机械能总复习

单元小结导航基本概念功率基本概念功率功机械能功和能的关系动能势能弹性势能重力势能功和能动能定理定理的应用与牛顿定律的关系物理意义表达式内容基本规律机械能守恒定律研究对象适用条件和判断方法表达式内容定律的应用【疑难解析】一．如何理解功的正负功是标量，功的正、负不表示功的方向，不能说“正功与负功的方向相反”。从改变物体运动状态的角度来看，功的正、负表示力对物体的运动起帮助作用还是起阻碍作用：当力对物体做正功时，此力为动力，它使物体的运动速度增大；当力对物体做负功时，此力为阻力，它使物体的运动速度减小。从能量的角度来看，功是量度能量转换的物理量，功的正、负表示了能量的传输方向：外力对物体做正功，则外界向物体传输能量；外力对物体做负功，物体将一部分能量向外界传输。二．摩擦力只做负功吗？在我们遇到的很多问题中，摩擦力都阻碍物体运动，对物体做负功，这就很容易使我们产生一种错觉：摩擦力总是做负功。其实，摩擦力并不总是阻力，因此可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。判断摩擦力是做正功还是做负功，要看摩擦力的方向与位移方向之间的夹角α是满足0°≤α＜90°，还是满足90°＜α≤180°，例如，在光滑水平面上放着一辆平板车B，车上放一物体A，用水平力F拉车上的物体A，若A、B间无相对滑动，则A、B间存在着相互作用的静摩擦力。此时A、B以相同的加速度做加速运动，B物体受到的静摩擦力与位移方向相同，因此摩擦力对B物体做正功。三．重力做功的特点可以证明，如果物体不是沿直线，而是沿一条任意曲线运动，重力做的功也只与物体的初、末位置的高度差有关。重力对物体所做的功只由这段运动过程的初、末位置决定，而与该物体运动过程所经过的具体路径无关。这就是重力做功的特点。这个特点使得我们在一些复杂的过程中很容易计算重力的功。重力做功的特点还可表述为：沿一条封闭曲线重力对物体所做的功为零。事实上，正是因为重力做功具有这一特点，重力势能才有意义。四．如何理解动能定理？动能定理的内容是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。动能定理是普遍适用的规律，既适用于直线运动，又适用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况。动能定理中的“外力对物体所做的总功”可理解为各个外力所做的功的代数和，也可以理解为合外力所做的功。动能定理告诉我们，做功是改变物体动能的途径。当外力对物体做正功时，物体的动能增加，这说明别的物体通过做功的方式，向这个物体（即研究对象）输送了一部分能量转化成物体的动能；当外力对物体做负功（即物体克服外力做功）时，物体的动能减少，这说明这个物体向外输送了一部分动能转化成了其它能量；当外力不做功时，物体的动能保持不变，这说明这个物体与外界没有动能与其他能的交换，但要注意这不表示物体的运动状态不变，即动能不变不意味着速度不变，可能是速度方向发生变化。动能定理可以从功的定义式出发，结合牛顿第二定律和运动学公式推导出来的，所以它不是完全独立于牛顿第二定律的动力学方程，但它们也有较大的区别：牛顿第二定律是矢量式，是力与加速度的瞬时关系，它反映了力的瞬时作用效果；动能定理是标量式，它描述力做功过程中功与物体始末两态动能增量的关系。因此动能定理反映了力对空间的累积所产生的效果。我们所学的动能定理适用的对象是单个质点，如果是一个多质点组成的系统，则这种表述不成立，因为系统的内力也可以改变系统的总动能。五．如何理解机械能守恒定律的适用条件？机械能守恒定律的条件是只有重力做功。“只有重力做功”不等于只受重力作用，它包括两种情况：①物体只受重力，不受其它力作用，例如自由落体运动过程（不计空气阻力时）；②物体虽然受到除重力以外的其它力作用，但只有重力对物体做功，其它力的合力对物体不做功，例如沿光滑斜面自由下滑的物体，支持力对它不做功，只有重力对它做功。“机械能守恒”指的是物体由一状态变化到另一状态的过程中，其动能、重力势能可以相互转化，但其机械能的总量保持不变。不仅是过程的初状态和末状态物体的机械能相等，而且是整个过程中的任一状态，物体的机械能相等。值得注意的是，不能说“物体在平衡力作用下的运动过程中，机械能守恒”。例如，用一个力拉一个物体匀速上升的过程中，所受的重力和拉力是一对平衡力，拉力对物体做正功，重力对物体做负功，物体的动能保持不变，重力势能逐渐减小，机械能逐渐减小。不但动能和重力势能的相互转化中机械能保持不变，在弹性势能和动能的相互转化中，如果只有弹力做功，机械能也是保持不变的。六．如何利用机械能守恒定律解题？应用机械能守恒定律解题，只需知道动能和势能相互转化过程的始末状态，不必去涉及运动过程，所以许多牛顿运动定律不能处理的问题或不便处理的问题，用机械能守恒定律却可以迎刃而解。应用机械能守恒定律解题时，首先应该分析研究对象在我们所研究的过程中是否满足机械能守恒的条件。因此，要对物体进行受力分析，然后考虑除重力外是否还有其他力对研究对象做功。如果研究对象在我们所研究的过程中满足机械能守恒的条件，我们就可以根据题意列出方程求解未知量。机械能守恒定律的表达式可写成多种表达式；初、末两态的机械能相等，即也可写成重力势能的增加量（或减少量）等于动能的减少量（或增加量），即如果方程中涉及两个物体总机械能守恒，可以写成初态的总机械能=末态的总机械能,或A物体机械能的增加=B物体机械能的减少,或总动能的减少=总势能的增加。【典例精析】例1如图5-34，一个质量为m的木块，放在倾角θ的斜面体上，当斜面体与木块保持相对静止沿水平方向匀速向右移动距离s的过程中，作用在木块上的各个力分别做功多少？图5−34分析木块发生水平位移的过程中，作用在木块上共有三个力：重力mg、支持力N、静摩擦力f（图图5−34解析斜面对木块的支持力N和静摩擦力f分别为N=mgcosθ，f=mgsinθ．根据功的公式，分别得重力、支持力、摩擦力的功为WG=mgscos90°=0，WN=Nscos(90°-θ)=mgcosθ·ssinθ=mgssingθcosθ，Wf=fcos(180°-θ)·s=mgsinθ·s(-cosθ)=-mgssinθcosθ．