命题、充分条件与必要条件教案

第3课时命题、充分条件与必要条件考纲解读1、了解命题的概念和命题的构成；理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2、理解四种命题及其互相关系；反证法在证明过程中的应用；3、掌握充分条件，必要条件，充要条件的意义.考向瞭望以考查充要条件的判断为重点，兼顾考查命题的四种形式及命题的等价性；考查命题转换、逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力。多以选择、填空题的形式出现。有时以充要条件为载体，考查其它数学知识重难点：四种命题的关系及其真假的判断，充要条件的判断。考点梳理1．命题及其关系（1）命题包括原命题、逆命题、否命题、逆否命题.注意：一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系：①原命题为真，它的逆命题不一定为真，如，原命题“若，则”是真命题，它的逆命题“若，则”是假命题．②原命题为真，它的否命题不一定为真，如，原命题“若，则”是真命题，它的否命题“若，则”是假命题．③原命题为真，它的逆否命题一定为真，如，原命题“若，则”为真命题，它的逆否命题是“若，则”是真命题．（2）互逆命题、互否命题与互为逆否命题描述的是两个命题之间的关系，其中原命题与它的逆否命题同真同假，一个命题的逆命题与它的否命题同真同假（两个命题也恰好互为逆否命题）.2．充分条件、必要条件：对于命题“若则”，（即是条件，为结论）：（1）如果由，则是的充分条件；（2）如果由，则是的必要条件；（3）如果，则是的充要条件，也是的充要条件.（4）充要条件的判断方法：方法1、利用命题的真假判断：设原命题为“若则”.①若原命题为真，则是的充分条件；②若逆命题为真，则是的必要条件；③若原命题和逆命题都为真，则是的充要条件；④若原命题为真而逆命题为假，则是的充分而不必要条件；⑤若原命题为假而逆命题为真，则是的必要而不充分条件；⑥若原命题和逆命题都为假，则是的既不充分也不必要条件.方法2、利用集合间的包含关系判断：设满足条件的元素构成集合A，满足条件的元素构成集合B.①若，则是的充分条件；②若，则是的必要条件；③若，则是的充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件.典例解析例1、（1）分别写出命题“若，则全为零”的逆命题、否命题和逆否命题．（2）命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题吗？试证明你的结论．解析：（1）否命题为：若，则不全为零逆命题：若全为零，则逆否命题：若不全为零，则（2）方法一：原命题是真命题，∵，∴，因而方程有实根，故原命题“若，则有实根”是真命题；又因原命题与它的逆否命题是等价的，故命题“若，则有实根”的逆否命题是真命题．方法二：原命题“若，则有实根”的逆否命题是“若无实根，则”．∵无实根∴即，故原命题的逆否命题是真命题．评述：解答命题问题，识别命题的条件与结论的构成是关键.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）。变式训练1、（2022重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”1、B解析因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。2、下列4个命题：①命题“若则”与命题“若非则非”互为逆否命题；②“”是“”的必要不充分条件；③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假；④命题“或”为真命题。其中真命题的序号是：_______2、①③④例2、（1）（07山东卷）设,则的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（2）圆与直线有两个公共点的充要条件是（）A.B.C.D.（3）（08江西文8）在△ABC中，设命题命题△ABC是等边三角形，那么的 （）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件例2、解析：借助图形知选A（2）D评析：把解析几何与充分必要条件结合(3)C评析：把解三角形与充分必要条件结合变式训练3、（2022广东理5）“”是“一元二次方程”有实数解的A．充分非必要条件B.充分必要条件C．必要非充分条件D.非充分必要条件3、A解析：由知，．4、（2022全国Ⅰ）设，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的 （）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件4、B例3、已知抛物线C:和点A（3，0），B(0,3).求证：抛物线C与线段AB有两个不同的交点的充要条件是解：（1）必要性：由已知得，线段AB的方程为y=-x+3（）由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，所以方程组（*）有两个不同的实数解消元得：（）设则有解得（2）充分性当时方程有两个不等的实根，，且，方程组（*）有两组不同的实数解。因此，抛物线和线段AB有两个不同交点的充要条件是点评：（1）证明充要条件问题时，既要证明充分性成立，又要证明必要性成立。本题考查线段与抛物线的位置关系，属解析几何中的重点与充要条件知识的交汇，也是高考的一个重要考查内容。在求解这类问题时，除了直线与二次曲线相交的位置关系用判别式法求解外，还需要建立二次函数模型，通过二次函数的图象与坐标交点的实根分布列出不等式组求解变式训练6、已知数列的前n项和（且），求数列成等比数列的充要条件.6、解：当时，；当时，由于且，∴当时，是等比数列.要使（）是等比数列，则，即，∴，即是等比数列的必要条件是且且.再证充分性：当且且时，，，，∴是等比数列随堂检测1、设，已知命题；命题，则是成立的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件1、B2、设集合，，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2、B解析：设集合，，，所以若“”推不出“”；若“”，则“”，所以“”是“”的必要而不充分条件，选B3、（08广东5）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是B.3C.2D.13、B4、在下列四个命题中，正确的有________．（填序号）①若是的必要不充分条件，则非也是非的必要不充分条件②“”是“一元二次不等式的解集为的充要条件③“”是“”的充分不必要条件④“”是“”的必要不充分条件4、①②④5、已知函数，且给定条件p:“”,（1）求的最大值及最小值（2）若又给条件且p是q的充分条件，求实数m的取值范围