二次函数知识点总结及典型题目

二次函数知识点总结及典型题目一.定义：一般地，如果'''' W•'是常数，」•：一，那么‘叫做■，的二次函数.二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距，即二次函数图象必过(0，c)点.二,二次函数'的性质(1)抛物线'的顶点是坐标原点，对称轴是’轴.(2)函数'门的图像与"的符号关系.①当二：；时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当「二时抛物线开口向下顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是’轴的抛物线的解析式形式为‘11.y=ax2(a/0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即：y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).例题精析：1.二次函数的概念，二次函数丫=a*2 (aW0)的图象性质二次函数的一般式为y=ax2+bx+c(aW0)。强调aW0.而常数b、c可以为0,当b,c同时为0时，抛物线为y=ax2(aW0)。此时，抛物线顶点为(0,0),对称轴是y轴，即直线x=0。/1A，miJ4-nii1例：已知函数Li—一•… 是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值时，y随x的增大而增大？(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小？解：(1)使:'：1 是关于x的二次函数，则m2+m—4=2,且m+2/0,即：m2+m—4=2,m+2W0,解得；m=2或m=—3,m=—2(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m+2>0,(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m+2<0。

练习：已知函数:练习：已知函数:["-1是二次函数，其图象开口方向向下，则，顶点为，当x0时，y随x的增大而增大，当x0时，y随x的增大而减小。2、用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律旬上修口叨.下/耳|用m单也»y=a(x+)2+练习旬上修口叨.下/耳|用m单也»y=a(x+)2+练习：(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单抛物线的一般式与顶点式的互化关系： y=ax2+bx+c平移规律如下图：位，得抛物线y=x2—2x+1,求：b与c的值。(2)通过配方，求抛物线y=x2—4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。3.知识点串联，综合应用。例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1,1)。(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得4AOD与4OBC的面积相等，求D点坐标。点评：(1)直线AB过点A(2,0),8(1,1),代入解析式y=kx+b,可确定k、b,抛物线y=ax2过点B(1,1),代人可确定a。求得：直线解析式为y=—x+2,抛物线解析式为y=x2。(2)由y=—x+2与y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(一2,4),SAOBC=SAABC—SAOAB=30:S4AOD=S4OBC,且OA=2・•・D的纵坐标为3又•・• D在抛物线y=x2上，

.•・x2=3,即x=± ， D(—,3)或(，3)练习：函数y=ax2(a=0)与直线y=2x—3交于点A(1,b),求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y=ax2的顶点和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y=一2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。课堂作业一、填空。.若二次函数y=(m+1)x2+m2—2m—3的图象经过原点，则m=。.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=,b=.抛物线y=—(x—1)2+2可以由抛物线y=—x2向方向平移个单位，再向方向平移个单位得到。.用配方法把y=—x2+x—化为y=a(x—h)2+k的形式为y=，其开口方向，对称轴为，顶点坐标为。二、选择。.函数y=(m—n)x2+mx+n是二次函数的条件是( )A.m、n是常数，且m/0 B.m、n是常数，且m/nC.m、n是常数，且n/0 D.m、n可以为任意实数2.直线y=mx+1与抛物线y=2x2—8x+k+8相交于点(3,4),则m、k值为()A. B. C. D.3.下列图象中，当ab>0时，函数y=ax2与y=ax+b的图象是( )A B C D三、解答题.函数”一"式口(1)当a取什么值时，它为二次函数。⑵当a取什么值时，它为一次函数。.二次函数-1■的图像是对称轴平行于(包括重合)’轴的抛物线..二次函数，-用配方法可化成：'''■：1 ■:■的形式，其中J心2j 4口..二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①,」‘.•；②''；③'；@' 「⑤'、..抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①，的符号决定抛物线的开口方向：当■工时，开口向上；当二u时，开口向下；同相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于’轴(或重合)的直线记作'■<.特别地，,轴记作直线'■二..顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数,相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同..