说明计算功的时候，必须认清力与位移方向之间的夹角．由计算可知，在这个过程中，支持力对物体做正功，静摩擦力对物体做负功，且两者数值相等．所以，作用在木块上的这三个力对物体做功之和等于零．讨论一个物体受到几个力同时作用，发生位移时，这几个力的合力做的功等于各个分力做功的代数和，即由F=F1+F2+F3+…+Fn，则W=W1+W2+W3+…+Wn．如例1中，由力平衡条件知木块所受的合力：F合=mg+N+f=0（矢量和），所以W合=WG+WN+Wf=0（代数和）图5−35例2汽车发动机的功率为60kW，汽车的质量为4t，当它行驶在坡度为的长直公路上时，如图5－35，所受阻力为车重的倍(g＝图5−35(1)汽车所能达到的最大速度vm=？(2)若汽车从静止开始以0.6m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？(3)当汽车匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少？(4)在10s末汽车的即时功率为多大？分析由P=F·v可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比．当汽车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服下滑力)相等时，速度达最大．只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当F·v=P额时，匀加速运动即告结束，可由W=F·S求出这一阶段汽车做的功．当10s末时，若汽车仍在匀加速运动，即可由Pt=F·vt求发动机的即时功率．解析(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即F阻＝Kmg＋mgsinα=4000＋800=4800N．又因为F＝F阻时，P=F阻·vm，所以(2)汽车从静止开始，以a=0.6m/s2，匀加速行驶，由F＝ma，有F′－F阻－mgsinα＝ma．所以F′＝ma＋Kmg＋mgsinα＝4×103×＋4800＝×103N．保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度v′m，有由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移(3)由W=F·S可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为W＝F·S＝×103×=×105J．(4)当t＝10s＜s，说明汽车在10s末时仍做匀加速行驶，则汽车的即时功率Pt=F·vt＝F·a·t＝×103××10＝kW．说明本题为功和功率概念应用于汽车运动过程中的综合题．注意汽车匀加速行驶的特征：牵引力为恒力，发动机输出功率与即时功率逐渐呈线性增大．当输出功率达到额定功率可作为匀加速运动结束的判据，此后牵引力逐渐减少，直到以以Vm收尾匀速行驶．图5−36例3一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，量得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图5－图5−36分析以物体为研究对象，它从静止开始运动，最后又静止在平面上，考查全过程中物体的动能没有变化，即ΔEK=0，因此可以根据全过程中各力的合功与物体动能的变化上找出联系．解析设该面倾角为α，斜坡长为l，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S2，则对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk．mgl·sinα－μmgl·cosα－μmgS2=0得h－μS1－μS2=0．式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故说明本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．用动能定理解题，只需抓住始、末两状态动能变化，不必追究从始至末的过程中运动的细节，因此不仅适用于中间过程为匀变速的，同样适用于中间过程是变加速的．不仅适用于恒力作用下的问题，同样适用于变力作用的问题．例4如图5-37所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2m的小球，B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB与地面垂直，放手开始运动，在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是图5−37A．图5−37B．A球机械能减少量等于B球机械能增加量C．B球向左摆动所能达到的最高位置应高于A球开始运动的高度D．当支架从左向右回摆时，A球一定能回到其始高度解析看作一个整体，系统机械能守恒，所以B、D正确。由于mA>mB，所以球A到最低位置时重力势能减少量大于B球重力势能增加量，系统重力势能减少转化为系统动能，所以此时A、B两球有速度将继续向左摆，所以C正确。答案BCD例5如图5-38所示，粗细均匀的U形管内装有总长为4L的水。开始时阀门K闭合，左右支管内水面高度差为L。打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的内部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）K图5-38解析由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长的水柱由左管移到右管。系统的重力势能减少，动能增加。该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高的水柱降低重力势能的减少。不妨设水柱总质量为8m，则，得。K图5-