平面向量-2018年高考数学（理）之高频含答案

解密10平面向量

解噂高考

高考考点命题分析三年高考探源考查频率

平面向量的概念一般不直接考查，通常是

结合后面的知识进行综合考查.平面向量的线性

平面向量运算是高考考查的一个热点内容，常以选择题或

2015新课标全国I7

的概念及填空题的形式呈现,难度一般不大，属中低档题.★★★★

2015新课标全国1113

线性运算平面向量的基本定理及坐标表示是高考中

的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线

的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量

的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解

决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作

平面向量为解答题中的条件,应用向量的平行或垂直关系2017新课标全国川12

的基本定进行转换.2016新课标全国I13

★★★★

理及坐标平面向量的数量积也一直是高考的一个热2016新课标全国H3

表示点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向2016新课标全国III3

量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、

两向量的垂直等问题.题型一般以选择题、填空

题为主.

平面向量既有数，又有形，既有代数形式

平面向量2017新课标全国I13

的向量加、减、数乘及数量积运算，又有向量加、

的数量积2017新课标全国H12

减、数乘及数量积的几何意义，因此，高考的考

★★★★

及向量的2016新课标全国HI3

查既有对向量的独立命题，也常与函数、三角函

应用2016新课标全国I13

数、不等式、数列、解析几何等综合命题，解题

时，注意向量的工具性及数形结合、转化与化归

数学思想的运用.

对点解咨

考点1平面向量的概念及线性运算

题组一平面向量的概念

调研1给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

③若加=0（2为实数），则Z必为零.

④7,〃为实数，若Xa=ftb,则a与共线.

其中错误的命题的个数为

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点.

②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小.

③错误，当a=0时，不论2为何值，AO=0.

④错误，当a=〃=0时，Xa=/nb=0,此时，。与方可以是任意向量.

故选C.

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☆技巧点拨☆

对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也

满足条件，要特别注意零向量的特殊性.具体应关注以下六点：

(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.

(2)相等向量具有传递性，非零.向量的平行也具有传递性.

(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量.

(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.

(6)非零向量。与已的关系：上-是。方向上的单位向量.

(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.

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题组二平面向量的线性运算

调研2如图所示，在平行四边形N8CZ)中，E是8c的中点，尸是工£的中点，若在=。，而=5,则万^等

【答案】A

【解析】AF=-=-(A5+5^)=+=+=-«+-/».故选A.

调研3设点M是线段8c的中点，点/在直线8c外，前2=16,|而+%|=|布—就|,则|押|=

【答案】2

【解析】由|而+%|=|次一%|可知，ABA.AC,则力M为Rt△48c斜边8C上的中线,

——1—

因此，|//|=/|8。|=2.

调研4已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足强+丽+岳=0,万=4万，则实数2的值为

【答案】-2

【解析】如图所示，由而且强+即+而=0,则尸为以ZC为邻边的平行四边形的第四个顶点，

因此万=-2而，则2=-2.

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☆技巧点拨☆

平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要

考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平

行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点“；向量减法的三角形法则要素是“起点

重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合常见的平面向量线性运算问题的求解策略：

(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的

中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来.

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段

在线性运算中同样适用.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；

②寻找相应的三角形或多边形；

③运用法则找关系；

④化简结果.

运.。运.♦富。.♦运.,嗨.««­,.<运•w.jfdJ。露.=融篇

题组三共线向量定理及其应用

调研5已知向量a,b,c中任意两个都不共线，但a+B与c共线，且b+c与a共线，则向量a+b+c=

A.aB.b

C.cD.0

【答案】D

【解析】依题意，设a+b=/nc,b+c=na,贝！］有(a+b)-(b+c)=〃ic-〃a,BPa-c=mc-na.又a与c不共线，于是有

m=-\,n=-\,a-\-b=-c,a+b+c=O,选D.

调研6设D,E,F分另ij是ZUBC的三边BC,CA,AB上的点，且加=2丽，丽=2或，万;=2而，则

而+而+而与前

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

【答案】A

..■•,，，—・■I••一・■■■■I，1・■■，*■I■

【解析】由题意得++—BE=BA+AE=BA+-AC,CF=CB+BF=CB+-BA,

333

,.・•«，，-，一•I,,—・,■—・♦■——»/••1・I.♦—

因此“D+8E+CF=C8+-(8C+/C—/8)=C8+—8C=-—BC,

333

故而+赤+而与前反向平行.选A.

