电磁学等多个文件高级讲义力学专题

第1 运动一、运动的描述： r r 二、几种坐标系中的运动描述：直角坐标系： r(x，y，z)xiyj→→xiˆyˆjzkˆ，→→xiˆyˆjzkˆ 自然坐标系：ˆ：切向单位矢量，沿轨道切线并指向s增加的vvˆs→ an

a an a

d※极坐标系： rrervrerre，即ar ，即

r2r

1r

(r2三、运动的约束条件：速度的约束：④若两点在几何约束下位置始终满足x1＝kx2x1kx2，即加速度的约束：四、典型例题：k为常量，求当物体通过位移s0时的【例2】从离地面高20m、相距10m的两处同时各抛出一个石块，一个以3m/s的速度竖直上4m/s的速度向第一个石块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程4】如图所示，从A点以v0的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵高度水平面作匀速直线运动，如图所示．当棒与地面夹角为θ时，试求：7】图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图．AB和CD杆可【例8】犯的船沿与笔直的海岸线垂直方向以恒定速度v出发，海岸队的快艇在距离船a处同时离开海岸．快艇始终以恒定速度朝船驶去，最终在距离海岸线为a 第2 动力一、运动定律：第一定律：第二定律：比，加速度的方向与合力的方向相同，其数学表达式为:⇀ ⇀ 对于平面极坐标系，设平面极坐标 r、φ，则有径向和横向方程分别为FrarFφmaφ av2alimvr为圆轨道的半径． t0 r'rVt,t' r,r其中⇀⇀分别是物体相对于惯性参考系SS′中某点的位矢，V是惯性参考系Sr,r第三定律：非惯性参考系：0学定律与惯性参考系中的动力学定律具有相同的形式．在相对于惯性参考系作匀加速⇀ 0F．即惯性力的大小与质点的质量和非惯性参考系的加速度成正比，方向与二、力：摩擦力：fkkNk称为滑动摩擦系数，NfssN，万有引力和重力：和B的质量分别为mA和mB，由A指向B的矢⇀rAB，它的大小rAB也即是两个质点之间的距

⇀

AB．类似地，B对A的万有引 mAmB⇀ FAG rBAG 重力是物体在地球表面附近所受到的地球的引力．对质量为mR2R2e弹力：三、质点的动量，动量定理与动量守恒定律动量与动量定理：

t0 ~f对一个具体的力学过程，由上式可得~f

~t

t ⇀，其中t和t是过程 t0 t 动量守恒：~1】在光滑的水平桌面上有m的小C车上有质量4mm的立方AB，它们与小车表面之间的摩擦系数µ＝0.5．今用一恒力F沿水平方向作用在滑AB、C始沿墙滑下，杆B端的速度恒为v，求当杆和墙成α角时，杆对C的作用力．4AAam的BC处的定滑轮（滑轮的质量可以忽略，CA在同一水平线上，握住绳的自由端，以恒定的速率v收绳，当绳收至图示位置时（B两边的绳与水平线夹A始终未发生移动，则木块与地面之间的静摩擦系数µ至少为多大?（设A不会发生转动）和绳子的质量不计，绳子AB部分水平，不考虑所有的摩擦，求楔形体的加速度．8】在一体积为V，质量为M的铁盒里有一个阿特伍德机，已知两物体的质量分别为m1第3 静力一、静力平衡：定义：力系：二、平衡条件：共点力系：

i平面力系： Fix0,Fy Fiy0 i B，C不能在同一条直线上．空间力系：三、平衡的类型：四、刚体的平衡：基本原理：力的可传性原理一对平衡力不改变刚体的运动状态．力系的简化：共点力系的简化：平行力系的简化：已给两个平行F1F2，则其合F的作用线也与它们平行并F1F1F2的作用F1与F2方向相反，则合力F在F1F1与F2中较大一力的外侧，其与F1、F2的距离反比于F1与F2的大小；F的指向与较大的一力的指向相同，大小为F1与F2的大小之差．可F沿其作用线滑移，使它的作用点正好落于F1F2的作用点的联线上．③如F1F2的方向相反，但作用线不重合且大小相等，即构成所谓的力偶．力偶的一般力系的简化①确定力的简化中心．将力系中的各力F1F2F3…的作用点依次平移至简化中心，然⇀ Fi=F，这个F称为主矢．注意，主矢不是合力i②求出各力对简化中心的力矩M1、M2、M3…，再由平行四边形法则求出这些力矩的 和， Mi=M这个M称为主矩i不能平动，也不能转动，故刚体平衡的条件是主矢和主矩均等于零，即F0,M0.碗内，一端在碗外，斜靠在碗缘．求平衡时棒与水平面的夹角θ．

