人教B版高中数学必修五导学案【全册】

人教B版高中数学必修五导学案

3.1.1不等关系与不等式学案

【预习达标】

1.用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的关系，含

有这些不等号的式子叫做.

2.数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数总比左边的点对应的实数.

3.a》b的含有是；若a>b,则a>b是命题；若a'b,贝Ua=b是命题.

4.比较两个实数大小的依据是：a-b>0O:a-b=O=:

a-b<0=.

5.作差比较两个代数式的大小过程中，变形的方法常有和.

【典例解析】

例1.⑴比较六+3与3x的大小,其中xGR；

(2)比较x'+l与x'+x'的大小，其中xWR；

n

(3)比较(+1)—1)3与2的大小(nWO)

V6脸

例2.已知a、beR1,n《N’，且IWmWn,an+bn^anmbB+ambn-0o

例3.设f(x)=l+log».3,g(x)=21ogr2,(x>0且x#l)试比较f(x)与g(x)的大小.

【达标练习】

一.选择题：

1.已知a<0,-l<b<0,那么下列不等式成立的是()

A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2Dab>abJ>a

2.已知a>b>c,则」一+」一+---的值(

a-bb-cc-a

A.为正数B.为非正数C.为非负数D.不能确定

3.已知x>y>z且x+y+z=O,下列不等式中成立的是()

A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|

Y

4.已知x,y,z为非零实数，代数式——+上+工+/”的值所组成的集合是M,则下

I尤IIyIIzIIxyzI

列判断正确的是()

A.0gMB.2GMC・-4gMD.4GM

5.f(x)=3X2-X+1,g(x)=2x2+x-L则有()

A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)<g(x)D.不能确定大小关

系

二.填空题：

6.设a=2—㈠，b=V5-2,c=5—2V5,则a、b、c的大小关系为

7.石+与2Ji的大小关系是,"一石与风一"I的大小

关系是________________

8.2<aW3,—2WbWT,则a+b的取值范围是,a-b的取值范围是.

三.解答题：

9.已知aWO试比较（a'+J^a+l）（£—J5a+1）与（£+a+l）（a“一a+1）的大小.

V-]

10.XGR,比较(x+1)(x\—+D与(x+-)(x?+x+l)的大小

22

参考答案：

【预习达标】

1.不等，不等式；

2.大；

3.a>b或a=b,真，假；

4.a>b,a=b,a<b；

5.配方法和因式分解法。

【典例解析】

例1.解析：(1)(X2+3)-3X=X2-3X+3=(X-1.5)2+0.75>0/.X2+3>3X

(2)(x6+l)—(x"+x?)=x6+l—x4—x2=x'(x2—1)—(x2—1)=(xJ—l)2(x2+l)XK.x'+l-2

x4+x2

(3)(a+1)3=a3+3a2+3a+1,(a-1)3=a3-3a2+3a-l

n3n

+1)-1)3-2=n2>0(+1)虚-1)3>2

例2.解析：an+bn-(an-ff,bn+ambn-ra)=an-™(am-b,l,)+b，rm(bm-am)=(am-bm)(a,rra-尸)当a二b时取等

号；当aWb时，取“>”

例.解析:=

3f(x)-g(x)=l+logx3-21ogx2=logv3x-logv4l°g一九

3x>10<x<14

⑴当log-x>0时，即<3]或《八31时，也就是x>—或0〈x〈l时，f(x)>g(x)；

v4—A>iu<-x<i3

334

(2)当log—x=0时,，即一次=1时，也就是x=一时，f(x)=g(x)；

x443

3[x>1[0<x<14

⑶当log—x<0时，即即，,3或13时，也就是l〈x〈一时，f(x)<g(x)o因

v4u<—A<.1—%>13

444

此x〉一或0<x〈l时，f(x)>g(x)；x=—时，f(x)—g(x);1<X〈一时，f(x)<g(x),

333

【达标练习】

一、1.C解析:ab为正最大，b2<l.,.ab2-a<0,ab>a>ab2

."+儿+想一“2一〃2+仍—»+(1)2]

2.A解析:库式=_________________________—乙_________________________________________________________________..・

