量子力学曾谨言习题解答第九章

本文格式为Word版，下载可任意编辑——量子力学曾谨言习题解答第九章第九章：定态微扰论

[1]设非简谐振子的哈密顿量为：

???hd取H02?dx22???H?2d222?dx?12??0x22（?为常数）

?12??0x22，H???x2，试用定态微扰论求其能量及能量本征函

?1?k数。

（解）一级能量本征值修正量：此题是一维、无简并的，按本章§9.1公式?从§3.3知道一维谐振子波函数是：

?Wkk，

?k?x?????*k??2?k!ke??x222Hk??x?，

但???1?（1）

3Ek???x??x??x??3kdx??k（2）

??x22?2k!x?????xeHk??x?dx22但根据§3.3，一维谐振子波函数中的厄密多项式是有宇称的（或奇或偶），因而Hn??x?必

定是个偶函数。（2）式中被积函数就应是奇函数，又因积分限等值异号，结果有：

Ek?1??0

一级波函数修正值：据§9.1公式[12b]???0kk??12/HnkE(0)k/?E(0)n?(0)n（3）

Ek(0)?(k?)??(3)

(0)k//微扰矩阵元Hnk??Wnk要涉及厄密多项式相乘积的积分，为此利用关于?的一个递推公

式（p.90，问题2）：

1n2n?12x?(0)n??(?(0)n?1??(0)n?1)（4）

将此式遍乘x，再重复使用（4）

x?2(0)n??1?1([n2x?n2((0)n?1?n?12x?(0)n?1)(0)nn?12(2??2?(0)n?2??n2?)

?n?122n?1?(0)nn?2212)??(0)n(0)n?2)

1??{n(n?1)44?(0)n?2?(n?(0)n?2(n?1)(n?2)?}(5)再将此式遍乘x，重复使用（4）式

x?3(0)n?1?2{n(n?1)412)x?x??(0)n?2

(0)n?(n?(n?1)(n?2)4(0)n?3?(0)n?2}1=?38{n(n?1)(n?2)?(0)n?1?3nn?(0)n?1

(0)n?3?3(n?1)n?1??(n?1)(n?2)(n?3)?}（6）利用公式（6）来计算微扰矩阵元Wnk：Wnk?????*2?n(x)?x?kdx

将（6）式中的n换成k代入前一式，并注意?

(0)n是正交归一化的，即

??0*n(x)?(0)n(0)k(x)dx??nk18a3Wnk?????????k?0k?1{k(k?1)(k?2)?0k?1(0)n?3?3k??3(k?1)k?1?(0)k?3

(k?1)(k?2)(k?3)?}dx??8?2{k(k?1)(k?2)?n,k?3?3kk?n,k?1

?3(k?1)k?1?n,k?1?(k?1)(k?2)(k?3)?n,k?2}(7)

k是固定指标，故Wnk只有当n取下述四值时不为零，即

n?k?3,k?1,k?1,k?3(8)

但要注意，当n取用一个值时，就不能再取其他值，所以n取定后Wnk的非零值是（7）式中某个?的系数。（3）的求和是式只有四项。Ek(0)?En(0)?(k?12)???(n?12)??

?(k?n)??)(0)(0)有：Ek(0)?Ek(0?3??，Ek?Ek?1???，?2(0)(0))Ek(0)?Ek(0????，Ek?Ek?3??3??（9）?1将（7）和（9）所决定的诸值代入（3）

?k??(0)k??H(0)/0Hnx/

?EkEk?Ek(0)?(0)(0)n??(0)k?Hk?2,kEk(0)/?Ek?2(0)?(0)k?3/k?1,k

?Ek?3?(0)k?3?k??(0)k???k?0k?138a??3{1k(k?1)(k?2)?0k?1(0)n?3?3k?13?3(k?1)k?1?(0)k?3

(10)(k?1)(k?2)(k?3)?}二能级量本征值修正量：按二级近似式是Ek?E(0)k?H/kk??n(Hnk)Ek(0)/2(0)?En（11）

/其中Hkk??Wkk?0，二级修正量是个数量的和，它也用（7）式来计算，并也包括四个项：

Ek?(k?12H)???/2k?1,kHk?3,kEk?(0)/2?Ek?3H/2k?3,k(0)(0)?Hk?1,kEk(0)/2?Ek?1(0)

?Ek(0)?Ek?1(0)Ek26?Ek?3(0)?(k?122)????8??

?9k1{k(k?1)(k?2)??313(k?1)(k?2)(k?3)}1

?9(k?1)?2?(k?12)????628???(30k2?30k?1)

[2]一维无限深势阱（0?x?a）中的粒子受到微扰：xa?2?(0?x?)?/a2H(x)??x?2?(1?)(0?x?a)a?的作用，求基态能量的一级修正。

图345

（解）此题是一维无简并问题，无微扰时的能量本征函数

?(0)k?2asink??a（1）

能量本征值E(0)k?k??2?a2222（2）

对基态k?1，计算能量的一级修正量时，因微扰H/是分段连续的，因而要求两个积分式的和

aH/??20?0H?0dx?a*/?aa2?0H?0dx*/?2a2a?20asin2?x2?xa(a)dx2?xa)dx??asin2a202?xa(2??

