f(2)—2-

⑴求/(x)的解析式.

(2)若在区间［0,m］(加>0)上恒向/(x)Wx成立，求加的取值范围.

解(ly7(x)=3ax2+2bx+c,

由已知/(0)=/(1)=0,

3

即|：=°；解得b~2a,

[3a+26+c=0,

0.

所以/(x)=3<7X2-3ax^

所以‘(%受¥《

所以a=-2,b=3,

所以加)=-2?+3/

(2)令即-2:?+3d-xWO,

所以x(2x-l)(x-1)^0,

所以0或1.

又在区间［0,上恒成立，

所以

3.已知函数/(x)=a¥3+x2+&r(其中常数mb《R),g(x)=>(x)+/(x)是奇函数.

(1)求/(%)的表达式；

(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间［1,2］上的最大值与最小值.

解(1)由题意得/(x)=3ox2+2x+b,

因此g(x)=J{x)+/(x)=Qj?+(3a+1)x2+(b+2)x+b.

因为函数g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x),

即对任意实数X,有。(-x，+(3〃+l)(-x)2+

(b+2)(-x)+力=-［〃/+(3〃+l)x2+(。+2)x+b］,

从而3a+l=0,6=0,解得4=-；，6=0,

因此加)的表达式为火X)=-1x3+X2.

⑵由(1)知g(x)=-y+公，所以g'(x)=-W+2.

令g'(x)=0,解得X1=-也，丫2=也，

贝！I当x<-6或时，g'(x)<0,

从而g(x)在区间(-8,-也)，(啦，+8)上是减函数；

当-也时，g'(x)>0,

从而g(x)在区间(-小，也)上是增函数.

由上述讨论知，g(x)在区间［1,2］上的最大值与最小值只能在x=1,啦，2时取得，

而g⑴=|,g(巾)=芈'g(2)=g'

因此g(x)在区间［1,2］上的最大值为g(巾)="¥，

4

最小值g(2)=§.

4.甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方

索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润M元)

与年产量，(吨)满足函数关系x=2

00附.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格).

(1)将乙方的年利润”(元)表示为年产量/(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；

(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额^=0.002产(元)，在乙方按照获得最大利润的产

量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少

?

解(1)因为赔付价格为S元/吨，

所以乙方的实际年利润为口=2000V/-St.

人，八，曰1000、2

令①=0,付，=%=(-~)•

当/v/o时，①，>0;当r>«)时，①'<0,

所以£=而时，口取得最大值.

因此乙方获得最大利润的年产量，0=(噌)2(吨).

(2)设甲方净收入为。元，则。=SL0.002上

将/=(噌产代入上式，得到甲方净收入

v与赔付价格S之间的函数关系式.

100022X10003

V=S4-

r,100028X10003

又。=一-^+C

100()2x(8ooo-s3)

=s

令0，=0,得S=20.

当S<20时，v'>0;当S>20时，v'<0,

所以S=20时，o取得最大值.

因此甲方向乙方要求的赔付价格S=20(元/吨)时，获得最大净收入.

5.已知函数/(x)=lnx+§,aSR.

(1)若函数/)在［2,+8)上是增函数，求实数a的取值范围；

(2)若函数/(x)在［1,e］上的最小值为3,求实数a的值.

解(i)vy(x)=inx+Y，:.f(x)=：-学.

:/a)在12,+8)上是增函数，

:/(X)=(-学20在［2，+8)上恒成立，

X

即aW］在［2,+8)上恒成立.

令g(x)=/，则<?Wg(X)min，xS［2,+8),

•♦,g(x)=5在［2，+8)上是增函数，

，g(X)min=g(2)=1.

.•.aWL所以实数。的取值范围为(-8,1］.

,a7x-2a

(2)由(D得/(X)----^2-,XG［1,e］.

①若2a〈l,则x-2a>0,即/'(x)>0在［1,e］上恒成立,

此时负x)在［1,e］上是增函数.

3

所以/(x)min=/(l)=2a=3,解得。=］(舍去).

②若lW2aWe,令/(x)=0,得x=2a

当\<x<2a时，f(x)<0,

所以负x)在(1,20上是减函数，当2Kx〈e时，/(x)>0,所以於)在(2o,e)上是增函数.