(a一b)(b-c)(c-a)(a-b)(b-c)(c-a)

a>b>c・,・原式>0

3.C解析：・.・x〉y>z且x+y+z=0,・・.x〉0,z<0但b正负不确定，还可能为零

4.D解析：讨论可知M的元素只有0,±4三个

5.A解析：f(x)-g(x)=(x—1)2+1>0

二、6.a〈b<c解析：：a=2-K<0,b>0,c>0,而。4)=7-3石=如一届>0；.a<b〈c

7.V5+V7>273(比较平方后的结果)；

V7-V5>713-VH(比较它们的倒数或分子有理化)

8.(0,2],(3,5]

三、9.解析：[(a2+V2a+1)(a2—y[2a+1)]—[(a2+a+l)(a2—a+l)]=[(a2+l)2—2a2]—[(a2+l)2

—a2]=­a2<0

Y1Y1Y

10.解析：(x+1)(x2+-+l)=(x+-)(x2+-+l)+-(x2+-+l)；

22222

(x+-)(x2+x+l)=(x+-)(x2+-+l)+(x+-)-=(x+-)(x2+-+l)+-(x2+-)

222222222

Y*1

.,.(x+1)(x2+-+l)>(x+-)(x2+x+l)o

22

3.1.2不等式的性质学案

【预习达标】

1.不等式的对称性用字母可以表示为.

2.不等式的传递性用字母可以表示为

3.不等式的加减法则是指不等式两边都加匕（或减去）同个数（或整式）不等号方向不变,

用字母可以表示为；由此性质和传递性可以得到两个同向不等式可以相

力口，用字母可以表示为.

4.不等式的乘法法则是指不等式两边都乘以同一个不为零的正数，不等号方向不变用字母可

以表示为;同时乘以同一个不为零的负数，不等号方向改变，用字母

可以表示为;由此性质和传递性可以得到两个同向同正的不等式具有

可乘性，用字母可以表示为。

5.乘方、开方法则要注意性质仅针对于正数而言，若底数（或被开方数）为负数时，需先变

形。如：a〈b〈O,则a，b2,a3b3,\[ay[b

6.倒数法则是对同号的两个数而言的，即只要两个数同号，那么大数的倒数就一定小，用字

母可以表示为;若两个数异号，由于正数大于所有负数，所以倒

数的大小自然易判断，如一3<5,那么倒数大小关系为o

【典例解析】

例1.适当增加不等式条件使下列命题成立：

⑴若a〉b,则acWbc；⑵若acObc',则a">!?'；

⑶若a>b,则lg（a+l）>lg（b+l）；（4）若a>b,c>d,则巴>—.

例2.设f(x)=ax?+bx且lWf(T)W2,2Wf⑴W4,求f（-2）的取值范围.

【达标练习】

一.选择题：

1.若a>b,c>d,则下列不等式成立的是（）

A.a+d>b+cB.ac>bdC.—>—D.d—a<c—b

cd

2.若a<b<0,则下列不等关系不成立的是（)

A.->-B.—C.D.|a|>-b

aha-hb

3.对于0<a<l,给出下列四个不等式①log“(l+a)<log(i(l+')②log.(1+a)>logfl(1+

aa

③④*其中成立的是（）

A.①③B.①④c.②③D.②④

4.若省，省,In5

c=----贝nUl)

5

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

5.下列命题正确的是(

A.若a>b则ac2>bc2B.若——>f则a>b

cc

C.若a>b,abWO则D.若a>b,c>d则ac>bd

ah

二.填空题：

6.1<a<2<b<3则a+b的范围是—;a—b的范围是a—2b的范围是

;ab的范围是；处的取值范围是

h

7.若a>b>0,c<d<0,e<0,那么与了的大小关系为

(a-c)2(b-d)