运♦!飕•晨运.•*°.•«.<><.««<*.<运*•：%*°F」。<.««•*.<

☆技巧点拨☆

共线向量定理的主要应用：

(1)证明向量共线：对于非零向量”，儿若存在实数九使。=油，则a与b共线.

【注】对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与5共线是指a与B所在的直线平行或重合.向量共

线的充要条件中要注意“#)”，否则2可能不存在，也可能有无数个.

(2)证明三点共线：若存在实数九使荏=4%,则Z,B,C三点共线.

【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且

有公共点时，才能得出三点共线.

对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点0,0%,方不共线，满足丽=x5+y砺(x,yGR),则P,

A,B共线=x+产1.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

8♦.：%.♦。运。一＜。.♦冬J。＜.«一，富运二运。.♦源。•♦运「。嫁.::冬

考点2平面向量的基本定理及坐标表示

题组一平面向量基本定理的应用

调研1已知直角坐标系内的两个向量。=（1,3）,b=（m,2加-3）使平面内的任意一个向量c都可以唯一地表示成

c=Aa+""则m的取值范围是

A.（—00,0）U（0,+oo）B.（—00,-3）U（—3，+oo）

C.（-oo,3）U（3,+oo）D.[-3,3）

【答案】B

m2m—3

【解析】由题意可知向量•与占为一组基底，所以不共线，挣丁，得机#-3,选B.

调研2在梯形/8CO中，已知/8〃C。，AB=2CD,M,N分别为CD,8c的中点.若荔=4万7+4丽，则

2+"=

【答案】f4

【解析】解法一：连接4C,由荔=4而+〃俞，得刀=；1•；（而+祝）+//•；（%+而），

即

即咚—1）君+'赤+弓+女赤+；函=0

咚7）方+洒+4+”=0即

13

不+—1=0,

5+当-1）赤+（力+言））万=0.又因为刘，彳万不共线，所以由平面向量基本定理得

解

4

得.所以7+"下.

4

解法二：（回路法）连接MN并延长交AB的延长线于T,由已知易得AB=sAT,

4—►—►________4

：.-AT=AB=AAM-i-/lANfM,N三点共线，：.X+^.

AB

8•♦,运>.♦*。J。<J・「.富运•二运。.♦<°•♦运•，<J冬•♦.目

☆技巧点拨☆

1.对平面向量基本定理的理解

(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表

示的基础.

(2)平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.

(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如4=2肉+&C2的形式，是向量线性运算知识的延伸.

2.应用平面向量基本定理表示向量的实质

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共

线向量定理的应用起着至关重要的作用.当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的.

3.应用平面向量基本定理的关键点

(1)平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量.

(2)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出

来.

(3)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的儿何性质，如平行、相似

等.

4.用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的

运算.

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表

达式.

8•♦,运>.♦*。.♦―J。<J・「.富运•二运。.♦<°•♦运<：：：卷」.目

题组二平面向量的坐标运算

调研2已知向量a=(2,1),6=(1,-2).若ma+wb=(9,~8)(m,n£R),则的值为.

【答案】-3

【解析】【解析】由a=(2,1),b=(l,-2),可得m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),

\+n9机=2

由已知可得，解得，从而*〃=-3.

[加一2〃=—8[n=5

调研3在△力8c中，点尸在8c上，且丽=2定，点。是NC的中点，若可=(4,3),PQ=(l,5),则元等

于

A.(-6,21)B.(-2,7)

C.(6,-21)D.(2,-7)

【答案】A

【解析】AC=2=2(PQ-PA)=(-6,4),5C=3PC=3(AC-AP)=(-6,21),故选A.

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☆技巧点拨☆

平面向量坐标运算的技巧

1.向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则

应先求向量的坐标.

2.解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.

【注】(1)要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起

点是原点时，其终点坐标就是向量坐标.

(2)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位

置，它们的坐标都是相同的.

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题组三平面向量共线的坐标表示及运算

调研4己知向量0=(2,3),8=(-1,2),若(加a+,力)〃(a-2Z>),则与等于

A.-2B.2

C.TD.

