类平抛运动高考题(含答案)

1.3研究斜抛运动同步练习（沪科版必修2）

♦♦同步测控**

1.做斜抛运动的物体（）

A.水平分速度不变

B.加速度不变

C.在相同的高度处有相同的速度

D.经过最高点时，瞬时速度为零

解析：选AB.斜抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动，A

正确.在运动过程中只受到重力作用，合外力恒定则加速度不变，B正确.水平方向速度

不变，竖直方向在上升和下降的过程中，同一个位置速度大小相等，但是方向不相同，所

以在相同高度速度大小相等，但是方向不一样，C错.在最高点竖直方向的速度减到零，

但有水平方向的速度，D错.

2.某同学在篮球场地上做斜上抛运动实验,设抛出球的初速度为20m/s,抛射角分别为30。、

45。、60。、75。，不计空气阻力，则关于球的射程，以下说法中正确的是（）

A.以30。角度抛射时，射程最大

B.以45。角度抛射时，射程最大

C.以60。角度抛射时，射程最大

D.以75。角度抛射时，射程最大

解析：选B.根据射程公式X=药詈可知，当抛射角为45。时，射程最大.

3.以相同的初速率、不同的抛射角抛出三个小球4、8、C,三球在空中的运动轨迹如图1

一3一3所示，下列说法中正确的是（）

图1—3—3

A.4、8、C三球在运动过程中，加速度都相同

B.5球的射程最远，所以最迟落地

C.A球的射高最大，所以最迟落地

D.4、C两球的射程相等，两球的抛射角互为余角，即纵+%=]

解析：选ACD.A、8、C三球在运动过程中，只受到重力作用，具有相同的加速度g,故选

项A正确；斜抛运动可以分成上升和下落两个过程，下落过程就是平抛运动，根据平抛运

动在空中运动的时间只决定于抛出点的高度可知，A球从抛物线顶点落至地面所需的时间

最长，再由对称性可知，斜抛物体上升和下落时间是相等的，所以A球最迟落地，选项C

正确，B错误；已知A、C两球的射程相等，根据射程公式X=Z7可知，sin2W=sin2%,

O

在。4工%的情况下，必有内+%=?，选项D正确.

4.一位田径运动员在跳远比赛中以10m/s的速度沿与水平面成30。的角度起跳，在落到沙

坑之前，他在空中滞留的时间约为（g取10m/s2）（）

A.0.42sB.（）.83s

C.IsD.1.5s

解析：选C.起跳时竖直向上的分速度

Voy—Posin3O°=10X-m/s=5m/s

所以在空中滞留的时间为

2vOv2X5

/=V=1Ts=Is,故C正确.

5.从地面上斜抛一物体，其初速度为。°,抛射角为，.

（1）求物体所能达到的最大高度（射高）.

（2）求物体落地点的水平距离Xm（射程）.

⑶抛射角多大时，射程最大？

解析：（1）利用竖直分运动的速度公式，有

4=Vosin，_gf=0

所以斜抛物体达到最高点的时间为f=弛詈

将此结果代入竖直分运动的位移公式，便可得

12冰百。赤言。

hm=V^yt-'jgt=~-—2g-

2,2

因此为m=2

（2）设斜抛物体的飞行时间为7.利用竖直分运动的位移公式，有尸如sinexr-%好=0

所以斜抛物体的飞行时间为7=2啜

将此结果代入水平分运动的位移公式，便得到

2彘in〃cos©*sin2”

Xm=OoCOS，XT=

gg

（3）当，=45。时，sin2，=l,射程9最大,为今=,

Vosin20*sin20

答案：（1）」工一（2）」^一（3）45°

一、选择题

1.若不计空气阻力，下列运动可以看成斜抛运动的是（）

A.斜向上方发射的探空火箭

B.足球运动员远射踢出的高速旋转的“香蕉球”沿奇妙的弧线飞入球门

C.姚明勾手投篮时抛出的篮球

D.军事演习中发射的导弹

解析：选C.发射的火箭、导弹靠燃料的推力加速运动，而香蕉球由于高速旋转受到较大的

空气作用力，故A、B、D错误，而姚明勾手投篮抛出的篮球只受重力作用，故C正确.