所以7(x)min=/(2a)=ln(2a)+l=3,

2

解得Q=5e(舍去).

③若2心e,则x-2ov0,即/(x)v0在［1,e］上恒成立，此时段)在［1,e］上是减函数.

所以/(x)min=7(e)=1+%=3,得4=e.适合题意・

综上a=e.

6.已知函数/(x)=a\nx+^ax2+hx(aW0).

(1)若函数本)的图象在X=1处的切线方程为尸3x一全，求a、b的值；

(2)若a=2时，函数段)是增函数，求实数6的取值范围；

(3)设函数g(x)=ln

x的图象G与函数〃(x)=/(x)—〃g(x)的图象C2交于点P、0，过线段P。的中点及作x轴的垂线分

别交G、C2于点V、N,问是否存在点A,使Ci在V处的切线与。2在N处的切线平行？若存

在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

解(1)函数y(x)=olnx+/储+的定义域为(0,+°°),

当x=l时，f⑴=2。+b=3,火1)=%+b,

所以函数4》)的图象在x=1处的切线方程为、-(；〃+〃)=3a-1),

即y=3x+(5+6-3),

13

所以2〃+b-3=以

'2a+b=3,

解方程组＜13得。=6=1.

于+6_3=一m),

2

(2)由(1)知，/(X)=-+2Y+*,则/(x)20在(0,+8)上恒成立,

2

即---2x在(0,+8)上恒成立，

因为［+2^22\^：右=4(当且仅当》=1时等号成立),

2

所以-1-2xW-4,所以62-4,

故实数6的取值范围为［-4,+8).

(3)设点P。的坐标分别为8,凹)、(X2,及)，

且0<x,<x2,则点A/、N的横坐标均为X=归&.

G在点"处的切线斜率为鬲=*=*2*=v1V.

C2在点N处的切线斜率为后=(依+6)卜=&■/=如y+b.

假设G在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，

则由=曲则V—=幽产+6,

+

X1x22

2(X2-XI)a(X2-xf).

即X|+X2=2

=(p：2+bx2)-&+如)

,.1X2

=y2-yt=lnx2-lnxl=ln-,

所以心邃=空二3

XlX\+x2

令”=独>1,

Xi

i2Q-1)c

则Inu=-r-—，u>\,①

1+u

人।2(〃-1)

令r(z/)=In〃--77---，w>L

1+u

2

则，(»)=~-“：f=(::If.

M(1+U)U(ll+1)

因为">1,所以y(")>0,所以『3)在(1,+8)上单调递增，

故r(u)>r(l)=0,则In力笔?，这与①矛盾，故假设不成立.

即不存在满足题意的点发

中档大题规范练一概率与统计

1.第12届全运会已于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈男女

阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者91577899

9816124589

的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm),身高在17586501723456

74211801

cm以上(包括175cm)定义为“高个子”,身高在175119

cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”.

(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人

,求至少有一人是“高个子”的概率；

(2)若从身高180cm以上(包括180cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5

cm以上的概率.

解(1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人，

用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是芯=?

所以抽取的5人中，“高个子”有12Xt=2人，“非高个子”有18X9=3人.

“高个子”用力,8表示，“非高个子”用a,b,c表示，则从这5人中选2人的情况有

(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共10

种，

至少有一名“高个子”被选中的情况有(4B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,

b),(B,c),共7种.

因此，至少有一人是“高个子”的概率是

(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180cm以上(包括180cm),身高分别为181cm,182

cm,184cm,187cm,191cm;有2名女志愿者身高为180cm以上(包括180cm),身高分别为

180cm,181cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180),(181,181),(182,180),(182,181),

(184,180),(184,181),(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共10种情况，

身高相差5cm以上的有(187,180),(187,181),(191,180),(191,181),共4种情况，故这2

42

人身高相差5cm以上的概率为m=亍

2.(2013•北京)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表

示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13

日中的某一天到达该市，并停留2天.

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；

(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)

解(1)在3月1日至3月13日到达这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6

天的空气质量优良.

所以，此人到达当日空气质量优良的概率尸=强.

(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生，则该人到达日期应在4日，5

日，7日或8日.