3间的动摩擦系数为μ，当θ＝θ0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动ρ，直杆与地面夹角为θ，圆环半径为R，所有的接触点的摩擦力足够大．求：【例6】有一长为l，重为W0的均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与间的静WPB点之间任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏．求出这一P点与A点的距离．【例7】有一半径为R的圆柱体水平地横架在空中，有质量m1与m2（m1＝2m2）的两系数μ＜1，细线无质量柔软且不可伸长，系统横跨在圆柱上，m1在右边，细线贴在圆柱面2πb，b＝ak（M、R、g表示，g为重力加速；设k＝Mg/(2π2R)，求绳圈的最后平衡位置及长度第4 能量和动功和一、功和功率：

s2

t2⇀

t2Pdt，PF111tF所做的功的一般表达形式为：W111t

Fds

F 在t～tFPW t2t二、质点动能与质点动能定理

s2

⇀

F

可得W

F⇀2mdv⇀

mv

mv

mv 定义E1mv2称为质点的动能，则有W E称为质点的动能定理 三、势能：

k “保守力”与“耗散力”：势能能．规定保守力所做功等于势能变化的负值，即WCFEp．常见的几种势能：重力势能：弹簧的弹性势能

1kx22引力势能：

GMmr四、机械能与机械能守恒定律：质点组的动能定理：对于质点组，其动能定理表达为：W外+W内=Ek2Ek1，其中Ek为质点组总动能：E1mv22 i2i功能原理：W内=W+W非保=W非保Ep1Ep2，于是得到：W外+W非保=(Ek2Ep2Ek1Ep1E2E1EEkEp称为系统的机械能．外力的功和非保守力内力所做功之和等于系统机械能守恒定律：若外力的与非保守内力的功之和为零时，即W外+W非保＝0，则系统机械能守恒，这就是冲量和动量一、动量定理： 单个质 t 2Fdt⇀⇀，即合外力冲量等于动量的变化量Fdp 质点系：

线，且同时产生、同时，作用时间一致，质点系所有外力的总冲量和等于质点系总动~~量的变化I外p~二、动量守恒定律：~

~~

p过绳子对活塞缓慢向上移动．已知管筒半径r＝0.100mR＝2r，水的密度ρ＝1.00×103kg/m3，大气压p0＝1.00×105Pa，求活塞上升h＝9.00m的过程中拉力F所做的度【例2】在光滑的水平面上，有一质量为M的平板小车正以速度v向右运动，如图所示，现m的木块无初速地放在小车上，由于木板与小车间的摩擦力作用，小车的速度Fv共同向右运动，设木块和小车间的动摩擦因数为μ，求在上述过程中，水平恒力F对小车做的功．及此时小球2的速度．4】如图，质量为m3的木块平放在地面上，通过劲度系数为k的竖直轻弹簧与质量为m2的木块相连，达到平衡．质量为m1的小球从距m2为h的高处静止下落，与m2作完5】如图所示，质量线密度为λ的均匀软绳放在水平台面上，用手将绳的一端以速度【例6】如质量均为m的质度相同且不可伸长的轻绳连接成菱形∠BAD＝2α，静止放在水平光滑桌面上．若突然给质点A一个沿CA方向的冲击，当冲击结束时，质A的速度V（水平向左，其他质点也获得一定的速度．求冲击结束后，系统的总7】如图所示，一个质量为mA的半圆形槽A原来静止在水平面上，圆形槽半径为R．将【例8】如图所示，两根长度均为l的刚性轻质细杆，一端用质量为m的球形铰链相连，两杆另一端分别固定质量为m和2m的小球．开始时两杆并拢，铰链球朝上竖直放置在光滑桌面第5 质心与碰I．质心一、质心的概念：定义质心位矢⇀ i i