【答案】C

【解析】由题意得〃7a+〃Z>=(2/M-",3m+2n),a-2b=(4,-1),V(ma+nb)//(a-2b),-(2m-n)-4(3m+2M)=0,

紧T，故选C.

调研5已知梯形/8CZ)中，AB//CD,且QC=248,若三个顶点分别为/(I,2),8(2,1),C(4,2),则点Z)的

坐标为.

【答案】(2,4)

【解析】..•在梯形中，DC=2AB,/8〃CA,二。。=2/8.设点。的坐标为&,y),则。C=(4-x,2~y),

—\4-x=2\x=2

AB=(1,-1),A(4-x,2-歹尸2(1,-1),即(4—x,2~y)=(2,-2),：.],解得《,故点。的坐标为

2-y=-2[y=4

(2,4).

调研6已知向量a=(l-sin。，1),1+sinJ),若。〃儿则锐角9等于

A.30°B.45°

C.60°D.75°

【答案】B

【解析】由。〃b得(l-sin0)(l+sin6)=^,化简得1-sin?依^,sin26^,又。为锐角，所以sin族乎，0=45°,故选

B.

调研7设。^=(1,-2),OB={a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O为坐标原点，若/,B,C三点共线，则5+

植2的最小值是

A.2B.4

C.6D.8

【答案】D

【解析】解法一：由题意可得，04=(1)-2),OB=(a,-1),OC=(rb，0),所以方=砺—刀=0-1,1),

AC^OC-OA=(-b-\,2).又B,C三点共线，：.^4B//AC,即-bT尸0,，2a+Al,又

'.'a>0,人>0，•,•5+1=0/)(24+6)=4+0+系14+4=8,当且仅当今当即&=；*=；时，取“=”.故选D.

=

解法二：kAB~a।-，k/c__[)_]''B,C二点共线，所以kdB=k4c，即“_〔一।>2a~hb=l)所以公+

产F+中F+V表4+2用=8(当且仅当然,即〃=飙弓时，取5号)，注+蒯最小值是&

故选D.

运1犍「。运.♦,。.♦运…域.«®•*.<运.产51♦♦。运。一晦。：运；。鬣；：：莪•♦耳

☆技巧点拨☆

平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题,

且常见题型及求解策略如下：

1.利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为加

(2eR),然后结合其他条件列出关于％的方程，求出4的值后代入碗即可得到所求的向量.

2.利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若。=(%,乂)，8=(乙,外)，

则Q〃〜的充要条件是石为=%%”解题比较方便.

3.三点共线问题.A,B,C三点共线等价于方与衣共线.

4.利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求

解.

运飕.晨运.♦*°.*«.0<.«W运运。.♦■。•*«-0*.««•*.4

考点3平面向量的数量积及向量的应用

题组一平面向量数量积的运算

调研1设xCR,向量a=(l,x),b=(2,-4),且。〃>，则<rb=

A.-6B.VTo

C.小D.10

【答案】D

【解析】Va=(l,x),6=(2,-4),Ka//b,/.-4-2x=0,x=-2,a=(1,-2),a6=10,故选D.

调研2在△/BC中，48=4,N48c=30。，。是边8。上的一点，且N万・刀=N万・%,则而•在的值为

A.0B.-4

C.8D.4

【答案】D

【解析】由力•赤=瓦・彳？，得瓦・(万一衣)=0,即赤•赤=0,所以赤工赤，即AD1CB.又

AB=4,ZABC=30°,所以/Z>48sin30°=2,NB4D=60°,所以40•=/Z>/&cosN8ZZ>2x4x^=4,故选D.

运运>.♦*"♦—.，：<ja」.富运•二运。.♦f°•♦运<：：：冬•♦.目

☆技巧点拨☆

平面向量数量积的类型及求法：

1.平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a功=|。|他|cos6；二是坐标公式。包=玉工2+乂％.

2.求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

【注】(1)在平面向量数量积的运算中，不能从a力=0推出。=0或6=0成立.实际上由。力=0可推出以下四种结

论：①。=0,b=0；②a=0,后0；③a，0,b=0；④。#0,屏0,a\.b.

(2)实数运算满足消去律：若bc=ca,分0,则有b=a.在向量数量积的运算中，若。力=。,。(40),则不一定有

b=c.