2.做斜抛运动的物体，到达最高点时（）

A.速度为零，加速度不为零

B.速度为零，加速度也为零

C.速度不为零，加速度也不为零

D.速度不为零，加速度为零

解析：选C.做斜抛运动的物体达到最高点时，竖直分速度为零，水平分速度不为零，运动

过程中始终仅受重力作用，所以有竖直向下的重力加速度g,故C正确.

3.将同一物体分别以不同的初速度、不同的仰角做斜抛运动，若初速度的竖直分量相同，

则下列哪个量相同（）

A.落地时间

B.水平射程

C.自抛出至落地的速度变化量

D.最大高度

解析：选ACD.落地时间和最大高度取决于竖直方向的分运动，水平射程与水平分速度、运

动时间有关，水平分速度不一定相同，故A、D正确，B错误.由于初速度的竖直分量相同，

由对称性知自抛出至落地的速度变化量相同，C正确.

4.下列关于斜抛运动的说法中正确的是（）

A.上升阶段与下落阶段的加速度相同

B.物体到达最高点时，速度最小，但不为零

C.物体到达最高点时，速度为oocos，（，是狗与水平方向间的夹角），但不是最小

D.上升和下落至空中同一高度时，速度相同

解析：选AB.斜抛物体的加速度为重力加速度g,A正确；除最高点速度为为cos。外，其他

点的速度均是。ocos。与竖直速度的合成，B正确，C错；上升与下落阶段速度的方向一定

不同，D错.

5.斜抛运动与平抛运动相比较，相同的是（）

A.都是匀变速曲线运动

B.平抛是匀变速曲线运动，而斜抛是非匀变速曲线运动

C.都是加速度逐渐增大的曲线运动

D.平抛运动是速度一直增大的运动，而斜抛是速度一直减小的曲线运动

解析：选A.平抛运动与斜抛运动的共同特点是它们以一定的初速度抛出后，都只受重力作

用.合外力为G=mg,根据牛顿第二定律可以知道平抛运动和斜抛运动的加速度都是恒定

不变的，大小为g,方向竖直向下，都是匀变速运动.它们不同的地方就是平抛运动是水

平抛出、初速度的方向是水平的，斜抛运动有一定的抛射角，可以将它分解成水平分速度

和竖直分速度，也可以将平抛运动看成是特殊的斜抛运动（抛射角为0。）.平抛运动和斜抛运

动初速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，所以它们都是匀变速曲线运动.B、C

错，A正确.平抛运动的速率一直在增大，斜抛运动的速率先减小后增大，D错.

6.如图1一3—4所示是斜向上抛出物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，4、8是轨迹上等

高的两个点.下列叙述中正确的是（不计空气阻力）（）

图1—3—4

A.物体在C点的速度为零

B.物体在A点的速度与在8点的速度相同

C.物体在A点、8点的水平分速度均等于物体在C点的速度

D.物体在A、5、C各点的加速度都相同

解析：选CD.斜抛运动只受重力作用，故各点加速度相同都为重力加速度g,选项D正确；

又因水平方向匀速运动，故选项C正确，A错误；A、8两点的速度大小相等，方向不同,

故B错误.

7.关于向斜上方抛出物体的运动，下列说法中正确的是（）

A.抛射角一定，初速度小时，运动时间长

B.抛射角一定，初速度大时，运动时间长

C.初速度一定，抛射角小时，运动时间长

D.初速度一定，抛射角大时，运动时间长

解析：选BD.斜抛运动的运动时间取决于竖直方向的分运动的时间，由7=弛詈知抛射角

。一定时，。。越大，7越大；狗一定时，，越大，7越大；故B、D正确，A、C错误.

8.一跳高运动员起跳后做斜上抛运动，若初速度为8m/s,且起跳仰角为，=30。，则该运

动员能跳过的最大高度是（g取10m/s2）（）

A.0.8mB.2.4m

C.1.6mD.1.2m

解析：选A.根据丫=或等，代入数据可得y=0.8m,故A正确.