冗TT

8.ae(o,—),Be(-,兀),则a—2B的取值范围是

22

三.解答题：

9.f(x)=ax'一c,且一4Wf(l)这一1,一lWf(2)W5,求f(3)的取值范围。

10.已知lWa+bW4,—IWa—bW2,求4a—2b的取值范围。

参考答案：

【预习达标】

1,若a>b则b<a；若a<b则b>a；

2.若a>b,b>c则a〉c；

3.若a>b则a+c>b+c；若a>b,c>d则a+c>b+d；

4.若a>b,c>0则ac>bc；若a>b,c<0则ac<bc；若a>b>0,c>d>0则ac>bd；

5.>,<,<

6.若ab>0且a>b则,<l<—o

ah-35

【典例解析】

例1.(1)cWO解析：乘以负数不等号方向才会改变

(2)bCO解析:・・,ac2>bc2・・・a>b但只有均正时，才有1方

(3)b>—1解析：・・・a>b・・・a+l>lb+l但作为真数，还需为正，，需要b>一1

(4)b>0,d>0解析:同向同正具有可除性

例2.解析：•.•f(-l)=a-b,f(l)=a+b/.a=-[f(1)+f(-1)],b=-[f(1)-f(-1)].*.f(-2)=4a

22

-2b=3f(-l)+f(l),..TWf(T)W2,2Wf(l)W4,；.5Wf(2)W10。

解二：设f(2)=mf(-1)+nf(1)EP4a-2b=m(a-b)+n(a+b)比较系数可得m=l,n=3/.

4a-2b=(a-b)+3(a+b^Pf(2)=f(-l)+3f(1)-IWf(-1)W2,2近f⑴W4,工5Wf(2)

00。

评注：严格依据不等式的基本性质和预算法则，是正确解答此类题目的保证。由

a〈f(x,y)<b,c〈g(x,y)<d求h(x,y)的范围,可利用待定系数法解决。

【达标练习】

—1、1.D解析：Va>b,c>d/.a+c>b+dBPa-d>b-cBPd-a<c-b

2.C解析:Va<b<0.\-a>-b>0.\

3.D解析：•「(KaVl**.—>l>a>0,从而1+—>l+a>lloga(1+ci)>loga(1H—),

aaa

l+a、1+—

ayaa°

4.C解析：a=lnV2,b=为，c二遍而四=我〈莎二为，

V2='V32>10V25=V5,Ac<a<b

5.B解析：由-—■知c~〉0,a>b

cc

二、6.解析：Vl<a<2,2<b<3.\a+be(3,5),a-be(-2,0),a-2be(-5,-2),

abe(2,6),-G(-,1)

b3

7.解析：Vc<d<0.\-c>-d>0.>.a-c>b-d>0；.(a-c)2>(b-d)2二一,~~-<——!~-

(a-c)2(b-ci)?

ee

Ve<0；.------->-------

(a-c)2(b-d)2

TT

8.解析：-2兀<-2/3<-7C•>—27r<ex,—2/?<——

1?4

三、9.Vf(l)=a-c,f(2)=4a-c[f⑵-f⑴],c=-f(2)--f(1)

333

Q5

Af(3)=9a-c=-f(2)--f(1),V-4^f(1)^-1,TWf(2)W5,・••一(3)〈20。

33

10.设4a-2b=x(a+b)+y(a-b)比较系数可求得x=Ly=34a-2b=(a+b)+3(a-b),V

a+bW4,—lWa—bW2,一2W4a—2bW10

等比的基本运算

1.2,a,"c,4成等比数列，则8=o

2.在等比数列｛%｝中，（1）已知%=27,q=-3,贝!]/=，4“=。

（2）已知％=$,%=£,5"=歹，贝i」q=------------，n=------------

（3）已知。5一。1=15,%一。2=6，贝U〃]3=。

（4）已知S3=（,S6=?，贝！|4=______,s“=J

3.设｛%｝是等比数列，判断下列命题是否正确？

（1）｛凡｝是等比数列（）；（2）｛a/,用｝是等比数列（）

（3）<,>是等比数列（）；（4）｛lg|%|｝是等比数列（）

（5）｛pa,J是等比数列（）；（6）｛a“+a“+J是等比数列（）

4.设qM,,小,%成等比数列，公比q=2,则％+&=______________。

2a3+%

5.数歹U｛an｝成等比数歹U,a„>0,a3a5+24。6+%%=81，则%+/=»

6.等比数列｛《,｝中，a“>0%=32,则log24+log2a2+.....+log2a8=

7.已知。，瓦c成等比数列，和Ay,c都成等差数列，肛W0,则9+^的值

为。

8.已知等差数歹U｛%｝的公差1工0,%,生,旬成等比数列，则%+%+旬=»