(3)实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即不一定等于a(bc),这

是由于(a4>c表示一•个与c共线的向量，而a-(Zrc)表示一,个与a共线的向量，而c与a不一定共线.

8运.♦富。•♦运一7t.«簿:鬻运*.«蠹•♦.目

题组二平面向量数量积的应用

调研3已知向量a,b满足(2a-b)(a+方户6,且同=2,步|=1,则a与入的夹角为.

【答案造

,r1

【解析】,.,(2(1—万)，(。+，)=6,：.2Q2+Q力一)2=6,又同=2,.\ab=-i,/.cos(a,b)一|।.㈤一一.，・••伍与)的

.夹角为号.

调研4平面向量。=(1,2),6=(4,2),c=ma+b(m^R),且c与〃的夹角等于。与力的夹角，则〃?=

A.-2B.-1

C.1D.2

【答案】D

【解析】解法一：由c与a的夹角等于c与6的夹角，可设c=2(3+&=^4+(！咐.£1<),：c="?a+6,

解法二：c="?a+Z>=(，〃+4,2机+2),：c与a的夹角等于c与占的夹角，且向量夹角的取值范围是［0,用，

GCb'C

/.同.心「|。卜匕|，工2(〃.c)=b•。=2(阳+4+4m+4)=4m+16+4〃?+4=加=2.

运♦・,：«.二运。―・♦冬・。培.«蠹M♦产篇••。运°」*°.*冬」。冤.«★•♦蹲

☆技巧点拨☆

平面向量数量积主要有两个应用：

(1)求夹角的大小：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos。=’也(夹角公式)，所以平面向量

⑷网

的数量积可以用来解决有关角度的问题.

(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角

为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.

【注】在求△Z6C的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形/BC中，AB

与BC的夹角应为120。而不是60°.

8黑J运.♦富。•♦运…:璃.«强:鬻运延。..«蠹

题组三平面向量的模及其应用

调研5设向量mb满足|a+〃=7i5,ab=4,则|a-〃=

A.也B.273

C.2D.加

【答案】C

【解析】V\a+b\=y[20,ab=4,/.|a+Z>|2-|a-ft|2=4a-ft=16,/.\a-b\=2,选C.

调研6设e/2为单位向量，它们的夹角为$a=xei+ye2，Z>=xei-ye2(x,"R),若同川5,则步|的最小值为.

【答案】1

【解析】,单位向量e”©2的夹角为：，.、.多由同川L得(xei+ye2)2=3,即》2+“+哟3,①

则步F=(xei力©2尸二小+丁一叶，②

①+②得x2+J鸣出，

①-©得

又均，当且仅当口时“=”成立，，吗乂2・与比，解得网2多，因此，制的最小值为1.

运♦•:缰•♦。运。.♦*°•♦运.'o培.8莪•♦,冬♦产域.二运。.♦■。•♦运.0<.«鹰•♦虏

☆技巧点拨☆

利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、

填空题的形式呈现，具有一定的综合性，且平面向量的模及其应用的常见类型与解题策略如下：

(1)求向量的模.解决此类问题应注意模的计算公式|a|=J/=JIZ，或坐标公式|a|=G77的应用，另外

也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解.

(2)求模的最值或取值范围.解决此类问题通常有以下两种方法：

①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代

数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围.

（3）由向量的模求夹角.此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.

8SS.♦<o篇运程。.♦<°.<«.<■*«：­,.<

题组四平面向量的应用

调研7己知。是△Z8C所在平面内一点，且满足（前一0）•（丽—彳万）=0,则△ZBC是

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】A

【解析】设6。=d4。=4/8=。，则由（前一行）（而—而）=（万心-2）京=0,得前屈=声屈，

所以accos8=6ccos/，即acos8=bcos4利用余弦定理化简得廿二/，即好儿所以△4SC是等腰三角形.

（此题也可用正弦定理化简acosB=hcosA得sin（〃-8）=0,即力=8可得）

调研8已知△Z8C的外接圆的圆心为O,半径为I,若3%+4万+5灰=0,则△ZOC的面积为

A.1B.

