大学物理（第四版）课后习题及答案 机械振动

本文格式为Word版，下载可任意编辑——大学物理（第四版）课后习题及答案机械振动13机械振动解答

13-1有一弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m，周期T=1.0s，初相?=3π/4。试写出它的运动方程，并做出x--t图、v--t图和a--t图。13-1

分析弹簧振子的振动是简谐运动。振幅A、初相?、角频率?是简谐运动方程x?Acos??t???的三个特征量。求运动方程就

要设法确定这三个物理量。题中除A、?已知外，

?可通过关系式??2?确定。振子运动的速度T和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法一致。解因??

2?，则运动方程T?2?t?x?Acos??t????Acos?t???

?T?根据题中给出的数据得

x?(2.0?10?2m)cos[(2?s?1)t?0.75?]

振子的速度和加速度分别为

v?dx/dt??(4??10?2m?s?1)sin[(2?s?1)t?0.75?]a?d2x/dt2??(8?2?10?2m?s?1)cos[(2?s?1)t?0.75?

x-t、v-t及a-t图如图13-l所示

???13-2若简谐运动方程为x?(0.01m)cos?(20?s?1)t??，求：（1）振幅、频率、角频率、周期和

4??初相；（2）t=2s时的位移、速度和加速度。

13-2

分析可采用比较法求解。将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x?Acos??t???作比较，即可求得各特征量。运用与上题一致的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果。

解（l）将x?(0.10m)cos[(20?s?1)t?0.25?]与x?Acos??t???比较后可得：振幅A=0.10m，角频率??20?s?1，初相??0.25?，则周期T?2?/??0.1s，频率??1/T?10Hz。（2）t=2s时的位移、速度、加速度分别为

x?(0.10m)cos(40??0.25?)?7.07?10?2mv?dx/dt??(2?m?s?1)sin(40??0.25?)

a?d2x/dt2??(40?2m?s?2)cos(40??0.25?)

13-3设地球是一个半径为R的均匀球体，密度ρ5.5×103kg?m。现假定沿直径凿一条隧道。

-3

若有一质量为m的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。

13-3

分析证明方法与上题相像。分析质点在隧道内运动时的受力特征即可。

证（l）取图13-3所示坐标。当质量为m的质点位于x处时，它受地球的引力为

F??Gmxmx2式中G为引力常量，mx是以x为半径的球体质量，即mx?4??x3/3。令k?4??Gm/3，则质点受力

F??4??Gmx/3??kx

因此，质点作简谐运动。（2）质点振动的周期为

T?2?m/k?3?/G??5.07?10s3

13-4如下图，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1和k2，物体在光滑斜面上振动。（1）证明其运动仍是简谐振动；（2）求系统的振动频率。

13-4

分析从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力状况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）。为此，建立如图13-4（b）所示的坐标。设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力。利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率?。证设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有

mgsin??k1x1?k2x2

按图（b）所取坐标，物体沿x轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1'和x2'，即x?x1'?x2'。则物体受力为

F?mgsin??k2(x2?x2')?mgsin??k1(x1?x1')

将式（1）代人式（2）得F??k1x'1??k2x2'

由式（3）得x1'??F/k1、x2'??F/k2，而x?x1'?x2'，则得到

F??k1k2/(k1?k2)x??kx

式中k?k1k2/(k1?k2)为常数，则物体作简谐运动，振动频率

???/2??12?k/m?12?k1k2/(k1?k2)/m

探讨（1）由此题的求证可知，斜面倾角?对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响。事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动。而且可以证明它们的频率一致，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因。（2）假使振动系统如图13-4（c）（弹簧并联）或如图13-4（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为??12?(k1?k2)/m

读者可以一试。通过这些例子可以知道，证明物体是否作简谐运动的思路是一致的

13-5为了测得一物体得质量m，将其挂在一弹簧上让其自由振动，测得振动频率?1?1.0Hz。而将另一质量m'?0.5kg的物体单独挂在该弹簧上时，测得振动频率?2?2.0Hz。设振动均在弹簧的弹性限度内进行，求被测物体的质量。13-5

分析物体挂在弹簧上组成弹簧振子系统，其振动频率??频率?的方法可求出未知物体的质量。

解由分析可知，??1/m，则有?1/?2?m'/m。根据题中绘出的数据可得物体的质

12?k/m，即??1/m。采用比较

量为

m?m'(?2/?1)2?2.0kg

13-6在如下图的装置中，一劲度系数为k的弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为m1的物体A，置于光滑水平桌面上。现通过一质量为m、半径为R的定滑轮B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m2的物体C，设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。

13-6

分析这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统。求解系统的振动频率可采用两种方法。（1）从受力分析着手。如图13-6（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长x0，且kx0?m2g。当弹簧沿Ox轴正向从原点O伸长x时，分析物体A、C及滑轮B的受力状况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程。（2）从系统机械能守恒着手。列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程。

解1在图13-6（b）的状态下，各物体受力如图13-6（c）所示。其中F??k(x?x0)i。考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有

d2xFT1?k(x?x0)?m12

dtd2xm2g?FT2?m22

dt

(1)(2)

(3)(4)

1d2x(FT2?FT1)R?J??mR2

2dtkx0?m2g

方程（3）中用到了FT1?FT1'、FT2?FT2'、J?mR2/2、及??a/R。联立式（l）-式（4）

可得

d2xk?x?02dtm1?m2?m/2则系统振动的角频率为

??k/(m1?m2?m/2)

解2取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒。设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离X（此时速度为对v、加速度为a）为末状态，则由机械能守恒定律，有

121111kx0??m2gx?m1v2?m2v2?J?2?k(x?x0)222222在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取。为运算便利，选初始状态下物体C所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点。将上述方程对时间求导得

0??m2gv?m1vdvdvdv?m2v?J??k(x?x0)2dtdtdt将J?mR2/2、?R?v、dv/dt?d2x/dt2和m2g?kx0代人上式，可得

d2xk?x?02dtm1?m2?m/2式（6）与式（5）一致，说明两种解法结果一致。

17-7一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A=2.0×10-2m,周期T=0.50s。当t=0时，（1）物体在正方向端点；（2）物体在平衡位置向负方向运动；（3）物体在..x=1.0×10-2m处，向负方向运动；（4）物体在..x=-1.0×10-2m处，向正方向运动。求以上各种状况的运动方程。

13-7

分析在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相中是求解简谐运动方程的关键。初相的确定寻常有两种方法。（1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t=0时，x=xo和v?v0来确定?值。（2）旋转矢量法：如图13-7（a）所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度v0的