?2?a?{?2(1?cosa2?xa)xdx(3)?a(1?cos22?xa)(a?x)dx}利用定积分公式：

?xxcospx?xpsinpx?1p2cospx（4）

代入（3）；得

?附带地指出：对于此题的粒子的激发态能量的一级修正量计算，可以用同样步骤得到，第K

2E11?H11??((1)/1?22)

个激发态的一级修正：E(1)11?2?a2a{?2(1?cos02k?xak)xdx?)}2?a(1?cos2a2k?xa)(a?x)dx}

??{12?[1?(?1)](1k?#

?[3]设有一个三维转子处于基态，转动惯量I，它沿转轴方向有一个电偶极矩D,现加上一个

外电场?，可以视作微扰，试用微扰论求能量二级修正值。

?

图347

（解）三维转子可看作哑铃状或棒状体，旋绕其中点0作三维的转动，位置由球极座标(?,?)决定。由于点（棒一端）的矢径a是常量，哈密顿符是：

?22??1?l2?H?{2(r)?22}2?r?r?r?r?2?2ll??(1)22I2?r?2式中a是转子轴长度之半，I是转动惯量（关于与棒身垂直的转轴），l角动量平方算符，

按p114，公式（29）

2?211?1?2l???{(sin?)?}（2）22sin?????sin???因此无微扰时，势能为零，而能量本征方程式是：

1?2l?(?,?)??(?,?)（3）I它的解是球谐函数：

?(?,?)?Ylm(?,?)?2l?1(l?m)!mim??Pl(cos?)e2(l?m)!能量本征值是：

El?l(l?1)?22I(l?0,1,2,3,?)（4）

假定转子是电偶极子，电矩是D，则D=2aq（q电荷），同时加上沿z方向的电场?后，转子获得附加的偶矩电势能V(?)，作为微扰对待：

?H/??W?V(?)?D?cos?（5）

此题限于基态能量，但最低的能级相当于l?0，当不存在微扰时，基态能量本征值E00??(1)??Y00D?cos?Y00sin?d?d?*?D?2量

????0

sin?cos?d??0二能修正

2值

2：可以利用球谐函数的递推公式

cos?Ylm?(l?1)?m(2l?1)(2l?3)?l?m22Yl?1,m

Yl?1,m(8)(2l?1)(2l?1)/在计算H01时可在上式中令m?0,l?1得：

cos?Y10?H01?/415Y20?13Y00（9）

??Y?*00D?cos?Y10d?*?41513D?D???YY05?20d??1??Y3?200d??D?(10)

?

计算H02时，可在（8）式中，令m?0,l?2得：

935*/cos?Y20?Y30?415Y10（11）

H02?/??Y00D?cos?Y20d??0（球谐函数正交性）

?//同理可证H02，H04等都是零。零阶能量E1E(0)?1?2?22I??22I

2(0)?1?2h2I??I

代入（7）式（仅有一项）：

(132Dε)2E(2)00???I?0??D2ε22I3?

此题中的球谐函数的递推公式（8）可参看课本附录四（P.637）公式（37）、（38）等。#[4]xy平面内的转子，除了受到沿x方向的均匀电场的作用外，还受到沿x轴方向的

?均匀磁场B的作用，试用微扰理论计算转子的能量。

（解）平面转子可看作绕一固定点0转动的棒，可用棒与0x轴间夹角?定位，哈氏算符：

?222?l??（1）H???22I2I??无微扰能量本征函数：?m(?)?12?eim?（2）

图350

转子是一偶极子，它具有电偶极矩D，因而在平行于0x轴的电场?作用下具有偶极势能：

??D????D?cos?

转子又在平行于z轴的匀强磁场中运动，由于电荷的运动相当于园电流，而电流在磁场中具有磁势能，磁势能由磁距决定，磁距?z又与角动量l?成正比：磁距?z?e2?c?l??e??2?ci??

?e?B?附加磁势能：??z?B??（4）

2?ci??/微扰算符H??D?cos??e??2?ci??（5）

当微扰未加上时，转子的本征方程式如下：?从这里得到能量的本征函数：??12?e?im??2??222I?????（6）（7）

本征值是：???m2I22?Em（8）

(0)由此可知不管磁量子数是何值，能量总是二度简并的，但能证明，在考虑能量一级修正量时，使用非简并微扰法和使用有简并微扰法二者的结果，对同一m值是一致的，用非简并微扰法，先求矩阵元：

2?1?im?e?B?/im?Hm,m???e(D?cos??)ed???02?2?ci??//???D?2???2??0/ei(m?m?1)?/?e2i(m?m?1)?/d?e?Bm4??cD?4?{??2??0ei(m?m)?/d?e2?i(m?m?1)//??e2?i(m?m?1)//?1i(m?m?1)/??1

}i(m?m?1)?e?Bm4??cD?2e2?i(m?m)//?1/i(m?m)e?Bm2?c??{?m/,m?1??m/,m?1}??m/,m(9)这个式子可以用来计算一级和二级能量修正值。

对一级能量修正：

E(1)m?Hm/m??/D?2{?m/,m?1??m/,m?1}?e?Bm2?c/?m/,m?e?Bm2?c（10）

对二级能量修正值：

(2)mE??m/(H(0)/mm/)(0)Em/?Em/

从（9）式知道，m只有二种值对于Em有贡献，即

m?m?1，m?m?1

//(2)Em(2)?Hm?1,mEm?Em?1D2(0)(0)/2?Hm?1,mEm?Em?11m?(m?1)22(0)(0)/2???224D22?2I?2?{?1m?(m?1)22}