第14讲-二次函数与综合问题(讲练)(原卷版)

备战2020年中考数学总复习一轮讲练测第三单元函数第14讲二次函数的应用与综合问题

1、了解：二次函数的意义；2、理解：二次函数两个变量在实际问题中的意义；3、会：利用函数最值解决实际生活中的问题（注意自变量取值范围）；求几何综合中的最值问题；4、能：解决二次函数与几何综合；解决常考压轴中的公共点和整点问题。1．（2018秋•昌平区期末）科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：温度2植物高度增长量344641科学家推测出与之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．已知温度越适合，植物高度增长量越大，由此可以推测最适合这种植物生长的温度为A． B． C． D．2．（2019•房山区二模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系．下列叙述正确的是A．小球的飞行高度不能达到 B．小球的飞行高度可以达到 C．小球从飞出到落地要用时 D．小球飞出时的飞行高度为3．某汽车刹车后行驶的距离（单位：与行驶的时间（单位：之间近似满足函数关系．如图记录了与的两组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该汽车刹车后到停下来所用的时间为A． B． C． D．4．（2019•丰台区一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为A． B． C． D．5．（2018秋•通州区期末）运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线可以看作是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度（单位：与足球被踢出后经过的时间（单位：近似满足函数关系．如图记录了3个时刻的数据，根据函数模型和所给数据，可推断出足球飞行到最高点时，最接近的时刻是（）A．4 B．4.5 C．5 D．66．（2019•石景山区二模）如图，在喷水池的中心处竖直安装一个水管，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高点，高度为，水柱落地点离池中心处，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线的表达式为，则选取点为坐标原点时的抛物线表达式为，水管的长为．7．（2018秋•顺义区期末）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，为提高利润，欲对该商品进行涨价销售．经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件，将销售价定为多少时，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？8．（2018秋•西城区期末）一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系，其图象如图所示．已知铅球落地时的水平距离为．（1）求铅球出手时离地面的高度；（2）在铅球行进过程中，当它离地面的高度为时，求此时铅球的水平距离．9．（2018秋•怀柔区期末）在平面直角坐标系中，抛物线（其中、为常数，且与轴交于点，与轴交于点，此抛物线顶点到轴的距离为4．（1）求抛物线的表达式；（2）求的正切值；（3）如果点是轴上的一点，且，直接写出点的坐标．

10．（2019•东城区一模）在平面直角坐标系中，抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与轴的两个交点分别为和点（点在点的左侧），且，求的值．（3）已知四个点、、、，若抛物线与线段和线段都没有公共点，请直接写出的取值范围．1．二次函数实际应用解决现实生活中的抛物线型实际问题，可建立平面直角坐标系，利用二次函数的知识来解决，同时建立合适的平面直角坐标系，可以简化运算，通过平移坐标系或图象，也可以使运算简化；实际问题要注意自变量的取值范围，不仅保证函数解析式有意义，还要保证符合实际意义。2．二次函数与几何综合常考题型：二次函数中线段及线段和差的最值问题、图形面积最值问题、存在性问题、及抛物线与线段的交点个数问题，某个区域的整点问题等。考点一二次函数实际应用—抛物线型例1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可得到最佳加工时间为（）A．4.25分钟 B．4.00分钟 C．3.75分钟 D．3.50分钟【专项训练】1．（2018秋•北京期末）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽为．当水面上升时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少？下面给出了解决这个问题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，此时点的坐标为，，抛物线的顶点坐标为，，可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当时，求出此时自变量的取值，即可解决这个问题．方法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为．当时，求出此时自变量的取值为，即可解决这个问题．2．（2018秋•东城区期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为1.5米．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（米与水平距离（米之间近似满足函数关系．（1）求与之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．考点二二次函数实际应用—利润问题例2．（2018秋•通州区期末）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均收入将达到美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为，那么与的函数关系式是．【专项训练】1．（2018秋•丰台区期末）小哲的姑妈经营一家花店，随着越来越多的人喜爱“多肉植物”，姑妈也打算销售“多肉植物”．小哲帮助姑妈针对某种“多肉植物”做了市场调查后，绘制了以下两张图表：（1）如果在三月份出售这种植物，单株获利元；（2）请你运用所学知识，帮助姑妈求出在哪个月销售这种多肉植物，单株获利最大？（提示：单株获利单株售价单株成本）考点三二次函数综合—面积最值例3．（2019•房山区模拟）如图，二次函数与反比例函数的图象有公共点，的顶点在双曲线上，、两点在抛物线上（点在轴负半轴，点在轴正半轴）（1）求直线的表达式及、两点的坐标；（2）第四象限的抛物线上是否存在点，使得四边形的面积最大，若存在，求出点的坐标和面积的最大值，不存在，说明理由．【专项训练】1．在平面直角坐标系中抛物线经过点、、，已知，．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，为线段上一点，过点作轴平行线，交抛物线于点，当的面积最大时，求点的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为，轴于点，是线段上一动点，是轴上一动点，若，直接写出实数的取值范围．

考点四二次函数与几何综合例4．（2018秋•西城区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求抛物线的对称轴；（2）当时，设抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），顶点为，若为等边三角形，求的值；（3）过（其中且垂直轴的直线与抛物线交于，两点．若对于满足条件的任意值，线段的长都不小于1，结合函数图象，直接写出的取值范围．【专项训练】1．（2019•通州区一模）已知二次函数在和时的函数值相等．（1）求二次函数的对称轴；（2）过作轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点、．①当时，求的值；②当时，请结合函数图象，直接写出的取值范围．考点五二次函数综合—公共点问题例5．（2018秋•海淀区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，，．（1）当时，①求抛物线与轴的交点坐标；②若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围；（2）若存在实数，使得抛物线与线段有两个交点，结合图象，直接写出的取值范围．【专项训练】1．（2019•西城区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）当时，①求抛物线的对称轴，并用含的式子表示顶点的纵坐标；②若点，，都在抛物线上，且，则的取值范围是；（2）已知点，将点向右平移4个单位长度，得到点．当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．2．（2019•门头沟区一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与过点平行于轴的直线交于点，点关于直线的对称点为点．（1）求点和点坐标；（2）已知某抛物线的表达式为．①如果该抛物线顶点在直线上，求的值；②如果该抛物线与线段有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．3．（2019•朝阳区一模）在平面直角坐标系中，抛物线，当时，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点．（1）求点的坐标；（2）将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形，若图形与线段恰有两个公共点，结合函数的图象，求的取值范围．

考点六二次函数综合—整点问题例6．（2018秋•昌平区期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．（1）顶点的坐标为．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若轴且．①点的坐标为；②过点作轴的垂线，若直线与抛物线交于、两点，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求的取值范围．【专项训练】1．（2019•北京一模）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于，两点在的左侧）．（1）当时，求点，，的坐标；（2）横，纵坐标