9.（2011年陕西安康高一检测）两物体自同一地点分别与水平方向成为=60。、，2=30。的仰

角抛出，若两物体所达到的射程相等，则它们的抛射速度之比为（）

A.1：1B.1：/

C币：1D.1：3

o

解析：选A.由于二者的射程相等，根据、=逸詈，又因为sinl20=sin60°,所以两物体

抛射速度大小相等，A正确.

10.在倾角为a的斜坡上，沿着与水平线成a角的方向斜向上方抛出一石块，如图1一3一5

所示.设石块落在斜坡上的位置离抛出点的距离为L则石块抛出的初速度为（）

解析：选A.将石块的运动看成是沿内方向的匀速直线运动和自由落体运动的合运动.运动

合成情况如图所示.图中平行四边形对角线是合运动位移，依题意其大小为L,两条相邻边

s和人则是两个分运动的位移.

设运动时间为。由运动学公式知；s=0of,再由几何关系知：scosa=Lcosa,ssina

+Lsina=〃联立以上四式，消去。解得故选A.

/\1sina

二、非选择题1

11.一足球运动员开出角球，球的初速度是20m/s,初速度方向跟水平面的夹角是37。.如果

球在飞行过程中，没有被任何一名队员碰到，空气阻力不计，g取lOmA,求：

（1）落点与开出点之间的距离；

（2）球在运动过程中离地面的最大距离.

解析：（1）将球的初速度进行分解，其水平分量。1=然皿，=16111/5,竖直分量为02=0COS，

=12m/s

飞行时间，=2券=2.4s

水平距离$=0・£=38.4m.

p2

（2）最大高度力=至=7.2m.

答案：见解析

12.将小球以10m/s的速度斜向上抛出，速度方向与水平方向成30。角，求小球在0.8s

内的位移大小及0.8s末的速度.

解析：水平方向：o*=Vftf=10Xcos30。m/s=54m/s

水平位移：x=%/=5小X0.8m=4小m

竖直方向：Vo3,=Vosin3O°=5m/s

所以小球在0.8s内的竖直位移为y=0o4一如

=5X0.8m-|x10X0.82m=0.8m,

0.8s末的竖直速度为。

2V=Oo_y—gf=(5—10X0.8)m/s=—3m/s

故s=、f+y2=、(4^)2+Q82mjOm

小y+3?m/s=9.2m/s

tan，=£=W^=乎，即此时速度方向与水平方向所夹角度O=arctan乎.

答案：7.0m9.2m/s方向与水平方向夹角，=arctan]-

(201123安徽卷).(16分)如图所示，在以坐标原点0为圆心、半径为R的半圆形区域

内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B,磁场方向垂直于xOy平面向里。

一带正电的粒子(不计重力)从0点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直

线运动，经t。时间从P点射出。

(1)求电场强度的大小和方向。

(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从0点以相同的速度射入，经t0/2时间恰从半圆形区域的

边界射出。求粒子运动加速度的大小。

(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从0点射入，且速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动

的时间。

p"

»・1一一_

XX、

/XXXXXX\

/

〃XXXXX*-又

fM―.

；xXXx,»r"xxx；

一o

2.BR4方尺百万

答案：E=—；a=-^；t=--L

工。1R18

解析：(1)设带电粒子的质量为m,电荷量为q,初速度为v,电场强度为E。可判断出粒子

受到的洛伦磁力沿x轴负方向，于是可知电场强度沿x轴正方向，且有qE=qvB①

②，则石=出

又R=vto

%

(2)仅有电场时，带电粒子在匀强电场中作类平抛运动

在y方向位移y=④由②④式得y=—⑤

22

设在水平方向位移为x,因射出位置在半圆形区域边界上，于

是X=2R

2

又有x='a（S）2⑥，得〃=生”⑦

22tl

（3）仅有磁场时，入射速度M=4u,带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设轨道半径

产

为r,由牛顿第二定律有=一⑧

r

又qE=ma⑨，由⑦⑧⑨式得厂=走«⑩

3

由几何关系sina=£0，即sintz=-a=—0

2r23

带电粒子在磁场中运动周期丁=女”，则带电粒子在磁场中运动时间〃=—T

qB2乃

所以小=冬。0

1O

第四章：曲线运动

本章内容包括圆周运动的动力学部分和物体做圆周运动的能量问题，其核心内容是牛顿

第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。本章中所涉及到的基本方法与

第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点:

物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的

方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指

向圆心，物体才做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时关系可知，当物

体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出

相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。另外，由于在具体的圆

周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力

对物体不做功，所以物体的机械能守恒。

★命题规律

本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。（2）匀

速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。（3）万有引力定律及其运用。（4）

运动的合成与分解。注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对

牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。近几年对人造卫

星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系

实际的能力要求较高，要引起足够重视。本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难

度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。

从近几年的高考试题可以看出，曲线运动的研究方法一一运动的合成与分解、平抛运动

和圆周运动；万有引力定律与牛顿运动定律结合分析天体、人造卫星、宇宙飞船、航天飞机

的运动问题，估算天体的质量和密度问题，反映了现代科技信息与现代科技发展密切联系是

高考命题的热点。例如2008全国I第17题，山东基本能力第32题，全国II第25题，广东

单科第12题考查了万有引力定律的应用，2005年全国I、II、HI卷以及北京理综、广东物

理均考查了人造卫星在万有引力作用下的圆周运动问题.再如2006全国I卷、江苏物理、

天津理综、重庆理综、广东物理均考查了人造卫星及万有引力定律在天体运动中的应用问题。

预计在今后的高考中平抛运动的规律及其研究方法、圆周运动的角速度、线速度和向心

加速度仍是高考的热点。与实际应用和与生产、生活、科技联系命题已经成为一种命题的趋

向，特别是神舟系列飞船的发射成功、探月计划的实施，更会结合万有引力进行命题。

★复习策略

在本专题内容的复习中，一定要多与万有引力、天体运动、电磁场等知识进行综合，以

便开阔视野，提高自己分析综合能力。

1.在复习具体内容时，应侧重曲线运动分析方法，能够熟练地将曲线运动转化为直线运

动。如平抛运动就是将曲线运动转化为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体

运动再进行处理的。对于竖直平面内的圆周运动，由于涉及知识较多而成为难点和重点。就

圆周运动的自身而言有一个临界问题，同时又往往与机械能守恒结合在一起命题。在有关圆

周运动最高点的各种情况下的各物理量的临界值的分析和计算应作为复习中的重点突破内

容，极值分析法、数学分析法是分析处理物理问题的基本方法，也是学生学习中的难点和薄

弱环节。

2.天体问题中，由于公式的形式比较复杂，计算中得到的中间公式特别多，向心力的表

达式也比较多，容易导致混乱。所以要求在处理天体问题时，明确列式时依据的物理关系（一

般是牢牢抓住万有引力提供向心力），技巧性地选择适当的公式，才能正确、简便地处理问

题。

3.万有引力定律还有一个重要的应用就是估算天体的质量或平均密度。问题的核心在于：

（1）研究一天体绕待测天体的圆周运动。（2）二者之间的万有引力提供向心力。

4.万有引力定律是力学中一个独立的基本定律，它也是牛顿运动定律应用的一个延伸，

学习本部分内容要具有丰富的空间想象建模能力以及学科间的综合能力。

1、记住物体做匀速圆周运动的条件，能判断物体是否做匀速圆周运动。

2、记住匀速圆周运动的V、3、T.f＞。、向心力等运动学公式。

3、知道解匀速圆周运动题的一般步骤（与牛顿第二定律解题思中相同）。

4、掌握几种情景中的圆周运动：

①重力场中竖直面内圆周运动（注意临界条件）。

②天体的匀速圆周运动。

③点电荷的电场中带电粒子可以做匀速圆周运动。

④带电粒子只受洛仑磁力作用下的圆周运动（注意有界磁场中的圆周运动的特点和解

法）。

⑤复合场中的圆周运动。

第一模块：曲线运动、运动的合成和分解

「夯实基础知识J

■考点一、曲线运动

1、定义：运动轨迹为曲线的运动。

2、物体做曲线运动的方向：

做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，

就是通过该点的曲线的切线方向。

3、曲线运动的性质

由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运

动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运

动一定是变速运动。

由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物

体的加速度必不为零，所受到的合外力必不为零。

4、物体做曲线运动的条件

（1）物体做一般曲线运动的条件

物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。

（2）物体做平抛运动的条件

物体只受重力，初速度方向为水平方向。

可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。

（3）物体做圆周运动的条件

物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同

一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）

总之，做曲线运动的物体所受的合外力一定指向曲线的凹侧。

5、分类

⑴匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。

⑵非匀变速曲线运动：物体在变力（大小变、方向变或两者均变）作用下所做的曲线运动，

如圆周运动。

■考点二、运动的合成与分解

1、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速

度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分

运动，一般地，物体的实际运动就是合运动。

2、运动的分解：求一个己知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果"分解，

或正交分解。

3、合运动与分运动的关系：

⑴运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；

⑵等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等

⑶独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的运动，都

按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。

⑷运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。）

4、运动的性质和轨迹

⑴物体运动的性质由加速度决定（加速度为零时物体静止或做匀速运动；加速度恒定时

物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变加速运动）。

⑵物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定（速度与

加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运

动）。

常见的类型有：

（1）a=0：匀速直线运动或静止。

（2）。恒定：性质为匀变速运动，分为：

①v、a同向，匀加速直线运动；

②v、a反向，匀减速直线运动；

③V、。成角度，匀变速曲线运动（轨迹在八。之间，和速度v的方向相切，方向逐渐

向。的方向接近，但不可能达到。）

（3）a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。

具体如：

①两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。

②一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时

为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。

③两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在

同一条直线上时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时，则是

曲线运动。

第二模块：平抛运动

r夯实基础知识」

平抛运动

1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。

2、条件：

a、只受重力；b、初速度与重力垂直.

3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度

g.因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。a=g

4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水

平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直

线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性.

