命题与证明-(三)

abab动脑筋复习回顾判断一个命题是不是真命题需要讲道理，讲道理的过程叫证明。如何证明？从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个推理的过程叫作证明。怎样判断一个命题是不是真命题？如图，线段a、b一样长吗？第一页，共16页。图中两个正方形哪个大？

观察、操作、实验是人们认识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论.直观是重要的,但它有时也会骗人.第二页，共16页。通过观察,先猜想结论,再动手验证:1.如图,一组直线a,b,c,d是否都互相平行?abcdabcd动脑筋2.当n=0,1,2,3,4时,代数式n2-3n+7的值分别是7,5,5,7,11,它们都是素数,那么,命题“对于自然数n,代数式n2-3n+7的值都是素数”是真命题吗?第三页，共16页。

做一做采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和”等于多少度.从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于360°

，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，只是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能接近360°，但不能很准确地都得360°．

另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角和都为360°．此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.第四页，共16页。证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.动脑筋已知：如图∠BAF，∠CBD和∠ACE分别是△ABC的三个外角.求证︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°证明:∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第五页，共16页。经过刚才三站的“证明”之旅，你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？（1）根据题意，画出图形。（2）结合图形，写出已知求证（3）写出证明过程，并且步步有依据。结论依据(定义)(定理)(推论)(基本事实)（真命题）条件结论数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.

证明的每一步都必须要有根据.推理第六页，共16页。例1

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.举例证明：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理），

∠B=∠C（已知），∴∠DAC=2∠B（等式的性质）.又∵AE平分∠DAC（已知），∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）.∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）第七页，共16页。例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角.求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.

分析这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.第八页，共16页。

像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.

反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论”.反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确结论第九页，共16页。(1).证明命题：一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且方向相同，则这两个角相等。已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求证：∠B=∠B’

证明：∵AB∥A’B’

（）

∴∠B’=∠α（）∵BC∥B’C’

（）∴∠B=∠α（）∴∠B=∠B’()已知两直线平行，同位角相等

已知两直线平行，同位角相等等量代换练习1.在括号内填上理由.第十页，共16页。(2).已知：如图，∠A+∠B=180°.求证：∠C+∠D=180°.证明：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180°（

）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补2.已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明：∵∠1=∠2，∴∠2=∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行,同旁内角互补）.∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）第十一页，共16页。3.已知：如图，AB与CD相交于点E.求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：∵

AB与CD相交于点E，∴∠AEC=∠BED（对顶角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.4.已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.求证：a//bAabc证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。那么过点A

就有两条直线a、b分别与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾,故假设不成立。

∴a//b.第十二页，共16页。已知：如图，AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD，EG、FH分别是∠AEF和∠EFD的平分线；求证：EG∥FH1)两条平行线的一对内错角的平分线互相平行.ABCDEFGH2)垂直于同一直线的两直线平行；3)内错角相等，两直线平行；巩固练习abc1233)abc122)2、3题请画出图形，写出已知、求证。1、证明下述命题。第十三页，共16页。2、如图，AB∥CD，MG、NH分别平分∠BMF和∠CNE，求证：MG∥NH3、如图，已知AB∥CD，∠C=∠D，求证∠AMB=∠ENFNABCHMEFGD(2题)ABCMNFED(3题)中考试题1.如图∠1=∠2，那么∠3+∠4=

。2、如图AB∥CD，∠1=115°，∠A=75°，则∠E=

。abcd12341题ABCDE12题180°40°第十四页，共16页。中考试题3、如图AB∥CD，AD⊥AC，∠ADC=32°，则∠CAB=

.4、如图AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=

.5、已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBD=37°，则∠BDE=

.6、如图AD∥BC，∠EAD=50°，∠ACB=40°，则∠BAC=

.ABCD3题ABCDE124题ACBDE5题ADBCE50°40°6题