求抛物线的顶点、对称轴的方法=. (b\ 4挥匚-b'y=ax+ot+c=前用+— ， (1)公式法：’ [2〃 , ，，顶点是TOC\o"1-5"\h\z(84配一外] h'''4..’，对称轴是直线, ■..(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为',的形式，得到顶点为("二)，对称轴是直线'■ .(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线：''-中，…、'的作用(1)工决定开口方向及开口大小，这与「 "■中的"完全一样.(2)和.，共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线" ,■1■的对称轴是直线…2 3。，『，故：①。时，对称轴为‘轴；②"（即"、‘：同号）时，上0对称轴在’轴左侧；③门（即,、"异号）时，对称轴在’轴右侧.（3）J的大小决定抛物线"一次+"与’轴交点的位置.当」:时，':.••抛物线，" 、与’轴有且只有一个交点（0,O：①「二，抛物线经过原点；②;…，与’轴交于正半轴；③与’轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在‘轴右”0侧，则:' ..几种特殊的二次函数的图像特征如下：二次函数y=ax2+bx+c（a/0）的图象及几个重要点的公式:/-4€t二次函数y=ax2+bx+c（a/0）的图象及几个重要点的公式:/-4€t函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y=ax2当a>0时*=。（F轴）(0,0)y=a/+Q开口向上x=0(F轴)(0,&)即（T-力y当且＜。时x=!1s,0)下:式K一力）+火开口向下x=h3,k)y=j.v24ftu+£?6b4ac-b~'2a(2/4d)二次函数y=ax2+bx+c (aW0)中，a、b、c与A的符号与图象的关系：a>0<=>抛物线开口向上；a<0<=>抛物线开口向下；c>0<=>抛物线从原点上方通过；c=0<=>抛物线从原点通过；c<0<=> 抛物线从原点下方通过；a,b异号<=>对称轴在y轴的右侧；a,b同号<=>对称轴在y轴的左侧；b=0 <=>对称轴是y轴；A>0 <=>抛物线与x轴有两个交点；△=0 <=>抛物线与x轴有一个交点(即相切)；A<0 <=> 抛物线与x轴无交点..用待定系数法求二次函数的解析式一般式：.已知图像上三点或三对、、’的值，通常选择一般式.(2)顶点式：'•，已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与■,轴的交点坐标’■、,通常选用交点式：)..直线与抛物线的交点(1)'轴与抛物线一―一灰十，得交点为(0一)(2)与’轴平行的直线：:与抛物线'-1■有且只有一个交点(, 「).(3)抛物线与,轴的交点二次函数-一■"■--的图像与■，轴的两个交点的横坐标’■、、■，是对应一元二次方程小二U的两个实数根.抛物线与1轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点-'-抛物线与1,轴相交；②有一个交点(顶点在，.轴上)---抛物线与，.轴相切；③没有交点-二。-抛物线与1•轴相离.(4)平行于1轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为二，则横坐标是』'''■ ■"的两个实数根.(5)一次函数，w的图像与二次函数’■'的!”的图像「■•的交点，由方程组- " "■■的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时,与「••有两个交点；②方程组只有一组解时「与，•■只有一个交点；③方程组无解时'’与「，没有交点.(6)抛物线与,轴两交点之间的距离：若抛物线'' '''与；轴两交点为L•"''：，由于二'是方程-U.的两个根，故总原-Ik口；bJg<a'i例题精析1、用待定系数法确定二次函数解析式.例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(一1,1)三点。(2)抛物线顶点P(—1,—8),且过点A(0,—6)。(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,—3)两点，并且以x=1为对称轴。(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=—3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1,1),求这个二次函数解析式，并把它化为y=a(x—h)2+k的形式。提示：二次函数解析式常用的有三种形式：TOC\o"1-5"\h\z(1)一般式：y=ax2+bx+c (a=0)(2)顶点式：y=a(x—h)2+k (a/0)(3)两根式：y=a(x—x1)(x—x2) (a/0)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y=ax2+bx+c形式。当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y=a(x—h)2+k形式。当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y=a(x—x1)(x—x2)2、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A(—1,0),且经过直线y=x—3与坐标轴的两个交点B、C。x(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OMLBC,垂足为D,求点M的坐标。提示：(1)求抛物线解析式，只要求出A、B,Cm点坐标即可，设y=x2—2x—3。(2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1,—4)。(3)由|0B|=|OC|=3又OMLBC。所以，OM平分NBOC设M(x,—x)代入y=x2—2x—3解得x=因为M在第四象限：・・・M(,)(此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求M点坐标时应考虑M点所在象限的符号特征，抓住点M在抛物线上，从而可求M的求标。)