36

C.而D-5

【答案】A

【解析】依题意得，（3宓+5定）2=（—4砺）2,90^+250e2+3O0^0e=160^，

3,,4

即34+30cosN4OC=16,则cosN4OC=-5，sinZAOC=y]1—cos2ZAOC=5,

1_._.2

所以△4OC的面积为51cM||。。|，//。。石，选A.

调研9已知向量a=（cos苧，sin苧），b=（—sin；,—cos?,其中工£兀.令函数於尸〃力，若c次x）恒成立，则

实数c的取值范围为

A.（1,+oo）B.（0,+oo）

C.（-1,+oo）D.（2,+oo）

【答案】A

3xx3xx

【解析】因为7（x）=a・b=-cos5sin5-sinTcos5=-sin2x,又忘2xW2兀，所以Tgsin2xW0,所以段）max=l.又。次x）恒成

立，所以C>/（X）max，即。>1.所以实数。的取值范围为（1，+8）.故选A.

运♦.**.。运.♦富。.♦运.,嗨.««­,.<运•w.jfdJ。露.=融篇

☆技巧点拨☆

1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可

以解决某些函数问题.

2.以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向

量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.

3.向量的两个作用：

(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；

(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

4.向量中有关最值问题的求解思路：

一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；

二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.

【注】常见的向量表示形式：

(1)重心.若点G是△Z8C的重心，则0+砺+前=0或方=；(方+而+斤)(其中P为平面内任意一

点).反之，若M+赤+前=0,则点G是△NBC的重心.

⑵垂心.若H是△Z8C的垂心，则且『丽=丽・布=万乙苏.反之，若山.丽=丽证=

HCHA,则点”是△ABC的垂心.

(3)内心.若点/是△/8C的内心，则|瑟卜万+|百卜而+|荏卜元=0.反之，^\'BC\1A+\CA\-

岳+|万卜元=0,则点/是△45C的内心.

(4)外心.若点。是△48C的外心，则(E+砺)历=(历+庆)•丽=(反+方)•就=0或

|次|=|砺|=|反之，若|方|=|砺|=|反则点。是△Z6C的外心.

凝.产富.V€域：：：耙•‘腐运城经•♦运域；"龈•

强化集H

1.(山东省淄博市部分学校2018届高三12月摸底考试)已知向量a=(—2,1)力=(1,0)，则向量。在向量〃上的

投影是

A.2B.1

C.-1D.-2

【答案】D

—2

【解析】向量a在向量力上的投影是Wa-b='=—2,选D.

2.（四川省绵阳市2018届高三（上）一诊）已知向量。=（x-1,2）,b=（x,1）,且。〃b,则a+〃=

A.V2B.2

C.2V2D.372

【答案】D

【解析】因为a"5,所以x-l-2x=0,解得x=-l,则a+5=（-2,2）+（Tl）=（T,3）,

+同=3~j2.故选D.

【名师点睛】利用平面向量的坐标形式判定向量共线或垂直是常见题型：

已知.=（三,M）,5=（电，内），则allbox1y2-^2%=0,aJ.5。不覆+必当=。.

3.（四川省广安、眉山2018届毕业班第一次诊断性考试）已知△Z8C是边长为1的等边三角形，点。在边8C

上，且BD=2Z>C,则在•而的值为

,V32

A.1--B.-

33

八4、出

C.一D.Id----

33

【答案】B

【解析】：△NBC是边长为1的等边三角形，且•.丽=；前，

.•.德・亚=刀•（而+而）=1毛+g刀•品=l+gxlxlx（-故选B.

4.（吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试）已知向量a和万的夹角为120°,且a=2"=4,则（2a-方卜。

等于

A.-4B.0

C.4D.12

【答案】D

【解析】••.向蚩0和5的夹角为120%且同=2：冏=4,

：.(2a-b)a=2a2-ab=2x2l-2x4x\-lj=12,故选D.

5.(吉林省普通中学2017-2018学年高三第二次调研测试)已知向量a=(百,l)R=(0,-l),c=(4,Ji),若

a-2方与c垂直，则左等于

A.2百B.2

C.-3D.1

【答案】C

【解析】a-26=(V3,3),所以麻+3JJ=O,得左=一3,故选C.

6.(湖北省襄阳市2018届高三1月调研)已知i与j为互相垂直的单位向量，a=i-2j,b=i+Aj,且a与占

的夹角为锐角，则实数％的取值范围是

A.12，|)u停+8)停+8)

C.(—oo,-2)Uf—

D.

