(文科)简单的线性规划

1.已知函数（其中）经过不等式组所表示的平面区域，则实数的取值范围是??????．【答案】（0,1）【分析】不等式组所表示的平面区域如图，由图得，当过点（0,1）时a最大，此时a=1；当过点（0,0）时a最小，此时a=0.由平面区域不包括边界，所以a的取值范围是（0,1）.第1题图zll882.设x，y满足约束条件：，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则的最小值为．【考点】 简单线性规划．【答案】3+2【分析】由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图像可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即2a+4b=2，∴a+2b=+=（+）×1=（+）×（a+2b）=1+2++3+2=3+2，当且仅当=，即a=b时取等号．故最小值为3+2.第2题图zl2003.函数的最大值是____．【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关于函数的基本知识.【考点】分段函数的解析式求法及其图像的做法.【答案】4【分析】x≤0时，y=2x+3≤3，0＜x≤1时，y=x+3≤4，x＞1时，y=x+5＜4.综上所述，y的最大值为4.故答案为4.4.已知实数x、y满足，则z=2x－y的取值范围是____________．【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【答案】[－5，7]【分析】画出可行域，如图所示解得B（－1，3）、C（5，3），把z=2x－y变形为y=2x－z，则直线经过点B时z取得最小值；经过点C时z取得最大值．所以zmin=2×（－1）－3=－5，zmax=2×5－3=7．即z的取值范围是[－5，7]．故答案为[－5，7]．zac002第4题图【点评】本题考查利用线性规划求函数的最值．5.已知满足条件≤1的点（x，y）构成的平面区域面积为，满足条件≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为，其中[x]、[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如：[－0.4]=－1，[1.6]=1，则与的关系是（） A． ＜ B．= C．＞ D．+=π+3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【答案】A【分析】满足条件≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆,其面积为π.当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件≤1；当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件≤1；当0≤x＜1，－1≤y＜0时，满足条件≤1；当－1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件≤1；当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件≤1；∴满足条件≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形，其面积为5.综上得与的关系是＜，故选A．zac008第5题图【点评】本题类似线性规划，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大≤1的平面区域不易理解．6.设x、y满足，则z=x＋y()A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，又无最大值【答案】B【分析】由z=x＋y，得y=－x＋z，令z=0，画出y=－x的图像，当它的平行线经过点（2,0）时，z取最小值2，无最大值.7.已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3,则z=2x－3y的取值范围是______.(答案用区间表示)【答案】（3,8）【分析】画出不等式组表示的可行域，在可行域内平移直线z=2x－3y，当直线经过x－y=2与x＋y=4的交点(3,1)时，目标函数有最小值z=2×3－3×1=3；当直线经过x＋y=－1与x－y=3的交点(1,－2)时，目标函数有最大值z=2×1-3×(-2)=8.8.不等式组，所表示的平面区域的面积等于（）A.B.C.D.【答案】C【分析】由可得交点坐标为(1,1).即所表示平面区域面积为.9.满足条件的可行域中共有整点的个数为（）A.3B.4C.【答案】B【分析】有4个整点，分别是(0,0),(0,－1),(1,－1),(2,－2).10.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是（）万元.A.12B.20C.【答案】D【分析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则有.目标函数为z=5x＋3y.作出可行域后求可行域边界上各端点的坐标，经验证知，当x=3,y=4时可获得最大利润27万元.11.在平面直角坐标系中，点(－1,a)在直线x＋y－3=0的右上方，则a的取值范围是（）A.(1,4)B.(－1,4)C.(－∞,4)D.(4,＋∞)【答案】D【分析】因为点(－1,a)在x＋y－3=0的右上方，所以有－1＋a－3＞0，解得a＞4.12.已知点M(x,y)满足约束条件，点A(2,4),O为坐标原点，则z=的取值范围是_______.