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文档简介
2022
年高考文数真题试卷(全国甲卷)一、选择题:本题共
12
小题,每小题
5
分,共
60
分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合 ,则 (
)A. B. C. D.2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取
10
位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这
10
位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:则(
)讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
70%讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
85%讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.若 .则 (
)A. B. C. D.4.如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为
1,则该多面体的体积为(
)A.8B.12C.16D.205.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线
C,若
C
关于
y轴对称,则的最小值是(
)A. B. C. D.6.从分别写有
1,2,3,4,5,6
的
6
张卡片中无放回随机抽取
2
张,则抽到的
2
张卡片上的数字之积是
4
的倍数的概率为(
)A. B.C.D.7.函数在区间的图像大致为(
)A.B.C.D.8.当时,函数取得最大值,则(
)A.-1B.C.D.19.在长方体中,已知与平面和平面所成的角均为,则(
)A.B.AB
与平面所成的角为C.D. 与平面 所成的角为10.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为,侧面积分别为和,体积分别为和.若,则(
)A.B.C.D.11.已知椭圆的离心率为,分别为
C
的左、右顶点,B
为C
的上顶点.若,则
C
的方程为(
)A.B.C.D.12.已知A.B.,则(
)C.D.二、填空题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分。已知向量 .若 ,则设点
M在直线 上,点 和为
.
.均在上,则的方程15.记双曲线的离心率为
e,写出满足条件“直线与
C
无公共点”的e的一个值
.16.已知 中,点
D
在边
BC
上,小值时,
..当取得最三、解答题:共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21
题为必考题,每个试题考生都必须作答。第
22、23
题为选考题,考生根据要求作答。17.甲、乙两城之间的长途客车均由
A和
B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的
500个班次,得到下面列联表:
准点班次数未准点班次数A24020B21030附:,0.1000.0500.0102.7063.8416.635(1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有
90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?记 为数列 的前
n
项和.已知 .证明: 是等差数列;若 成等比数列,求 的最小值.小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面是边长为
8(单位:cm)的正方形, 均为正三角形,且它们所在的平面都与平面 垂直.证明: 平面 ;求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).已知函数 ,曲线线 的切线.若 ,求a:求a
的取值范围.在点处的切线也是曲21.设抛物线的焦点为
F,点,过的直线交
C
于
M,N
两点.当直线
MD
垂直于
x
轴时,.(1)求
C
的方程:(2)设直线与
C
的另一个交点分别为
A,B,记直线的倾斜角分别为.当 取得最大值时,求直线
AB的方程.四、选考题:共
10
分。请考生在第
22、23
题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(t
为参数),曲线的参数方程为(s
为参数).写出 的普通方程;以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线,求 与 交点的直角坐标,及 与23.已知
a,b,c
均为正数,且 ,证明:(1) ;(2)若 ,则 .的极坐标方程为交点的直角坐标.答案解析部分【答案】A【答案】B【答案】D【答案】B【答案】C【答案】C【答案】A【答案】B【答案】D【答案】C【答案】B【答案】A13.【答案】或-0.7514.【答案】【答案】2(满足【答案】
或皆可)17.【答案】(1)解:由表中数据可知,A
共有班次
240+20=260
次,准点班次有
240
次,设
A
家公司长途客车准点事件为M,则 ;则
A
家公司长途客车准点的概率为;B
共有班次
210+30=240
次,准点班次有
210次,设
B
家公司长途客车准点事件为
N,则 .B
家公司长途客车准点的概率为 .(2)解:列联表
准点班次数未准点班次数合计A24020260B21030240合计45050500=,根据临界值表可知,有
90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18.【答案】(1)已知 ,即 ①,当 时,②,①-②得,即 ,,即 ,所以,且,所以 是以
1
为公差的等差数列.(2)由(1)中 可得,,,,又 , , 成等比数列,所以,即 ,解得,所以 ,所以,所以,当 或 时.19.【答案】(1)证明:分别取的中点,连接,因为, ,又平面, 平面 ,所以,根据线面垂直的性质定理可知为平行四边形,所以 ,又平面 .为全等的正三角形,所以,平面 平面,同理可得 平面,所以四边形平面 ,所以中点 ,平面平面,而平面 ,(2)解:分别取由(1)知,且,同理有,,,,由平面知识可知,,,,所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥因为体积的倍., ,点 到平面的距离即为点 到直线的距离, ,所以该几何体的体积.20.【答案】(1)解:由题意知,,,,则在点处的切线方程为,即,设该切线与切于点,,则,解得,则,解得;(2)解:,则在点处的切线方程为,整理得,设该切线与切于点,,则,则切线方程为,整理得,则,整理得,令,则,令,解得或,令,解得或,则变化时,的变化情况如下表:01-0+0-0+-1则 的值域为 ,故21.【答案】(1)解:抛物线的准线为的取值范围为.,当与
x
轴垂直时,点
M
的横坐标为p,此时 ,所以 ,所以抛物线
C
的方程为 ;(2)解:设,直线,由 可得 ,,由斜率公式可得 ,,直线 ,代入抛物线方程可得,,所以 ,同理可得,所以又因为直线
MN、AB
的倾斜角分别为所以 ,,若要使最大,则,设,则,当且仅当即时,等号成立,所以当最大时,,设直线,代入抛物线方程可得,,所以,所以直线.22.【答案】(1)解:因为,,所以,即普通方程为.
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