4

所以，只有一天空气重度污染的概率。=万.

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

3.先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现

的点数.

(1)求点尸(x,用在直线y=x—2上的概率；

⑴求点尸(x,y)满足/的概率.

解每枚骰子出现的点数都有6种情况，

所以，基本事件总数为6X6=36(个).

(1)记“点尸(x,刃在直线y=x-2上”为事件4

则事件才有4个基本事件：(3,1),(4,2),(5,3)>(6,4),

41

所以，^)=36=9-

(2)记”点P(x,y)满足/<级”为事件8,

则事件8有12个基本事件：(1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(5,3),

(6,1),(6,2),(6,3),

121

所以，尸(8)=石=§.

4.(2013•福建)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究

工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先

统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25

周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60),[60,70),[70,8

0）,[80,90）,[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以

下组”工人的概率；

（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2X2列联表

,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

附.一M2"21）2

％―rt1+M2+«+l«+2

0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

（注：此公式也可以写成

2

r2_______"（ad—be）、

（a+b）（c+d）（a+c）（b+ci）

解（1）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名.

所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60X0.05=3（人）,

记为A।,Ait4；

25周岁以下组工人有40X005=2（人）记为B2.

从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是（小，4），（小，，3），缶2,

,3），（小，Bl）,（Ai，82）,（左，Bl）,（“2，82），（彳3，B[）,（43，82），（Bi，B2）.

其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（小，当），（小,

7

&），（“2,&），（彳2,82）,（丸，S）,（小，4），回B2）.故所求的概率尸=讪.

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手

60X0.25=15（A）,“25周岁以下组”中的生产能手40X0.375=15（人），据此可得2义2列

联表如下:

生产能手非生产能手合计

25周岁以上组154560

25周岁以下组152540

合计3070100

n(ad—6c丁

所以得太

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

100X(15X25-15X45)2

60X40X30X70

25

因为1.79<2.706.

所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.

5.有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同

,现从中任意取出两个球.

(1)求取得的两个球颜色相同的概率；

(2)求取得的两个球颜色不相同的概率.

解从六个球中取出两个球的基本事件有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),

(4,6),(5,6)共计15个基本事件.

⑴记事件/为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2),(1,3),

31

(2,3),共计3个基本事件，故尸⑷=m=亍

记事件5为“取出的两个球是黑球”，同理可得P(8)=1;

记事件C为“取出的两个球的颜色相同"，则C=4+8,且48互斥，根据互斥事件的概

2

率加法公式，得P©=P(A+B)=P⑷+P(B)=1

(2)记事件。为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C,。互斥，根据互斥事件概率之

23

间的关系，得p(r>)=i-p(c)=i-g=§.

6.(2014•福建)根据世行2013年新标准，人均GDP低于1

035美元为低收入国家；人均GDP为1035〜4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4

085〜12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12

616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下

表：

区人口占城区人均GDP(单位

行政区

市人口比例：美元)

A25%8000

B30%4000

C15%6000

D10%3000

E20%10000

(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；

(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收

入国家标准的概率.

为%8000X0.25。+4000X0.30。+6

解(1)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP

000X0.15。+3000X0.10。+10000X0.200=6400.

因为6400G[4085,12616),

所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.

⑵“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是{A,B},{A,C},{A,D},

{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},共10个.

设事件”抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M,

则事件M包含的基本事件是：{A,C},{A,E},{C,E},共3个，所以所求概率为P(M)

__3_

=而

中档大题规范练一立体几何

1.如图所示，已知三棱锥Z—5PC中，APLPC,AC±BC,的

中点，。为尸8的中点，且△尸例8为正三角形.

(1)求证：〃平面ZPC：

(2)求证：平面平面/PC；

(3)若BC=4,/8=20,求三棱锥。一8CA/的体积.

⑴证明由已知，得是尸的中位线,

所以MD//AP.

又朋ZK平面NPC,ZPU平面/尸C,

故〃平面ZPC.

(2)证明因为△尸M8为正三角形，。为P8的中点,

所以MDLPB.所以APLPB.

XAPLPC,PBCPC=P,所以平面尸8c

因为BCU平面PBC,所以APLBC.