出+%+。10

9.已知等比数列J｛%｝中，已知q=g,S3=?,求公比q=

10.｛6,｝是公差不为0的等差数列,且叫吗0吗5是等比数列也｝的连续三项，若4=3,

贝11bn=。

11.在等比数列｛%｝中，%,%是方程4，%是方程/—15犬+36=0的两根，则出的值

为。

12.设｛a“｝是等比数列，a,,>0,公比q=2,•一%=2*,则•丹

13.在等比数列｛4｝中，%+。2=20,。3+。4=40，则%+%>=°

14.已知等比数列｛%,｝的公比为4,且数列｛6,+1｝也是等比数列，贝Ijq=。

15.等比数列｛《,｝中，a3a4a5=27,则..ai~

16.在两个同号的非零实数”和人之间插入2个数，使它们成等比数列，试用。力表示这个等

比数列的公比_______________

33

17.已知。,一巳4,一士,C五个数构成等比数列，则。=,b=c=

28

32

18.在G.p｛a“｝中，已知a2=-6,&=-,则an

19.已知数列｛4｝中，=2"+3",且数列｛a用一pa,J为等比数列，常数〃

20.若｛aj是各项都大于零的等比数列，且公比qWl,则3+&,a?+a3的大小关系为_

Hi+a”3.2+a»3

21.等比数列的前三项和为168,a2—a5=42,则a-和a7的等比中项是

1,已知公差不为。的等差数列的第2,3,6项，依次构成一个等比数列，求该等比数列的通

项。

2.在等比数列｛氏｝中，q+%=9,%+&=36,。“=4,求〃。

3.三个正数成等差数列，它们的和为15,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列，求这三

个数。

4.已知等比数列｛《,｝,若％+。2+%=7，。1=8，求公比4。

5.已知q=2,点(a〃,a“+J在函数〃x)=d+2x的图像上，(〃eN*),设〃,=lg(a“+1),

求证：也｝是等比数列

6.｛。“｝为等比数列，的+4=36,%+%=18,。“=g,求〃及S“；

7.有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21,中间两项的

和为18,求这四个数。

8.在等比数列｛4｝中，（1）已知％=-1.5,%=-96,求q和S“；

131

(2)已知g=—,§5=---，求q和(3)已知q=2,S3=26,求g和%。

28

9.设等比数列｛4｝的公比4<1,前〃项和S“，已知43=2足=552,求偿。

10.已知数列｛4｝中，%=2",求数列｛Iga,,｝的前“项和。

11.已知数列｛。“｝中，an=T,①求出"；②求出+%+Q+…+?0的值。

等比数列的概念及通项

使用课时数1课时

教学目标：1.掌握等比数列的概念。

2.能根据等比数列的通项公式，进行简单的应用。

教学过程：

1.观察以下数列：

1,2,4,8,16,...

36,36x0.9,36x0.92,36x0.93,……

3,3,3,3,...

2.相比与等差数列，以上数列有什么特点？

=＞等比数列的定义：______________________________________________________________

定义的符号表示,注意点：①4彳0,②对。0。

3.判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比q的值。

/、，-11

(1)1,一一一一,……

24816

(2)2,-2,2,-2,……

(3)0,1,2,4,8,……

(4)1,2,1,2,1,……

4.求出下列等比数列的未知项。

(1)2,a,8；(2)—4,/>,c,—o

2

5.已知。1,出,。3,……,凡是公比为4的等比数列，新数列%，4i，……也是等比数列

吗？如果是，公比是多少?

6.已知无穷等比数列｛为｝的首项为4,公比为q。

(1)依次取出数列｛”"｝中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果

是，它的首项和公比是多少？

(2)数列｛ca,J(其中常数CHO)是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？

二、通项公式

1.推导通项公式

例1.在等比数列｛。“｝中,

(1)已知g=3,“=-2,求。6；(2)已知4=20,4=160,求a”。

例2.在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这三个数。

例3.已知等比数列｛凡｝的通项公式为。“=3x2",（1）求首项q和公比公

（2）问表示这个数列的点（〃,4）在什么函数的图像上？

例4.类比等差数列填空:

等差数列等比数列

a=a+(n-l)J=a+(〃一〃

通项n[m

=kn+b

从第二项起，每一项与它的前一项

定义的差都是同一个常数。

首项，公差（比）没有任何限制

取值有无限制

相应图像的特点

直线），=%+（〃—l）d上孤立的点

课后作业：

1.2,a,b,c,4成等比数列，则匕=

2.在等比数列｛4｝中，

（1）已知%=27,q=-3,贝!!%=，cin=

（2）已知％=4,%=6,贝!）为=°

（3）已知。$一%=15,%一出=6,贝!]63=°

3.设｛/｝是等比数列，判断下列命题是否正确？

（1）｛。,｝是等比数列（）;（2）｛。/向｝是等比数列（）

是等比数列（）；（4）｛1g同｝是等比数列（）

（5）｛pa，是等比数列（）;（6）｛a.+a“+J是等比数列（）

4.设%,电，%，4成等比数列，公比4=2,则2%+&.=____________。

2%+。4

32

5.在G.p｛a“｝中，（1）已知%=4,%=972,求（2）已知。2=-6,&=----，求。“。

6.在两个同号的非零实数。和〃之间插入2个数，使它们成等比数列，试用a力表示这个等

比数列的公比。

7.已知公差不为。的等差数列的第2,3,6项，依次构成一个等比数列，求该等比数列的通

项。

3

8.已知。，―6,3-±c五个数构成等比数列，求a,b,c的值。

28

9.在等比数列｛。“｝中，％+2=9,%+&=36,。“=4,求n。

10.三个正数成等差数列，它们的和为15,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列，求这

三个数。

11.已知等比数列｛0“｝,若%+42+。3=7,%・%=8，求公比（7。

12.已知q=2,点（a“,a“+J在函数的图像上，（〃eN*）,设b“=lg（a“+1）,

求证：也｝是等比数列。

题源:

问题

统计

与分

析

等比数列的前n项和（1）

使用课时数1课时

教学目标：

1.掌握G.P前〃项和公式（含推导）。

2.利用求和公式，进行简单应用。

3.掌握化归基本量的方法。

知识梳理：

1.公式推导

2.G.P求和公式Sn==

说明：①基本量4，a“,〃,q,S“，”知三求二”。

②应用公式不要忽略4=1的情况。

例题讲解

例1.在G.P｛《,｝中

（1）已知％=-4,q=5，求Io；（2）已知q=1,4=243,q=3,求&。

⑷已知q=2,Sa="■，求公比17

(3)已知S3=5$=万,求a”,S”

22

，「、口局91„65.

(5)已知q=笠牝=§,5“=7,求q,n

5

例2.已知一个G.P{a“},a+q=1。,4+4求明和S5。

}4

16

例3.(1)求和2(3+2)；

k=\

(1v

(2)已知数列MJ,an=n+-,求数列{4}的前〃项和S.。

\27

例4.设G.P{%}的前〃项和S“，若S3+H,=2S9,求公比4的值。

例5.等比数列有首项是a,公比为q,S”为前n项的和，求S1+S?+...+S。的值T”

例6.已知数列｛aj构成一个新数列：31，a2—ana3—a2,-san—an-x,-,是首项为1公

比为1的等比数列.⑴求数列｛a1J的通项公式；⑵求数列｛an｝的前n项和.

课后作业

1.根据下列条件，求等比数列｛6,｝的前〃项和S“：

(1)al—3,q—2,n—6；(2)a,———,n—5；

3

/、o11

(3)%=8,q=2，a“=5(3)a2=0.12,a5=0.00096,n=4.

2.求下列等比数列的前n项和

,、392565,、，111

(1)—,一,—，-------(2)1,---,------

24816248

(3)1,-1,1,-1,…;(4)7,77,777,…

3.在等比数列｛%｝中，（1）已知q=—1.5,%=-96,求q和S“；

131

(2)已知g=—,S5=-----,求q和a“；(3)已知q=2,邑=26,求q和a“。

28

4.设等比数列｛4｝的公比q<l,前〃项和S“，已知q=2,S4=5S2,求巴。

5.设S“是等比数列｛对｝的前几项和，S3,S”$6成等差数列，求证：4，％，为成等差数歹U。

6.已知数列｛%｝中，a“=2",求数列｛Iga,,｝的前〃项和。

7.已知数列｛4｝中，a“=2",①求勺“；②求4+%+&+…+%）的值。

题源:

问题

统计

与分

析

等比数列的通项及性质（1）

使用课时数2课时

教学目标：

1.继续熟练等比数列的定义及通项。

2.理解等比中项。

3.掌握等比数列的性质。

知识梳理：

1,定义：___________________________________________________________________

数学表示：。

2.通项：an==；

3.三个数a,4c成等比数列，则从=ac,6称为a,c的等比中项。

思考：①/=a,b,c成等比数列是否成立？

②等比数列｛4｝中，。“2=”,1・"向（证明等比数列的两种方法之一）。

4.性质：

等差数列等比数列

品+%=%,+%

机+〃=p+q

金，%，3成等差数列

，小小P成等差数列

(等比数列)