练习；已知二次函数y=2x2—(m+1)x+m—1。(1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。(2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。(3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。课堂作业、填空。.如果一条抛物线的形状与y=—x2+2的形状相同，且顶点坐标是(4,一2),则它的解析式是。.开口向上的抛物线y=a(x+2)(x—8)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若/人(^=90°,则@=。.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c二、选择。TOC\o"1-5"\h\z.如图(1),二次函数丫=2乂2+6乂+。图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a>0,bc>0B.a<0,bc<0C.a>O,bc<OD.a<0,bc>0少 yi - ^5图(1) 图(幻 图(幻.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示，那么函数解析式为( )A.y=—x2+2x+3 B.y=x2-2x—3C.y=-x2—2x+3 D.y=—x2—2x—33.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1/x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为( )A.a+cB.a—cC.—cD.c4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示，下列结论中：①abc>0,②b=2a；③a+b+c<0,④a—b+c>0,正确的个数是( )A.4个B.3个C.2个D.1个三、解答题。已知抛物线y=x2—(2m—1)x+m2—m—2。(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点，(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB,以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)(3)设4ABC的面积为6,且A、B两点在y轴的同侧，求抛物线的解析式。3.二次函数实际应用.何时获得最大利润问题。例1：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=—(x—

30)2+10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=-(50-x)2+(50—x)+308万元。(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少？(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少？(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。提示：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=-(x-30)2+10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1=10X10=100万元。(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P=—(25—30)2+10=9.5(万元)则前5年的最大利润为M2=9.5X5=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。则由Q=-(50-x)+(50-x)+308知，将余下的(50-x万元全部用于外地销售的投资.才有可能获得最大利润；则后5年的利润是：M3=[-(x-30)2+10]X5+(-x2+x+308)X5=-5(x-20)2+3500 故当x=20时，M3取得最大值为3500万元。・•・10年的最大利润为M=M2+M3=3547.5万元(3)因为3547.5>100,所以该项目有极大的开发价值。「L「， ■例2：某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做一次函数y=kx+b的关系，如图所示。(1)根据图象，求一次函数y=kx+b的表达式，(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价一成本总价)为S元，①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少？此时的销售量是多少？分析：(1)由图象知直线y=kx+b过(600,400)、(700,300)两点，代入可求解析式为y=—x+1000(2)由毛利润S=销售总价一成本总价，可得S与x的关系式。S=xy—500y=x・(-x+1000)—500(—x+100)=—x2+1500x—500000=—(x—750)2+62500 (500<x<800)所以，当销售定价定为750元时，获最大利润为62500元。此时，y=—x+1000=—750+1000=250,即此时销售量为250件。(2)最大面积是多少问题。例：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x,面积为5平方米。(1)求出S与x之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用；(3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少？(精确到元) (参与资料：①当矩形的长是宽与(长+宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，②^2.236)提示：(1)由矩形面积公式易得出S=x-(6—x)=—x2+6x(2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。