又ACCtAP-A,所以8C_L平面/PC.

因为2CU平面NBC,所以平面N8C_L平面/PC.

(3)解由(2)知，可知平面尸8C,

所以初。是三棱锥。-BCW的一条高，

又48=20,5C=4,△尸MS为正三角形，

M,。分别为P8的中点，

经计算可得用。=5小，DC=5,

S^BCD=gxBCXBD义sinZCBD

=5X4=2^/51.

所以J7。-BCM=Kw-DBC=]XS&BCDXMD

=1x2^21X5^3=Kh/7.

2.如图，在RtZX/8C中，Z8=8C=4,点E在线段/B上.过点E作E尸〃8C交/C于点尸，将

沿E/浙起到△「£：『的位置(点4与P重合)，使得NPEB=30。.

(1)求证：EF1PB；

(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PE8的面积最大？并求此时四棱锥P—EF

C8的体积.

A

E

B

(1)证明'：EF//BC且BCVAB,

.'.EF1.AB,5PEF1.BE,EFLPE.又BECPE=E,

7tL平面P2E,又PBU平面PBE,J.EFLPB.

⑵解设8E=x,PE=y,则x+y=4.

:・S&PEB=^BEPE-sinZPEB

画司受卜1.

当且仅当x=y=2时，SAPEB的面积最大.

此时，BE=PE=2.

由⑴知£7」平面PBE,

平面P8£_L平面EFCB,

在平面PBE中，作POLBE于0,则P0_L平面EFCB.

即PO为四棱锥P—EFCB的高.

又PO=PE-sin300=2x1=1.

S梯形EFCB=2(2+4)X2=6.

•**/—sc尸E=?X6X1=2.

3.如图，在矩形4BCQ中，AB=2BC,尸、。分别是线段45、CO的中点，勺

EP，平面NBCD.

(1)求证：。尸J_平面EPC；

FP

问在上是否存在点使平面力所>，平面若存在，求出

(2)EPF,8FC?AP

的值；若不存在，说明理由.

(1)证明平面"C£»,

：.EP±DP.

又4BCD为矩形,AB=2BC,P、。分别为/8、CD的中点，连接P0,

则尸Q_LDC且尸Q=gz)C.

：.DPLPC.

"：EPCPC=P,，DPJ_平面EPC.

⑵解假设存在尸使平面/RD_L平面8EC,

\'AD//BC,BCU平面BFC,/“平面BFC,

〃平面BFC.

：.AD平行于平面AFD与平面BFC的交线/.

平面力88,：.EP±AD,而/£>_L/8,

ABQEP=P,二/。！.平面E/8,；./_L平面E48.

NAFB为平面NFD与平面BFC所成二面角的平面角.

•.•尸是的中点，且FP_L48,

.•.当//尸8=90°时，FP=AP.

:.当FP=AP,即爷=1时，平面4EDJ_平面8尸C.

4.(2013•课标全国H)如图，直三棱柱48C一小BiG中,D,E分别是

AB,的中点.

(1)证明：8G〃平面小CD；

(2)设44|=NC=C8=2,AB=2小,求三棱锥C一小。E的体积.

⑴证明连接NG交小C于点R则尸为NG中点.

又。是Z8中点，连接。尸，则8G〃。反

因为。尸U平面小CD,8CM平面小CD,

所以8G〃平面小CD

(2)解因为N8C-m8cl是直三棱柱，所以A41_LCD

又因为ZC=C8,。为的中点，所以COL4A

^AAtQAB=A,于是CD_L平面/8囱小.

由A4i=/C=CB=2,AB=2巾,得N/C8=90。，

CD=yf2,4D二市,DEf,AiE=3,

故小。2+。炉=小炉，即。E_L小D

所以七_/QE=|xSA^|££>XCD=|x|xV6xV5xV2=1.

5.(2013•辽宁)如图，是圆。的直径，处垂直圆。所在的平面，C是

圆。上的点.

(1)求证：BC_L平面HC；

(2)设0为刃的中点，G为△ZOC的重心，求证：2G〃平面P8C

证明(1)由N8是圆O的直径，得/CL3C,

由以_L平面/8C,8CU平面/8C,得以_LBC.

