代数9其他重要不等式讲师版

自招竞赛秋季数学讲学 授课日教 授幂平均不等式：设x,x ,

R，且 1x1xx 1n)( n)(

xx

注：调和平均值相当于1，算术平均值相当于1，均方根平均值相当于21nx1n几何平均值则则相当于lim( 【例1

i【题目】设xR(i1, ,n)，求证i1(x1

(x)n(xn1)n(xn1)n(xn)nx0x1 【难度系数】【例2【题目】对于p1，q0，a1a2 an0，0b1b2 bnn a)na 0aa

，b

0，证明in1pqbnq bnq

i1

(bi【难度系数】【例3nn ,xn都是正数(n2)，且xi1，求证1n1n

nnn 【例4【题目来源】2010中国国家集训队测验【题目】给定整数n2ax1x2数

xn

xn1MM(na，使得

Mni1asn【难度系数】权方和不等式：设x,x ,x,y,y ,

R n

n(x(xin若m0或m1，则 i1 nymmym

(yin

n(x(xiyn若1m0，则 i1 yn【例5【题目来源】28届IMO预选

m m

(yiabcs1(abc2

( ，nb c a 【难度系数】,xn琴生不等式：若连续函数f(x)在区间I内下凸（或上凸，则对任意x1,,xn意, ,

R，且

1n n

nf(xn nf(xn判断函数下凸（上凸）f(x的定义域为(ab，如果对于(abx1x2fx1x2)f(x1f(x2f(x为(ab上的下（上） f(x

f(xDf(x)0

f(xD【例6xyzxyz13 3(1y)(1 (1x)(1 (1x)(1 于是只要证明(1 a1xyz1【例7【题目来源】36届【题目】设a,b,c为正实数，且abc1，求证

a3(b

b3(a c3(a 【例8【题目来源】21届【题目】实数列{a}a1

a

k1 n k

(1k(1kan)n 1]n(a1a21an)n

2(a1a2 an 【难度系数】

卡尔松不等式：设aij0(i1, ,n,j1, ,m)，则(aij)mam，其

ai,2

j

j这个不等式的直观表述是：对nm矩阵，m列每列数之和的几何平均值大于等于其n行每【例9【题目来源】28届IMO预选abcs

1(abc2

( ，nb c a 【难度系数】【例10【题目】设xi(i1, ,n)为正数，n2，nN，0(x0

(x)n(xn1)n(xn1)n(xn)nx0x1 xn1xn 0x0故

(x)n(x(xn1)n(xn)nx0x1 xn1xn 【例11【题目来源】第4届nnxR，1inn2nn

1

11

nnnni

四、杨氏（Young）不等式，赫尔德（Holder）不等式与闵可夫斯基不等 11 Youngpq0

1x,y0xpyq

x 这个不等式的证明可以lnx的凹凸性，用琴生不等式获得，比较简单这里不再列出Holder不等式：设a0，b0，(i1, ,n)，p0，q0，满足111， i ab(app(bq)q，等号成立的条件是api

证明：由Young不等式 p

n

n

a

n

i1 p q

i1p p i1q q i

b

b a n 等号成立的充要条件是 n

，即apbqi1ap

闵 不等式：对a,bR，k1，则((ab)k)k(ak)k(bk)k ana1an

证明：由不等式， nnnnnnnn1nkn1nk(ab)ka(a b)k1b(ab)k1( k)k((ab)kk(bk)k((ab)kk

所以((ab)k)k(ak)k(bk)k，当且仅当12 n时等号成立

【例12n

n(a(ai【题目设a0，bi0，i1, ,n，m0或m1证明： i1 ，bmibm,等号成立当且仅当aibii1,

nn(bicc2cc2【例12aa2bbaa2bb2

钟开来不等式a1a2

bnb1b2

n有

j

，则b2j

j

j

j

akbkSnbn Sk(bkbk1Sk为{ak}的前n

k

k j jjjb2bb(b)(b )ba j jjjj

j

j

k

j

j

k

j j 又由柯西不等式有aba2)2(bj j

j

j结合上述两式即证明了b结合上述两式即证明了b j jtt阿贝尔不等式：设b1b2bn0makMt12,,nnknb1makbknknSnk akbkSnbnSk(bkbk1mbnm(bkbk1k

k

k akbkSnbnSk(bkbk1MbnM(bkbk1Mb1证k

k

k【例13

nnn是正实数序列，对所有的n1满足条件ajnj

1n 1n 的n1有aj ,j,j取bj j

j，则已知条件变为ajj

(k1,j j且有bb

b2

j1

j j又bjjj

j1 j

j j1

j)241nnj故有a21(11nnjj 【难度系数】下面的几个例题是有关变换的使用【例14 ,

1,R，p,qR。记S(apap ,

naq

,的任一排列i1,

，有 k ikSpapk 【例15nn【题目】试证：对任意实数x，有k

[kx]nx，其中[xxk【例16【题目】已知a0，k1, ,n，定义

1

nan

A24

nkn

k【例17an【题目】设an

且各不相同，求证 1a1aa2n11【练1【题目来源】1986年中国国家集训队选拔试nnnnp22nn ,xn都是实数(n3)，令nnp22nn

xixj

(n1)n

（2）

1innp22nnnp22nn【难度系数】【练2

abc

a2 b2 c2

(ab9【难度系数】【练3i【题目 i

a

，0

nn，且ai

，求证：nn