5、平抛运动的规律

①水平速度：%=也），竖直速度：Vy=gt

2

合速度（实际速度）的大小：V=^V/+Vv

物体的合速度V与X轴之间的夹角为：

tana='=&

匕%

②水平位移：x=vot,竖直位移y=gg产

22

合位移（实际位移）的大小：s=ylx+y

物体的总位移s与x轴之间的夹角为：

tan0=—=—

x2v0

可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。

而且tana=2tan。而。w2。

轨迹方程：由％=%/和了=工8产消去f得到：>=冬》2。可见平抛运动的轨迹为抛

22%-

物线。

6、平抛运动的几个结论

①落地时间由竖直方向分运动决定：

,j12/曰I2〃

由/z=-g广得：，=一

2V8

②水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定：

③平抛物体任意时刻瞬时速度v与平抛初速度加夹角Ba的正切值为位移s与水平位移x

夹角。正切值的两倍。

④平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离

都等于水平位移的一半。

证明：tana=—=------=>s=—

%S2

⑤平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Au=gAt,方向恒为竖直向下（与g同向）。

任意相同时间内的Av都相同（包括大小、方向），如右图。

⑥以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速

度与斜面的夹角a相同，与初速度无关。（飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）

如右图：所以仁也tan。

g

tan（a+^）=--=-

匕%

所以tanQ+6）=2tan。，0为定值故a也是定值与速度无关。

⑦速度v的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加，tan0

变大，6T,速度丫与重力的方向越来越靠近，但永远不能到达。

⑧从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中

机械能守恒。

7、平抛运动的实验探究

①如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A球沿水平方向抛出，同时8球松开，自

由下落，A、B两球同时开始运动。观察到两球同时落地，多次改变小球距地面的高度和打

击力度，重复实验，观察到两球落地，这说明了小球A在竖直方向上的运动为自由落体运动。

②如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑

水平板吻接，则将观察到的现象是4B两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上

面滑道对地的高度，重复实验，A、B两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方

向上的分运动是匀速直线运动。

8、类平抛运动

（1）有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直

方向做初速度为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运

动。

2、类平抛运动的受力特点：

物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。

3、类平抛运动的处理方法：

在初速度%方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速

度。=绍。处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用

m

两个分运动的直线规律来处理。

第三模块：圆周运动

『夯实基础知识J

匀速圆周运动

1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。

2、分类：

⑴匀速圆周运动：

质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速

圆周运动。

物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。

注意：这里的合力可以是万有引力一一卫星的运动、库仑力一一电子绕核旋转、洛仑兹

力一一带电粒子在匀强磁场中的偏转、弹力一一绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一端旋

转、重力与弹力的合力一一锥摆、静摩擦力一一水平转盘上的物体等.

⑵变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化一一如小

球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动.合力的方向并不总跟速度方向垂

直.

3、描述匀速圆周运动的物理量

（1）轨道半径（r）：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。

（2）线速度（V）：

①定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动

的线速度。

②定义式：v=-

t