又HC/C=Z,乃仁平面%C,/CU平面"C,

所以8CJ_平面PAC.

(2)连接0G并延长交ZC于M,连接。A/,QO,由G为△ZOC的重心,

得/为ZC中点.

由。为R1中点，得QMHP3

又。为中点，得OM〃BC.

因为QMHMO=M,0MU平面QMO,

A/OU平面0叫，8CnPC=C,

8CU平面P8C,PCU平面P8C.

所以平面QMO〃平面PBC.

因为。GU平面。朋0,所以0G〃平面PBC

6.(2014•四川)在如图所示的多面体中，四边形/88/1和/CG小都为矩形.

(1)若ZC_L8C,证明：直线8CJ_平面/CC/i；

(2)设。，£分别是线段8C,CG的中点，在线段上是否存在一点M,使直线。E〃平面小

MC?请证明你的结论.

⑴证明因为四边形/881小和/CG小都是矩形，

所以44山8,AA\VAC.

因为/8C/C=/,/BU平面/8C,/CU平面/8C,

所以44]_1_平面ABC.

因为直线8CU平面/8C,所以441_L8C.

又由已知，ACLBC,AA^QAC=A,44|U平面4CG4，4CU平面4CG小，

所以8cl.平面ACC\A\.

(2)解取线段的中点连接小MMC,AtC,ACX,设。为小C,4cl的交点、.

由题意知，。为/G的中点.

连接MD,OE,OM,则MD,OE分别为△ZBC,△/CG的中位线,

所以MD触;/C,0E触;/C,

因此MDOE.

从而四边形MDEO为平行四边形，则DE//MO.

因为直线。放平面小MC,MOU平面小MC,

所以直线。E〃平面小MC.

即线段AB上存在一点加(线段的中点)，使直线〃平面AXMC.

中档大题规范练一三角函数

.「人〃、(sin%—cosx)sin2x

i.已知函数/)=!—高丁—.

⑴求*x)的定义域及最小正周期：

⑵求/(X)的单调递增区间.

解(1)由sinxWO得xWE/ez),

故/(x)的定义域为{x^RkWE,%ez}.

(sinx-cosx)sin2x

因为/)=

sinx

=2cosx(sinx-cosx)

=sin2x-2cos2r

=sin2x-(1+cos2x)

=色sin(2x-^一

1,

所以加)的最小正周期r=y=n.

(2)函数y=sinx的单调递增区间为

2桁-全2kn+'(keZ).

71兀71

由+xWZ兀(左£Z),

得反一^WxWE+争，xR!ai(kGZ).

所以外）的单调递增区间为

[而一鼻，％兀）和（%兀，也+知（攵£Z）.

2.已知△ZBC的三个内角Z,B,C成等差数列，角8所对的边6=小，且函数/）=2小

sin2x+2sinxcosx一小在x=4处取得最大值.

（1）求危）的值域及周期；

⑵求△ABC的面积.

解（1）因为4B,C成等差数列，

所以28=4+。，又4+8+。=兀，

所以8甘，即/+C=牛.

因为儿0=2V3sin2x+2sinxcosx-y[i

=>\/3(2sin2x-1)+sin2x=sin2x-小cos2x

=2sin(2x

所以7=-y=x

又因为sin（2x-§£[-1,1],

所以加）的值域为[-2,2].

（2）因为人工）在x=Z处取得最大值,

所以sin（24-护L

因为0<A<^TI,所以一$24-1<K,

故当243=5时,/）取到最大值,

571

所以/=万兀，所以C=1

由正弦定理，知丹=已=0=卷

sinjsina

一一、，也十加

又因为sin%=sin(Kg+47T

4

所以S^ABC=茨sinA=3

3.已知函数/)=小$出2X+2COS2X+67.

⑴求函数/U)的最小正周期以及单调递增区间；

(2)当xG[O,争时，函数危)有最大值4,求实数。的值.

解J[x}=小sin2x+2COS2X+a

=cos2x+小sin2x+\+a

兀

=2sin(2x+q+Q+1.

27r

(1)函数y(x)的最小正周期为E=兀，

由24兀-+T,ke

2O2Z,

7TTT

解得女兀-fWxWZ兀+工，kGZ.