【答案】[－6,38]【分析】目标函数为z==2x＋4y，作出约束条件的可行域，及直线：2x＋4y=0，平移直线经过点(3,8)时，目标函数取得最大值z=2×3＋4×8=38，经过点(3,－3)时目标函数取得最小值z=2×3＋4×(－3)=－6.13.能表示如图阴影部分的二元一次不等式组是______.第13题图YGZW2【答案】【分析】由图易知阴影部分中，0≤y≤1，x≤0.又原点在直线2x－y＋2=0的右边，则2x－y＋2≥0，故阴影部分可用不等式组表示.14.已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆=4在区域D内的弧长为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】如图所示，图中两直线的斜率分别是，，所以圆心角α即为两直线所成的夹角，所以tanα==1，所以α=，而圆的半径是2，所以弧长是.第14题图YGZW315.在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为（）A.－5B.1C.【答案】D【分析】如图，阴影部分即为满足x－1≤0与x＋y－1≥0的可行域，而ax－y＋1=0的直线恒过(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转.当a=－1时，可行域不是一个封闭区域；当a=1时，面积是1；当a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好是2.第15题图YGZW416.已知约束条件，若目标函数z=x＋ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a的取值范围为（）A.0＜a＜B.a≥C.a＞D.0＜a＜【答案】C【分析】画出已知约束条件的可行域为内部(包括边界)，如图，易知当a=0时，不符合题意；当a＞0时，由目标函数z=x＋ay得y=x＋，则由题意得－3=＜＜0，故a＞.第16题图YGZW517.当x、y满足约束条件(k为常数)时，能使z=x＋3y的最大值为12的k的值为（）A.－12B.－9C.12【答案】B【分析】当z=x＋3y经过直线y=x与直线2x＋y＋k=0的交点(－,－)时，z取得最大值12.所以由－＋3×(－)=12,求得k=－9.18.在如图所示的坐标平面的可行域(阴影部分包括边界)内，目标函数z=2x－ay取得最大值的最优解有无穷多个，则a为（）A.－2B.2C.第18题图YGZW6【答案】A【分析】在中，=0，=,=－1.而令目标函数z=2x－ay=0，得所在直线的斜率为k=.因为目标函数取得的最大值的最优解有无穷多个，所以必有目标函数所在的直线与三角形的某一边所在的直线重合：（1）因为k=不可能等于0，所以目标函数所在直线不可能与直线AB所在直线重合；（2）当目标函数所在直线与边AC重合时，即k==时，得a=6，则目标函数的最小值为z=2×1－6×1=－4的解有无穷多个；（3）当目标函数所在直线与边BC重合时，即k==－1时，得a=－2.则目标函数的最大值z=2×5-（-2）×1=12的最优解有无穷多个.19.若实数x、y满足不等式组且x＋y的最大值为9，则实数m=（）A.－2B.－1C.1【答案】C【分析】将最大值转化为y轴上的截距，将m等价为斜率的倒数.20.下面给出的四个点中，到直线x－y＋1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A.(1,1）B.(－1,1)C.(－1,－1)D.(1,－1)【答案】C【分析】把(1,1)代入x＋y－1得1＋1－1=1＞0，排除A；把(－1,1)代入得－1－1＋1=－1＜0，排除B；而(1,－1)到直线的距离为，排除D;故选C.21.设定点A(0,1),动点P(x,y)的坐标满足条件，则的最小值是______.【答案】【分析】最小值即为点A到直线y=x的距离.22.若线性目标函数z=x＋y在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围是______.【答案】a≤2【分析】作出可行域如图，由图可知直线y=－x与y=－x＋3平行，若最大值只有一个，则直线y=a必须在直线y=2x与y=－x＋3的交点(1,2)的下方，故a≤2.第22题图YGZW723.由约束条件确定的平面区域的面积S=____.周长C=_____.【答案】；8+【分析】如图，其四个顶点为O(0,0)、B(3,0)、A(0,5)、P(1,4).过点P做y轴的垂线，垂足为C.则AC==1，PC==1，OC=4，OB=3，AP=,PB==,得=AC·PC=,=(CP＋OB)·OC=8.所以，S=＋=,C=OA＋AP＋PB＋OB=8＋＋2.shw11第23题图24.求不等式≤2所表示的平面区域的面积.【解】原不等式等价于,作出以上不等式组表示的平面区域，如图，它是边长为的正方形，其面积为8.第24题图YGZW825.如图x、y满足的可行域是图中阴影部分(包括边界).若函数t=ax－2y在点(0,5)取得最小值，求a的取值范围.第25题图YGZW9【解】由图易得，x、y满足的约束条件为，将目标函数t=ax－2y改为斜截式y=－，－表示直线在y轴上的截距，欲求t的最小值，可转化为求－的最大值.当a≥0时，显然直线在点(0,5)处，－取得最大值；当a＜0时，依题意，≥－1，易得－2≤a＜0.综上所述，a≥－2时，函数t=ax－2y在点(0,5)取得最小值.26.若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，求以a、b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.【解】作出线性约束条件