若数列｛为｝,｛/｝成等差数列，

则数列｛pa.+/,,｝也成等差

数列。

例题:

例1.若a,G,b成等比数列，则称G为〃和b的等比中项，

(1)求45和80的等比中项；(2)已知两个数k+9和6-%的等比中项是2人，求女。

例2.(1)等比数列｛4｝中，%=7,%=63,贝Ua6=。

(2)已知等比数列｛4｝中，=-512,/+%=124,公比qeZ,贝以。=

(3)在等比数列｛”“｝中，%>0,%,+。3=41,“4=5，则%+&=

例3.在等比数列｛。“｝中，a,,>0,公比qe(0,l),且+2%%+。2a8=25，又％与内

的等比中项为2,①求4；②设bn=log2%,数列也｝的前〃和为S“，当又+2+……+&

12n

最大时，求〃的值。

例4.三个数成等比数列，其和为14,积是64,求此等比数列的通项公式。

作业：

1.等比数列｛。“｝中，。3a4%=27,则％•a?.......a7=1>

2.数列｛。“｝成等比数列，a“>0,a3a5+2a4tz6+a5a7=81,则为+以=。

a

3.等比数列｛4｝中，>04=32,则log2%+log2a2+......+log2s=

4.已知。，瓦c成等比数列，和"y,c都成等差数列，孙W0,则乌+色的值

%y

为。

5.已知等差数列｛4｝的公差dWO,。”生，为成等比数列，则％+%+为=。

。2+〃4+010

6.已知4,。2,•…・・％为各项都大于0的等比数列，公比4工1，则q+〃8与%+%的大小关

系为O

7.在等比数列｛a〃｝中，％+出+%=-3,44。3=8,求％。

8.在等比数列｛4｝中，（1）若q=256,%=1,求q及。［2；

(2)若%•%=18,%=72,求4。

9.已知等比数列｛a.｝中，a“>0,%。5+2a2。6+。3%=10°，。2a4-2。3a5+“4%,=36,求公

比g。

10.｛凡｝为等比数列，%+4=36,4+%=18,%=g,求"及S”；

11.有四个数，前三个数成等比数列,后三个数成等差数列，首末两项的和为21,中间两项

的和为18,求这四个数。

12.已知数列｛〃“｝中，a„=2"+3",且数列｛《用一pan｝为等比数列，求常数p。

13.在等差数列｛a“｝中，若％o=O,则有等式q+4+..+4“=%+”2+....+“19-"，

(〃<19,〃eN*)成立，类比等比数列也｝,若为=1，则有怎样的等式成立？

14.⑴已知数列｛《,｝中，an>Q,且。=10,求凡。(提示：两边取对数)

（2）在数列｛a“｝中，。，川=一%二，求?。（两边取倒数）

4+3

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等比数列的通项及性质（2）

教学目标：1.进一步理解和熟悉等比数列的定义及通项的性质。

2.理解等比数列的单调性。

知识梳理：

1、定义

2、通项

3、性质

教学过程：

例1.已知等比数列｛为｝是一个公比为夕的递增数列，则该数列的首项/。（填

a

>,<,=）时，有,=彳

a1>0

=>等比数列的单调性：4或V<1时，等比数列为递增数歹U；

4>1

4<0、

或q〉［时，等比数列｛q｝为递减数列;

0<6?<1

q=l时，等比数列｛4｝为常数数列，但反之并不成立;

q<0时，等比数列｛4｝为摆动数列。

例2.数列｛。“｝的前〃项和为S“=2"+l,求a,,。

例3.①已知%=3〃+1也=2%,求证数列也｝成等比数列。②求证：%=2"+3"不是等

比数列。③设｛%｝,｛〃,｝是公比不相等的两个等比数列，c“=a“+b”,证明数列｛对｝不是等

比数列。

例4.①已知数列｛”“｝满足q=l,a“+1=2a“+1,求a“。

②已知数列｛4｝满足q=1,4包=四,求%。

«„〃

③已知数列｛a“｝满足4=2,a“一a,—=3〃(〃eN*,〃N2),求。

例5.在数列｛4｝中，前〃项和为S“，4+S“=2048（〃eN*）,（1）求％;

