高考数学规范解答集训(一)三角函数和解三角形7265

规范解答集训(一)三角函数和解三角形(建议用时：40分钟)1．(2019东·莞模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝2c.sinB3(1)求角C的大小；113，求c的值．(2)若△ABC的面积为3，且a＋b＝b＝2c，[解](1)由题意知sinB3sinB2sinC3依据正弦定理得sinB＝3，得sinC＝2.∵C是锐角三角形的内角，π∴C＝3.3＝1(2)因为S△ABC＝2absinC，∴ab＝4，11a＋b又∵a＋b＝ab＝3，∴a＋b＝43，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab＝48－12＝36，c＝6.2．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若其3222面积S＝4(a＋c－b)．(1)求角B；(2)若b＝23，a＋c＝6，求△ABC的面积．解∵三角形的面积＝32＋c2－b2，[](1)S4(a)13222∴2acsinB＝4(a＋c－b)．113a2＋c2－b23a2＋c2－b23即2sinB＝4×ac＝2×2ac＝2cosB，π即tanB＝3，即B＝3.π(2)∵B＝3，b＝23，a＋c＝6，∴b2＝a2＋c2－2accosB，即12＝(a＋c)2－2ac－2ac×12＝36－3ac，得3ac＝24，得ac＝8，113则三角形的面积S＝2acsinB＝2×8×2＝23.3．(2019·郑州模拟)如图，四边形ABCD中，AC＝3BC，πAB＝4，∠ABC＝3.(1)求∠ACB；2π(2)若∠ADC＝3，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．[解](1)设BC＝a，则AC＝3a，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即3a2＝42＋a2－2×4×a×12，可得a2＋2a－8＝0，解得a＝2，或a＝－4(舍去)，222因此AB＝AC＋BC，π即∠ACB＝2.1(2)由(1)得S△ABC＝2·AC·BC＝23.2π因为四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，AC＝23，∠ADC＝3，因此AD＋CD＝4，又AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即12＝AD2＋DC2＋AD·DC＝(AD＋CD)2－AD·DC，2因此AD·DC＝4，因此S△ADC＝1··2π3，2ADDCsin3因此S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝23＋3＝33.4．(2019·荆州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cosB(acosC＋ccosA)＝b.(1)求B；(2)若b＝2，设A＝α，△ABC的周长为l，求l＝f(α)的分析式并求f(α)的最大值．[解](1)由2cosB(acosC＋ccosA)＝b，可得2cosB(sinAcosC＋sinCcosA)2cosBsin(A＋C)＝2cosBsinB＝sinB，因为sinB≠0，1得cosB＝2.又B∈(0，π)，π因此B＝3.＝，由正弦定理a＝b＝c2π(2)b2sinAsinBsinC3得：a＝2＝c，sinαπ2πsin3sin3－α∴a＝4α，＝42πsinsinc333∴△ABC周长l＝f(α)＝a＋b＋c＝4sinα＋2＋4sin2π3－α33＝4313sinα＋2cosα＋2sinα＋2＝433＋232sinα＋2cosα＝4312sinα＋cosα＋22＝4sinα＋π6＋2，3∵0＜α＜2π3，ππππ∴当α＋6＝2，即α＝3时，lmax＝f3＝4＋2＝6.因此△ABC周长的最大值为6.5．(2019·汕头模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b，c,2acosB成等差数列．(1)求角A；(2)若a＝13，b＝3，D为BC中点，求AD的长．[解](1)∵b，c,2acosB成等差数列，则2c＝b＋2acosB，由正弦定理得：2×2RsinC＝2RsinB＋2×2RsinAcosB(R为△ABC外接圆半径)，2sinC＝sinB＋2sinAcosB，2sin(A＋B)＝2sinAcosB＋2cosAsinB＝sinB＋2sinAcosB，即2cosAsinB＝sinB.1∵sinB≠0，∴cosA＝2.π又0＜A＜π，∴A＝3.(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴13＝9＋c2－2×3×c×12，即c2－3c－4＝0，∴c＝4，或c＝－1(舍去)，故c＝4.2＋b2－c2＋－13，在