由S=—x2+6x=—(x—3)2+9,知当x=3时，即此矩形为边长为3的正方形时，矩形面积最大，为9m2,因而相应的广告费也最多：为9X1000=9000元。(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。设设计的黄金矩形的长为x米，则宽为(6—x)米。则有x2=6,(6—x)解得x1=—3—3(不合题意，舍去)，x2=—3+3。即设计的矩形的长为(3,3)米，宽为(9—3)米时，矩形为黄金矩形。此时广告费用约为：1000(3—3)(9—3)'8498(元)课堂作业.某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价为3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x(十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y=—x2+x+1,如果把利润看成是销售总额减去成本费和广告费。(1)试写出年利润S(十万元)与广告费x(十万元)的函数关系式.(2)如果投入广告费为10〜30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增次？(3)在⑵中，投入的广告费为多少万元时，公司获得的年利润最大?是多少?（1）如果所围成的花圃的面积为45平方米，试求宽AB的长；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45平方米更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能请说明理由.典型习题.抛物线y=x2+2x—2的顶点坐标是 （D）A.（2,-2）B.（1,-2） C.（1,-3）D.（—1,一3）.已知二次函数“知'『的图象如图所示，则下列结论正确的是（C）第2,3题图 第4题图.二次函数'1 1L的图象如图所示，则下列结论正确的是（D）A.a>0,b<0,c>0 B.a<0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0 D.a<0,b>0,c>0.如图，已知,We中，BC=8,BC上的高，；',D为BC上一点，，也，交AB于点E,交AC于点F（EF不过A、B）,设E到BC的距离为"则，.门,「的面积,关于'的函数的图象大致为（D）.抛物线'"%:与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为4.已知二次函数':二'一"：与x轴交点的横坐标为'，、'(「；・)，则对于下列结论：①当x=—2时，y=1；②当'.1•时，y>0；③方程・「‘「'一'''"有两个不相等的实数根’■、-；④“ ，、一；__JlI4/⑤'' :，其中所有正确的结论是①③④(只需填写序号)..已知直线''' 与x轴交于点A,与y轴交于点B；一抛物线的解析式为'' ..(1)若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线’一人上，试确定这条抛物线的解析式；(2)过点B作直线BCXAB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线‘'''八的解析式.解：(1)''1或'；“‘代入，得「L“‘代入，得「L顶点坐标为b：4国八100，由题意(2),-----.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为「，且「是乂的二次函数，已知输入值为-,0,时，相应的输出值分别为5,i4.(1)求此二次函数的解析式;(2)在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值「为正数时输入值.■的取值范围.解：(1)设所求二次函数的解析式为解：(1)设所求二次函数的解析式为'故所求的解析式为：」'：.(2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值』为正数时，输入值■■■的取值范围是: •或、、.第9题.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图.请根据图象回答：⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间？⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少？⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时它的体温从最低上升到最高需要12小时⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃工 I，y= a24-2Jt+24(10 ^22)⑶’ “y-#■+（—4-33）Jt+4.已知抛物线’ 、 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,使得△ABC为直角三角形.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.解：依题意，得点C的坐标为（0,4）.设点A、B的坐标分别为（'■,0）,（：0）,ax3+（―+3a）jr+4=0 X,=--由। ，解得' ', ：•；4点A、B的坐标分别为（-3,0）,,、 以「口=E■+1石」「二， ■,■.-；〈i〉,、 以「口=E■+1石」「二， ■,■.-；〈i〉当•皿支取’时，NACB=90°由.3It",If)解得3■= ・•・当4时，点B的坐标为(口，0),一「一:、，・•・当•时，4ABC为直角三角形.〈ii〉当・r皿取’时，NABC=90°由.「给*,得二」：："--=-^—=-3当”时，；，点B(-3,0)与点A重合，不合题意.〈iii〉当" .'('.『时，NBAC=90°.解得”.不合题意.&= 综合〈i〉、〈ii〉、〈iii〉，当"耳时，^ABC为直角三角形..已知抛物线y=-x2+mx—m+2.