③线速度是矢量：质点做匀速圆周运动某点线速度的方向就在圆周该点切线方向上，实

际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓，对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均

速率。

（3）角速度（e又称为圆频率）：

①定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫做匀速圆

周运动的角速度。

②大小：（0=4=呼（p是r时间内半径转过的圆心角）

③单位：弧度每秒（rad/s）

④物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢

（4）周期（T）：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。

（5）频率（力或转速〃）：物体在单位时间内完成的圆周运动的次数。

各物理量之间的关系：

s2TH-

V---=27DJ

0r

>=>v=—=cor

627

CD=—==17g

注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。

（6）圆周运动的向心加速度

①定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。

22

②大小：an=—=cor（还有其它的表示形式，如：=（学）r=（2^f）r）

③方向：其方向时刻改变且时刻指向圆心。

对于一般的非匀速圆周运动，公式仍然适用，为物体的加速度的法向加速度分量，「为

曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度外,表征速度大小改变的快慢（对匀速圆

周运动而言，aT=0）

（7）圆周运动的向心力

匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，

常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受

到的合力的法向分力工提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力G提供切向加速度。

2

向心力的大小为:F=ma„=m—ma)~r（还有其它的表示形式，如:

nr

F“=mvco=n=）2r）；向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。

实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。

五、离心运动

1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力

情况下，就做远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。

2、本质：

①离心现象是物体惯性的表现。

②离心运动并非沿半径方向飞出的运动，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞

出的运动。

③离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。

3、条件：

当物体受到的合外力居=man时，物体做匀速圆周运动;

当物体受到的合外力居〈根.时，物体做离心运动

当物体受到的合外力工时，物体做近心运动

实际上，这正是力对物体运动状态改变的作用的体现，外力改变，物体的运动情况也必

然改变以适应外力的改变。

4.两类典型的曲线运动的分析方法比较

（1）对于平抛运动这类"匀变速曲线运动"，我们的分析方法一般是"在固定的坐标系内

正交分解其位移和速度"，运动规律可表示为

q=必，

%=g，

（2）对于匀速圆周运动这类"变变速曲线运动"，我们的分析方法一般是"在运动的坐标

系内正交分解其力和加速度"，运动规律可表示为

F,j:_-4向==inroT-muco.

「题型解析」

类型题:曲线运动的条件

【例题】（1991年上海高考题）如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B,

这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为一F。在此力的作用下，物体以后的运

动情况，下列说法正确的是（A、B、D)

A.物体不可能沿曲线Ba运动

B.物体不可能沿直线Bb运动

C.物体不可能沿曲线Be运动

D.物体不可能沿原曲线由B返回A

【例题】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力%

时，物体可能做（）

A.匀加速直线运动；B.匀减速直线运动；

C.匀变速曲线运动；D.变加速曲线运动。

★解析：当撤去Fi时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于h,方向与Fi

方向相反。

若物体原来静止，物体一定做与Fi相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若h与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线

运动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若Fi与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀

变速曲线运动，故C正确，D错误。

正确答案为：A、B、Co

【例题】我国"嫦娥一号"探月卫星经过无数人的协作和努力，终于在2007年10月24日

晚6点05分发射升空。如图所示，"嫦娥一号"探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M

点向N点飞行的过程中,速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（）

★解析：C卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向

与速度方向间的夹角大于90,由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向.故选C。

【例题】质点仅在恒力F的作用下，由。点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度

的方向与x轴平行，则恒力F的方向可能沿（）

A.x轴正方向

B.x轴负方向

C.y轴正方向

D.y轴负方向

★解析：D根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终

的速度方向不与合外力方向平行，可知D正确。

【例题】一个物体以初速度V。从A点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物

体上，物体的运动轨迹如图中的实线所示，B为轨迹上的一点，虚线是经过A、B两点并与

轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说

法中正确的是（）

A.如果这个力是引力，则施力物体一定在④区域中

B.如果这个力是引力，则施力物体可能在③区域中

C.如果这个力是斥力，则施力物体一定在②区域中

D«如果这个力是斥力，则施力物体可能在⑤区域中

★解析：物体做曲线运动，一定受到与初速度V。方向不平行的力的作用，这个力与速度

方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在

受力方向和初速度方向所夹的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。

是引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧（相互吸引，使运动向轨迹内侧弯曲），是斥力时施力物

体在轨迹弯曲的外侧（相互排斥，使物体运动向轨迹内侧弯曲）。

【答案】AC

【例题】如图所示，质量为，〃的小球，用长为/的不可伸长的细线挂在。点，在。点正

下方,处有一光滑的钉子0'。把小球拉到与钉子0'在同一水平高度的位置，摆线被钉子拦

2

住且张紧，现将小球由静止释放，当小球第一次通过最低点尸时（）

/〃〃“〃，

0

O---

gp

A.小球的运动速度突然减小

B.小球的角速度突然减小

C.小球的向心加速度突然减小

D.悬线的拉力突然减小

★解析：在通过位置P前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为/和,，并且小球在通

2

过P点瞬间受到的重力和拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不改变。

答案：B、C、D

类型题:如何判断曲线运动的性质

曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情

况（或加速度情况）进行判断，若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的

不是恒力（其加速度变化），则为非匀变速运动。

例如：平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g;而匀速圆周运动是非匀变速运动，其

加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。

【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是（A）

A.曲线运动一定是变速运动

B.曲线运动一定是变加速运动

C.圆周运动一定是匀变速运动

D.变力作用下的物体一定做曲线运动

【例题】物体做曲线运动时，其加速度（）

A.一定不等于零B.一定不变

C.一定改变D.可能不变

★解析：AD曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所以加速度一定不为零，A正

确；曲线运动中平抛运动和类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速

圆周运动和多数的曲线运动加速度是改变的。

【例题】一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内（）

A.速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变

B.速度一定不断地改变，加速度可以不变

C.速度可以不变，加速度一定不断地改变

D.速度可以不变，加速度也可以不变

★解析：B质点做曲线运动，则速度一定发生变化，但加速度不一定变化，如平抛运

动，所以，A、C、D错误，只有B项正确。

类型题:运用运动的独立性解题

【例题】如图所示，一个劈形物体M各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球

m,现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长）（）

A.沿斜面向下的直线B.竖直向下的直线

C.无规则曲线D.抛物线

★解析：B小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做

竖直向下的直线运动，所以B正确.

