解析几何中焦点相关的常用结论

解析几何中焦点相关的常用结论解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。结论1、焦半径公式：X2y2F2F1F10设P是椭圆——+二=1上的一点，则焦半径IPF」、IPFI的长分别为a±ex。其中a为长半轴长，e为离心率，x为点P的横坐标（图1F2F1FX2y2a2b220设P是双曲线——一9=1上的一点，则焦半径IPF」、IPRI的长分别为ex0土a。其中a为实半轴长，e为离心率，x0a2b2证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P到左准线的距离为d，a2IPFIa2贝d=x0+—，由第二定义得一―^=e,AIPF1I=d•e=(x0+—)•e=ex0+a。同理可证IPF2I=a—ex0。结论2、以抛物线y2=2px（p>0）的焦半径IPFI为直径的圆（OC）与y轴相切（图2）。证明：分别过点P、C、F向抛物线的准线作垂线，垂足记为P、J、F］，与y轴交于P2、C2，O，则C到y轴的距离ICC户’PP2，：'"°'而IPFITPPJTPPJ+IPpITPPJ+IFOI’.LICCk^^^，即点C到y轴乙乙乙乙1的距离等于。C的半径，..・0C与y轴相切。结论3、以抛物线y2=2px（p>0）的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。证明：分别过点A、B、C向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A］、B］、J与y轴交于A2、

IAAI+IBBIB2，C2，则C到l轴的距离ICC]I=——^2第二定义得：IAA]I=IAFI,IBB]I=IBFI,...iaa1i+ibb1i=iabi,aicc1i=^ABI，即点C到准线l的距离等于。C的半径，.・・0C与准线相切。p当直线AB斜率存在时，设AB的方程为：y=k(x一三)，代入抛物线得4k2x2—4p(k2+2)x+k2p2=0,设A(x1,y1)>B(x2,y2)，由韦P2达定理得x1x2=3为定值；而|y1y2l=^2〃%.j2p气=2pvxix2=2p•P=p2.Z.yiy2=—p2o当直线AB斜率不存在时，易证上式结论成立。(。力0)，且与抛物线交于A、结论4、已知抛物线y2-2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为92PB，则IABI-sn*;且当直线AB与x轴垂直时，lABI^n-ZP(此时称弦AB为抛物线的通径)(图4)o(。力0)，且与抛物线交于A、证明：同结论3,分别过点A、B向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A］、B1，giAAJTAFI，IBB1I=IBFI，「.IABI=IAA1I+IBB1Iopp[令■A(yv)"Rfy'v'lJllIlAAI—y-L—IRRI—x_i_—,IARI—V_i_v_i_p)贝a】X],y,B(X,y),IRYA]I—X]+，IBB]I—x+，••IRBI—Xj+X^+po匕1匕1J匕1J匕1当0/900时，设直线AB的方程为y=tg9(x—c),代入抛物线方程得:P2-tg20tg29・XP2-tg20tg29・X2—(2p+ptg29)x+4—0，2p+p•tg20，..・iabi=2p+p：g20+p-X]+X2—^0tg2°当9—900时显然IABI=2p,符合上式，..・IABI-当9—900时IABImin=2P，即为通径的长。X2y2结论5、设AB是椭圆云+b-=1的焦点弦，证明略。想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称(或椭圆的长轴)时，弦IABI取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？结论6、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为。(。力0)的直线，且与抛物线交于A、P2B两点，则△AOB的面积S==2sin0证明：由结论4得IABI^^，点O到直线ABy=tgO(x—P)的距离为sin202|-2-妁1d=2<1+tg20p—•Isin。I。2|-2-妁1d=2<1+tg20p—•Isin。I。212ppp2‘△aob=2.和•方isinOJgx2y2结论7、P为双曲线云-b-=1上一点，与、f2为两焦点，且匕F1PF2=a(0<a<n)，则a•a•sina=b2•ctg—。S^F1PF2=b2,Ctg2(图5)。证明：设IPF1I=m,IPF2I=n，贝TOC\o"1-5"\h\zJIm-nI=2a(1)[m2+n2-2mncosa=4c2(2)，由(1)，两边平方，得m2+n2—2mn=4a2,m2+n2=2mn+4a2,、2b2\o"CurrentDocument"代入(2)得2mn+4a2—2mncosa=4c2,mn=。1-cosa2b211S==•mn•sina=—△F1PF2221—cosa2b2结论8、我们把离心率等于黄金比弓^的椭圆称为“优美椭圆”，设a+畚=1是优美椭兀圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则ZABF^-。证明略。

X2y2一结论9、设P是椭圆L客=1上的一动点，与、％为椭圆的两焦点，当P位于短轴端点时，匕F1PF2取到最大值。证明：设IPF1I、IPF2I的长分别为m,n，贝m+n=2a,在^F1PF2中，由余弦定理得cos/m2+n2—4c2.4b2一2mn2b2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"F1PF2=2，而m2+n2=(m+n)2—2mn=4a2—2mn,cosZF1PF2=2=1,又m+n、2b2一mnW（—2—）2=a2，AcosZF1PF2^—1，当且仅当m=n，即当P点位于短轴端点时cos/F]PF2取到最小值，由余弦值在（0，丸）内单调递减，得此时ZF1PF2最大。\o"CurrentDocument"X2y22推论:椭圆云+甘T上存在庭，使匕顷为钝角，则椭圆的离心率。的取值范围是（项，+8）。结论10、（2001高考题）设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，则直线AC经过原点O（图6）。p,,证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则C(——,y2),直线AB的方