(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=';，试求m的值；(2)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且4MNC的面积等于27,试求m的值.解：(1)A(x1,0),B(x2,0).则x1,x2是方程x2—mx+m—2=0的两根.Vx1+x2=m,x1・x2=m——2<0即m<2;又AB=|x1-x21=■■- =.•・m2—4m+3=0 .O解得：m=1或m=3(舍去)，.m的值为1.M(a,b),则N(—a,—b).•・・M、N是抛物线上的两点，I-a-+ ¥2- -'ClJ.....—二"①+②得：—2a2—2m+4=0.*.a2=—m+2.・♦・当m<2时，才存在满足条件中的两点M、N.•鼻=1V2-m•这时M、N到y轴的距离均为「『又点C坐标为(0,2—m)，而SAMNC=27,・・2X'X(2—m)X、「 '=27 .•・解得m=—7.12.已知：抛物线'•'与x轴的一个交点为A(—1,0).D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式；E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解法一：(1)依题意，抛物线的对称轴为x=—2.:抛物线与x轴的一个交点为A(—1,0),・•・ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(一3,0).(2)： 抛物线'.L"'''与x轴的一个交点为A(—1,0),・•・'' .''：'；「..•・t=3a..・.''一..•・D(0,.•・D(0,3a).・•・'上，梯形ABCD中，AB〃CD,且点C在抛物线C(—4,3a)AB=2,CD=4.C(—4,3a)AB=2,CD=4..梯形ABCD的面积为9,(3).梯形ABCD的面积为9,(3)设点E坐标为('',1).依题意，'",'",①设点E在抛物线'"一’：上,乂=一£丸解方程组以得1%=1‘；〔厂"I5・•点E与点A在对称轴x=—2的同侧，， 点E坐标为（，可）.设在抛物线的对称轴x=—2上存在一点P,使4APE的周长最小.・•AE长为定值，， 要使4APE的周长最小，只须PA+PE最小.•・点A关于对称轴x=—2的对称点是B（—3,0）,•・由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=—2的交点.设过点E、B的直线的解析式为‘'''',•・直线BE的解析式为‘一’.、..•・把乂=—2代入上式，得 -.•・点P坐标为（一2,一）.②设点E在抛物线''一：上，・•. F3解方程组M=一4-4/-£消去珞，得"uW0+T•・ A<0..,・此方程无实数根.1综上，在抛物线的对称轴上存在点P（—2,一），使4APE的周长最小.解法二：

.令y.令y=0,即；，-I-L解得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(一3,0).(2)由‘''' ,、’，得D(0,3a).•・,梯形ABCD中，AB〃CD,且点C在抛物线''''上，C（一C（一4,3a）..・AB=2,CD=4.梯形ABCD的面积为9,・,・' .解得OD=3.a±1.所求抛物线的解析式为'或'-・'-'一•1FF由PF〃EQ,可得；"..：・•・点P坐标为(一2,一).以下同解法一.13.已知二次函数的图象如图所示.(1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标.(2)若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q.当点N在线段BM上运动时(点N不与点B，点M重合)，设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；Hi1:: (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使APAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(4)将AOAC补成矩形，使AOAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程).TOC\o"1-5"\h\z解：(1)设抛物线的解析式‘… "、：，• -2=j<1x(-2) •j=| •y= 2・・ ・・• ・・• ・其顶点M的坐标是1屋"(2)设线段BM所在的直线的解析式为,小、点N的坐标为N(t,h),0=2八也L42.解得2,b=-3.y--a-3TOC\o"1-5"\h\z线段BM所在的直线的解析式为.’ .力=—1一3 —・•・ \ ，其中^5=—x1x2七一-I— =—『14-L? 2 3 4 2,自变量t,自变量t的取值范围是S=—x2--/+IS与t间的函数关系式是 4 -一，一 片—T——(3)存在符合条件的点P,且坐标是"(2打，U4J设点P的坐标为P'M:‘，则"："-丛工二〔用+1-4//丛工二〔用+1-4//,肛门二印【:2『.AC"=5分以下几种情况讨论：i）若NPAC=90°,则注'-''.#=fit"_加_2*.[nt1।（I?।2J-=（in।I）1।n+5.解得：码F,叫…（舍去）..•・点勺24ii）若NPCA=90°,则，-n.Jti=月『-Ji）-2f_5?〔加l9+标=.+（门+2-+_5?=■—f矶=口解得：- （舍去）..•・点iii）由图象观察得，当点iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，「I■!'',所以边AC的对角NAPC不可能是直角.（4）以点O,点A（或点O,点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a,此时未知顶点坐标是点D（—1,—2）,上，如图b,此时未知顶点坐标是E"上，如图b,此时未知顶点坐标是E"以点A,点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边■4一，一图a 图b14.已知二次函数.：=丁一二的图象经过点（1,—1）.求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数.解：根据题意，得a—2=—1.・•・a=1.・♦・这个