【例题】如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游

的位置，且A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试

问应采用下列哪种方法才能实现？（A）

B

A.A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用

B.B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游

C.A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游

D.都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游

★解析：游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己

划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B两运动员只

有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选A。

【例题】如图为一空间探测器的示意图，Pi、P2、P3、P4四个喷气发动机，Pl、P3的连

钱与空间一固定坐标系的X轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向

探测器提供推力，但不会使探测器转动.开始时，探测器以恒定的速率V。向正X方向平动.要

使探测器改为向正x偏负y60。的方向以原来的速率V。平动，则可

A.先开动Pl适当时间，再开动P4适当时间

B.先开动P3适当时间，再开动P2适当时间

C.开动P4适当时间

D.先开动P3适当时间，再开动P4适当时间

★解析：选A.在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即"向正x偏y60。的方向

以原来的速率V。平动”为合运动，x轴、y轴方向上的运动为分运动.据平行四边形定则，由

右图可得，Ux<V°,vy<v0,又因为"开始时，探测器以恒定的速率V。向正x方向平动”，所以

在x轴方向上探测器做的是沿正x方向的减速运动,其加速度沿负x方向.由牛顿第二定律，

沿X轴方向的合外力必沿负X方向，所以P1发动机开动.在y抽方向上探测器做的是沿负y

方向的加速运动，加速度方向沿负y方向，由牛顿第二定律，沿y轴方向的合外力必沿负y

方向，所以P4发动机打开.本题正确答案为A

【例题】一质点在xOy平面内从。点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度（）

A.若x方向始终匀速，则y方向先加速后减速

B.若x方向始终匀速，则y方向先减速后加速

C.若y方向始终匀速，则x方向先减速后加速

D.若y方向始终匀速，则x方向先加速后减速

★解析：BD从轨迹图可知，若x方向始终匀速，开始所受合力沿一y方向，后来沿+y

方向，如图所示，可以看出应是先减速后加速，故A错，B正确；若y方向匀速，则受力先

沿+x方向，后沿一X方向，如图所示，故先加速后减速，所以C错，D正确.

类型题:判断两个直线运动的合运动的性质

方法一：根据加速度与初速度的方向关系判断

先求出合运动的初速度和加速度（可以用作图法求），再判断。可以发现，当3=幺

均2%

时，合运动为直线运动，否则为曲线运动。

方法二：通过两个分位移的比例关系来判断

作为一般性讨论，我们可以设两个分运动的规律分别为:

,1j

S|=丫10,+万卬，

12

S2=V20l+

VIOZ+

令：k

2

vwt+~a2t

根据数学知识可以判断出，若左为一常数（即当也=3■或匕0=%o=0或6=。2=0

彩0

时），则表明物体沿直线运动；若k为时间t的函数（当.H幺时），则表明物体将做曲

%2。2

线运动。

如在平抛运动中，Vy0=0,%=0,%=g，所以左=旦，即左是时间，的函数，且随时间

2%

的延续而变大，所以合运动的轨迹应是越来越陡的曲线。

【例题】关于运动的合成，下列说法中正确的是（C）

A.合运动的速度一定比每一个分运动的速度大

B.两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动

C.两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变速直线运动

D.合运动的两个分运动的时间不一定相等

【例题】关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的

是

A.一定是直线运动

B.一定是曲线运动

C.可能是直线运动，也可能是曲线运动

D.以上都不对

★解析：两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，决定于它们的合

速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。当。和V重合时，物体做直线运动，当。和v

不重合时，物体做曲线运动，由于题设数值不确定，以上两种均有可能。答案选C

【例题】互成角度180）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合

运动（）

A.有可能是直线运动B.一定是曲线运动

C.有可能是匀速运动D.一定是匀变速运动

★解析:BD互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，

是匀变速,且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B、

Do

类型题:小船过河问题

轮船渡河问题：

（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过

河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运

动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。

V锚

V水

1.渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间

t=—=--------,显然，当6=90°时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小

。船sin0

为合运动沿v的方向进行。

2.位移最小

若°船水

结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为cose="

。船

若U船＜U水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢?

如图所示，

设船头V”.与河岸成e角。合速度V与河岸成a角。可以看出：a角越大，船漂下的距离

x越短，那么，在什么条件下a角最大呢？以v，k的矢尖为圆心，v叫为半径画圆，当v与圆

相切时，a角最大，根据cos。=上效船头与河岸的夹角应为

“

6»=arccos加，船沿河漂下的最短距离为:

%

小n="水一船COS6A号

此时渡河的最短位移：5=」一

cos9

【例题】河宽d=60m,水流速度Vi=6m/s,小船在静水中的速度V2=3