5o

故函数7(X)的单调递增区间为[祈-$Mt+Z).

(2)W[0,J,A2X+1G[1,y],

从而sin(2x+^)e[^»1].

••Ax)=2sin(2x+3+Q+1£[〃+2,a+3],

；段)有最大值4,・・・。+3=4,故。=1.

4.设向量。=(/sinx,sinx),b=(cosx,sinx),[0,/.

(1)若|a|=|四,求x的值；

(2)设函数/(x)=〃6,求/(x)的最大值.

解(1)由=(-^3sinx)2+(sinx)2=4sin2x,

|6|2=(cosx)2+(sinx)2=1,

由|a|=例，得4sin2x=1.

又x£[0,5],从而sinx=g,

7T

所以X=不

=ah=V^sinxcosx+sin2x

龙.c1c1

=2s,n-1cos2x+2

.小兀、1

=s\n(2x-^)+y

当工=界[0,与时，sin(2x-3取最大值1,

3

所以/（x）的最大值为］

TT

5.已知函数/(x)=4coscox,sin(cox—g)+1(①>0)的最小正周期是兀.

(1)求危)的单调递增区间；

(2)求危)在空爷]上的最大值和最小值.

JI

解(1)/(x)=4coscox-sin(cox-不)+1

=2^3sincoxcoscox-2COS2CDX+1

=巾sin2cox-cos2cox=2sin(2a>x-》

最小正周期是39IT=兀，所以，3=1,

从而/(x)=2sin(2x-

令一介2人兀，k^Z.

TTTT

解得一2++E,%£Z.

o3

jrjr

所以函数外）的单调递增区间为［弋+E,；+m（FZ）.

⑵当引时,2x-色哈，笥,

/x)=2sin(2x-奇G*；6,2],

所以於）在京朗上的最大值和最小值分别为2,将啦

6.在斜度一定的山坡上的一点“测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜/C

度为15。，如图所示，向山顶前进100

m后，又从8点测得斜度为45。，设建筑物的高为50

m.求此山对于地平面的斜度。的余弦值.--------L

解在△Z8C中，ZBAC=15°,ZCBA=180°-45°=135°,AB=100m,

所以N/C8=30。.

而即人嚅需

由正弦定理，得而行

在△8CQ中，因为CD=50,ZCBD=45°,ZCDB=900+0,

lOOsin15。

由正弦定理，得舟sin30°

sin(900+0)"

解得cos。=小-1.

因此，山对地面的斜度的余弦值为小-1.

中档大题规范练——数列

1.已知公差大于零的等差数列｛〃〃｝的前〃项和Sp且满足：白2。4=64,4]+%=18.

⑴若1W21,m，0,劭是某等比数列的连续三项，求i的值.

⑵设“c是否存在一个最小的常数杨使得仇+岳+…+6”＜加对于任意的正整数〃

均成立，若存在，求出常数如若不存在，请说明理由.

解(1)数列｛%｝为等差数列，因为0+。5=生+。4=18,

又374=65,所以e。4是方程f-18x+65=0的两个根，

又公差力＞0,所以白2＜。4，所以。2=5,々4=13.

[a\+d=5,

所以一口①

[a\+3d=13,

所以①=1,d=4.所以4〃=4〃-3.

由1W21,a1,即生1是某等比数列的连续三项，

所以4口21=/，

即1X81=(4-3)2,解得i=3.

(2)由(1)知，S“=nXl+〃("：1)X4=2〃2―〃,

1

所以6”=7；---J+1、=.-0\,)，②

(2/?-1)(2〃+1)2'2〃-12/?+r

所以加+62+…+bn

1,.11111n

=5(1-行+/引…+焉亦7)=犷7，

E〃111

因为—=5-及③

所以存在m=；使仇+$+…+bn＜m对于任意的正整数〃均成立.

2.设S”为数列｛对｝的前"项和，已知0WO,2%-0=SrS"，”GN*.

(1)求见，。2，并求数列｛恁｝的通项公式;

(2)求数列｛〃%｝的前〃项和.

解(1)令〃=1,得20-°]=忧，即0=成

因为sWO,所以外=L

令〃=2,得2a2-1=S2=1+念，解得。2=2.