【答案】c

【解析】由题得。=(1,-2)1=(1,2),因为它们的夹角为锐角，则05>0且a,》不共线，所以且

4w—2,故选C.

7.(广西南宁市2018届高三(上)9月摸底数学试卷)己知O是△48C内部一点，方+砺+0心=0,

万•元=2且NA4c=60。，则△O8C的面积为

V31

A.B.

32

c6C2

C.--D.一

23

【答案】A

【解析】；OA+OB+OC=Q,：.OA+OB=-OC,，。为三角形的重心,，△OBC的面积为△出，

面积的g,'：ABAC=2,：.|Ifi|■|JC|cosZBAC=2,：ZBAC=6Q°,.-.|LSfi|-|Lic|=4,AABC

的面积为:画.RgsinN54c=®.,.△03C的面积为坐，故选A.

【名师点睛】本题考查向量的平行四边形法则，向量的数量积公式及三角形的面积公式，特别注意已知。

是△45C内部一点，E+而+1=00。为三角形△,倜C的重心，以及灵活应用知识分析、解决

问题的能力和计算能力.

8.（河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测）如图，在△Z8C中，N为线段4c上靠近/的三等分

点，点P在8N上且万=[〃+2]前+2前，则实数〃?的值为

I11J11

A

上

1

A.1B.-

2

八95

C.—D.—

1111

【答案】D

—A_J

【解析】设丽=4丽=2(亦一方)=2祝一:=-AAB+JAC(O<A<1),

：.AP^AB+BP=(l-A)AB+^AC.

M_2

又=+—|A5+—5C=|w+—|X5+—(AC-AB^mAS+—AC,.*.<3-11，解得

InJiiInJir

m—1—/1

m——.选D.

11

9.（甘肃省张掖市2018届全市高三备考质量检测第一次考试）已知向量。=（2,-4）,6=（-3,-4）,则向量。与

b夹角的余弦值为.

【答案】—

ab-2x3+(-4)x(—4)-6+16y/5

【解析】8sqe>=,故答案为

720x7252^x5-5

【方法点睛】本题主要考查向量的坐标表示及平面向量数量积公式，属于中档题一平面向量数量积公式有

两种形式，一是“修=同同85。，二是。小;再为+刈内，应用主要有以下几个方面：（1）求向量的

夹角，85。=黑（此时往往用坐标形式求解）：（2）求投影，。在5上的投影是萼；（3）若向

量a,5垂直，则。-5=0;（4）求向量ma+泌的模（平方后需求a」）.

10.（湖北省襄阳市2018届高三1月调研）已知两个不共线向量。疝砺的夹角为0M.N分别为线段04、08

的中点，点C在直线A/N上，且双=*夕+>砺（x,yeR）,贝U+r的最小值为.

【答案】-

8

【解析】因为C,〃,N三点共线，所以反=/而+（17）丽=£9+七三砺，

所以x==x+y=-,*2+必表示原点与直线x+y—』=0上的点的距离的平方，它的最小值

04-0—

一,故填一.

【名师点睛】在向量中，如果C,",N三点共线，则灰=/西+（1—。丽，注意两，而前面的系数和

为1,在解题时注意应用这个结论.

11.（河南省溪河市高级中学2018届高三上学期第四次模拟考试（12月））在平面直角坐标系xQy中，角a的顶

点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点。，且ae(o,7t)，点E的坐标为(-1,6).

(1)若无，而，求点。的坐标；

(2)若砺=/历。＞0),且在△Z8C中，角Z,B,C的对边分别为a,b,c,2B=a,b=G，

求a+c的最大值.

【答案】(1)f—(2)2vL

122)

【解析】(1)由题意，赤二(-1,招)，4=(8s%sina),

因为砺_L彷，

所以OEOD=—cosa+j3sina=0,即tana=卫•.

3

又aw(Ol),

所以女=工cosa=—,sina=L

622

所以点D的坐标为

••_•一一._

（2〉由。E=山。4>0）知，向量OEQD同向平行,

易知直线。后的倾斜角为不，

所以a=生=25,即5=色.

33

由正弦定理得?==2,即。=2sinJ,c=2sinC,

sinAsin5sinC

/乳AT

所以a