合情推理与演绎推理测模拟试题

合情推理与演绎推理【知识网络】1、合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。2、演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3、三段论推理是演绎推理的主要形式，常用格式为：M—P（M是P）大前提S—M（S是M）小前提S—P（S是P）结论4、合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。【典型例题】例1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（） A．1643 B．1679 C．1681 D．1697答案：C。解析：观察可知：累加可得：，验证可知1681符合此式，且41×41=1681。（2）下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比错误的是()A.①③B.②④C.①④D.②③答案：D。解析：由复数的性质可知。（3）定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是()（1）（2）（3）（4）（A）（B）A.B.C.D.答案：B。（4）在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”。拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的。答案：。解析：采用解法类比。（5）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从指数函数中可抽象出的性质；从对数函数中可抽象出的性质。那么从函数(写出一个具体函数即可)可抽象出的性质。答案：y=2x。解析：形如函数y=kx(k≠0)即可，答案不惟一。例2：已知：；通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_____________________________________________________= （*）并给出（*）式的证明。答案：一般形式:证明：左边=== ==（将一般形式写成等均正确。）例3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径，把上面的结论推广到空间，写出相类似的结论。答案：本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，则此三棱锥的外接球的半径是。例4：请你把不等式“若是正实数，则有”推广到一般情形，并证明你的结论。答案：推广的结论：若都是正数，证明：∵都是正数∴，………，，【课内练习】1．给定集合A、B，定义，若A={4,5,6},B={1,2,3},则集合中的所有元素之和为（）.14C答案：A。解析：，1+2+3+4+5＝15。2．观察式子：，…，则可归纳出式子为（）A、B、C、D、答案：C。解析：用n=2代入选项判断。3．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。4．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为。答案：59。解析：记这一系列三角数构成数列，则由归纳猜测，两式相加得。或由，猜测。5．数列是正项等差数列，若，则数列也为等差数列.类比上述结论，写出正项等比数列，若=，则数列{}也为等比数列.答案：。6．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是。答案：菱形对角线互相垂直且平分。7．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝,第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形,第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形,第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则前件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用表示)图1图1图2图3图4答案：66,。解析：利用归纳推理知。8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是.答案：。9．已知椭圆C：具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明。答案：本题明确要求进行“性质类比”。类似的性质：若M、N是双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。证明如下：设，其中设，由，得将代入得。10．观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：（Ⅰ）求第六行的第一个数．（Ⅱ）求第20行的第一个数．（Ⅲ）求第20行的所有数的和．答案：（Ⅰ）第六行的第一个数为31 （Ⅱ）∵第行的最后一个数是，第行共有个数，且这些数构成一个等差数列，设第行的第一个数是∴ ∴ ∴第20行的第一个数为3（Ⅲ）第20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数设第20行的所有数的和为则 【作业本】A组1．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （）A．25 B．6 C．7 D．8答案：C。解析：对于中，当n＝６时，有所以第２５项是７。OxABFy2．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于OxABFyA.B.C.D.答案：A。解析：猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角△应用勾股定理,得,即有,注意到,,变形得.3．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D、在数列中，，由此推出的通项公式答案：A。解析：B是类比推理，C、D是归纳推理。4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是。答案：②③①。解析：②是大前提，③是小前提，①是结论。5．公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应地在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列也成等差数列,且公差为。答案：，，；300。解析：采用解法类比。6．二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数就用2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什么结果，试考查几个数并给出猜想。答案：取自然数6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1，其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1。取自然数7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。取自然数100，则100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。归纳猜想：这样反复运算，必然会得到1。7．圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭圆吗？设AB是椭圆的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都存在，并设为KOM、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。答案：KOM·KAB=。证明：设，则=0∵即KOM·KAB=，而，即KOM·KAB≠－1∴OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。8．已知α、β是锐角，，且满足。（1）求证：；（2）求证：，并求等号成立时的值。答案：（1）证明：∵即∴。（2）证明：，∵α、β为锐角，∴。当且仅当时，取“=”号，此时，。B组1．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文对应密文,例如,明文对应密文.当接收方收到密文时,则解密得到的明文为（）A．B．C．D．答案：C。解析：本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组，解得，即解密得到的明文为。2．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成块区域，有，则的表达式为（）A、B、C、D、答案：B。解析：由，利用累加法，得。3．设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得的值为（）A、B、2C、3D、4答案：C。解析：。4．考察下列一组不等式：.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是___________________. 答案：（或为正整数）。解析：填以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。5．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形“扩展”而来，……如此类推.设由正边形“扩展”而来的多边形的边数为，则；＝.答案：42；。6．指出下面推理中的大前提和小前提。（1）5与2可以比较大小；（2）直线。答案：（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5与是实数。（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是。7．已知函数，对任意的两个不相等的实数，都有成立，且，求的值。答案：∵当，由，从而可得：=8．已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1,a2,a3,并推