当心2时，由2a,j-1=St12af｝-\-1=Sn-\,

两式相减得2an~2an-\=atV即afJ=2an].

于是数列｛%｝是首项为1，公比为2的等比数列.

n

因此，an=2'.

所以数列｛4｝的通项公式为%=2"」

⑵由⑴知，na„=n-2"

记数列82"7｝的前〃项和为舔，于是

8“=1+2X2+3X22+•••+〃X2"1①

28“=1X2+2X22+3X23+—+nX2".(2)

①-②，得

-ff„=1+2+22+—+2"H-n-2"=2"-1-n-2n.

从而8“=1+(〃-1)2"

即数列｛〃%｝的前〃项和为1+(〃-1)2".

3.设数列｛内｝的前〃项和为%满足以=斯+|—2"+"1,"GN*,且0=1,设数列｛儿｝满

足b”=a”+2".

(1)求证数列｛儿｝为等比数列，并求出数列｛an｝的通项公式；

(2)若数列c“='R,T“是数列｛&｝的前〃项和，证明：7„<3.

2S“=a“*「2””+l,

(1)解当“22时，由

2S“-LQ“-2”+1

n

^>2a„=an^-a„-2

今a.+i=3a„+2",

从而bn.\=<2„M+2"T=3(%+2")=3b„,

故付“｝是以3为首项，3为公比的等比数列,

b“=a”+2"=3X3"7=3",

恁=3"-2"(〃22),

因为切=1也满足，于是为=30-2".

、一rr6〃-32/7-1

(2)证明cn=——=3〃-i，

I1352〃-32〃-1

则刀7=3+乎+…+3〃-2+3"7'①

11352〃-32拉—1

/=三+才+F+…+3”一］+3〃②

G小，口2T12222M-1

①-②，彳行北=下+?+?+…+寸?-3“

n

--

23-M

(

+31-

11

一-

HC

=2-吉2rl-1

,,n+1

故=3--yTT<3.

4.已知单调递增数列他“｝的前"项和为S“，满足S“=g⑸+〃).

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

1,〃为奇数，

(2)设C"=J[4,2+i_1,求数列｛g｝的前〃项和乙

13X20L1+1,〃为偶数，

解(1)〃=1时,°i=；(a；+l),得°1=1，

由S”=：(*+〃)，①

则当心2时，工.1=；(心+〃-1),②

①-②得%=Sn-StJ-1=3(£-47+1)，

化简得(%-I)?-%-1=0,

an-a,,\=1或%+a,,-\=1(〃22),

又｛4｝是单调递增数列，故=

所以｛为｝是首项为1,公差为1的等差数列，故%=机

.1

-----[，〃为奇数，

(2)c„=^«*>-1

.3X2a“-i+l,〃为偶数，

当,为偶数时，

Tn=(C1+c3+…+C„-|)+(c2+C4+…+c„)

=(^2T7+^2T7++^2TY)+3X(2'+23+-+2,,"')+j

1112(1-纥)〃

=----+----+…+-------------+3X--------+~

1X33X5(〃-l)X(〃+l),1-42

=gx昌+；_"••+占-缶)+2X(4卜1)+夕

/-2〃-4

=2W+1+

2(/7+1)■

当〃为奇数时，

T,,=(C1+。3+•••+c„)+(c2+c4+-+c„-i)

iiin-\

=[—+F+”・+(〃+l)2_l]+3X(2i+23+”・+2”-2)+T

1111111n-1/7-1

=SxuwL+rF)+2x(r-1)+亍

/-2/-9

=2"+

2(〃+2)•

2"+党膏（"为奇数）,

所以7；

2”、嚎号（〃为偶数）•

5.已知函数危）='，数列｛%｝满足。1=1，a«+i=/（~），“GN*.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）令儿=-1—（〃》2）,仇=3,1=仇+电+…+①，若S,,<力?一2014

2

对-,切〃£N*恒成立，求最小正整数加

—+3+

解=/（2）=包厂=多

a„

2

・・・｛%｝是以1为首项，。为公差的等差数列.

221

On=]+（〃-l）X-="77+y

_]_