（2）设数列｛log?的前〃项和为7；,求7；。

作业：

1.已知等比数列｛〃“｝中，%=3,tz10=384,贝ijan=。

2.｛4｝是公差不为0的等差数列，且%,即）,卬5是等比数列｛2｝的连续三项，若々=3,

贝!Jbn=o

3.在等比数列｛4｝中，勾必是方程叫必是方程/T5x+36=0的两根，则外的值

为。

4.设｛〃“｝是等比数列，＞0,公比（7=2，q•%…则％.4•%.旬=。

5.在等比数列｛4｝中，4]+4=20,〃3+。4=40,贝!）。5+。6=°

6.已知等比数列｛4｝的公比为夕，且数列｛q+1｝也是等比数列，贝Ijq=o

7.在等比数列｛aj中，=-,q=2,则为和铀的等比中项是

ai8

8.若｛&｝是各项都大于零的等比数列，且公比qWL则:+包，a?+as的大小关系为

9.等比数列的前三项和为168,a2-a5M2,则as和a7的等比中项是

10.已知a,b是两个不相等的正数，在a,b之间插入n个正数Xi,x2>x„,使a,x”

X2,•••,Xn»b成等比数列，则。X1X2…Xn=o

11.三个互不相等的实数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，又这三

个数之和为6,求这三个数。

12.数列｛aj和｛bj满足下列条件：ai=0,a2=l.a«+2=—~~2b„=an*i—a„,证明:

｛bj是等比数列。

13.三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数也可以成等比数列，已知这三个

数的和等于6,求这三个数。

14.有四个数，前三个数依次成等比数列，它们的积是-8,后三个数依次成等差数列，它们的

积是-80,求这四个数。

15.已知q=3,a“+]=2%+3,求

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等比数列求和(2)

教学目标：

1.掌握G.P前〃项和的性质。

2.解决一些简单的实际问题。

3.巩固化为基本量的思路方法。

教学过程：

一、知识点

1.G.P的求和公式：5„==

=>qH1时S”的另一种形式：S“=k•q"-k

2.在G.P｛a“｝中，若机+〃=p+q,则

3.等比数列的前n项和的性质：设｛a。｝是等比数列，公比是q,则

n

(i)Sn+m=Sn+qSm；

⑵若Sn，S2n-sn，S3n—S2n均不为0,则它们也成等比数列；

⑶若数列的项数是偶数，有飞偶=45奇。

4.差比数列的前n项的和的求法——“错位相减”

设｛a。｝公差为d(dHO)的等差数列，｛bj是公比是q(qWl)的等比数列，则

Sn=ajb,+a2b2+a3-b3+---+an-bn»

qSn=a1-b2+a2-b3+a3-b4+--+anbn+l

(l-q)Sn=3]b]+db2+db3+-+dbn-an-bn+1,

右边中间部分构成•个等比数列，两边除以(1-q)便得到结论。

二、例题

例1.(1)在G.p｛a“｝中，S”表示前〃项和，且S5=12,S1o=36,求S15的值。

(2)已知前n项的和为2,其后2n项的和为12,求再后的3n项的和。

例2.在等比数列｛。“｝中,已知q+an=66,a2aa=128,5n=126,求〃,q。

例3.⑴已知数歹i」｛a0｝的前n项和Sn=a"+b(aHO,1),若｛aj是等比数列，贝ljb=—1；反

之亦然。

⑵已知数列｝的前n项和为Sn,S“=2・3"—1,求。

例4.(1)I+(]+2)+(I+2+22)+…+(1+2+2?+…+2")=------------------------

，,、

⑵I,1—F3C—1F5u—1F,,,+(c2n-1)—1；—

2482n+1-

(3)1,1+2,1+2+22,……,1+2+22+---+2'-'=

例5.已知数列｛a0｝是等差数列，公差d/0,｛a0｝的部分项组成数列…,a……恰

好为等比数列，其中&=1,k2=5,k3=17,(1)求k”；(2)求ki+k2+…+K。

例6.数列｛4｝是首项为1,前〃项和S”与通项与满足2s『=2《区-可（〃22）,求a“。

作业：

1.已知G.p｛aJ的前〃项和S“=k・3"+1,则左=。

2.已知等