．

二、质心速度与加速度：p= ⇀，其中⇀p= ~lim

rCdrCt0 Fdp

vC

．．三、质心参考系：质心参考系：Cr i Cr i C

iiviCv i Ci各质点相对于质心的速度 viCv i Ci

质心系中质点组的动能质心系中内外力所做的总功等于该参考系系统动能的增加，即

(Ff) d(mv) mi 2i定理：质点组的总动能等于质心的动能与各质点相对质心运动的动能之和mE1Mv2 m 2iII．碰撞一、两体碰撞的基本理论：

m m E1Mv21mv21Mv21u2m1m2 2i mm u⇀⇀为相对速度的v1二、正碰：正碰的规律：对于正碰，恢复系数为eu'，其中u＝v2－v1、u'＝v2'－v1'为碰撞前后两质点相对速uvm1em2v(1e)m2v，v(1e)m1vem1m2 m m m m v

m1v1m2v2

euv eu m m m v

m1v1m2v2

euv eu m m m r (rr) u； (rr) u m

m1

m1

m1vev eu；vev eum m1正碰的分类：

m1m

弹性碰撞：m1m2，则v1v2v2v1，即m1、m2交换④质心系里，两物体碰撞后，各自以一同速率反方向离开v1Cv1Cv2Cv2C完全非弹性碰撞vvvm1v1m2v21u2．m m1

一般非弹性碰撞：两物碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰．设两物间的恢复系数为e，设碰撞前m1、速度为分别为v1、v2，其法向、切向分量分别为v1n、v2n、v1t、v2t，碰后分离速度v1'、法向、切向速度分量v1n'、v2n'、v1t'、v'法向：e 1nv1n切向全长为l．试证明：下落过程中地面所受压力等于已经落在地面上的绳子重力的3倍．4】如图，质量分别为m1和m2的两木块用劲度系数为k的弹簧相连，静止地放在光滑地木块m2【 5】如图，在光滑地面上静止地放着质量为m的箱子．在箱内光滑的底面上，质量也对速度大小变为该次碰撞前的e倍，e 【例7】如图，均匀圆环静止放置在光滑水平桌面上，圆环质量为M，半径为R，一质量为m的小球（可看作质点）vH射入环内．小球与环内壁作完全弹第6 角动量与刚r

(mv

质点组的角动量 i力矩角动量定理：体上的外力对同一参考点（或轴线）的力矩．limL角动量守恒定律：

t0 该点来讲，物体的角动量L是一守恒量，这称为角动量守恒定律．质心系角动量定理

CM外CriCFiLCriCmiviCm1、m2连线始终过质心，若m1绕质心作 转动，则m2也必绕质心旋转．两体角动量：Lr2dLId，m1m2称为约化 mICr2刚体的转动一、角速度矢量

角速度：大小为lim t0

和limd．t0 速度与角速度的关系：如图所示，对于刚体上某一点P，有：⇀ vr,adv

r,ar2 二、转动惯量： 相对轴的转动惯量为：Ir2dmr2 常见刚体的转动惯量：

mr2iiI1I13II12I12I14I25I23平行轴定理：存在一于c轴平行的转轴（a轴，其与c轴的距离为d．则过a轴的转动惯量为IaIcMd2．三、刚体定轴转动的角动量和动能：

1I22定理：刚体的总动能可表示成质心的平动动能和刚体绕质心的转动动能之和：E1mv21I2 2摆球相对圆运动中心点O1的角动量L1是否为守恒量摆球相对于悬挂点O2的角动量L2RmA处，如图所示．由于微小扰动，小球向【例3】一杂技演员M由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端的Nlm′C在竖直mM落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．问演员N可弹起多高？【例4】汽车在后轮的推动下，以加速度a在地面上沿直线前进．已知汽车前轮与后轮的间距为2l，质心位于前后轮的，离地高度为h，后轮与地面的摩擦系数为μ，前轮为非驱动轮，与地面的摩擦可忽略．试问：μ至少为多大时，后轮不致打滑？【例5】质量均为m的三个小球置于光滑水平桌面上，并用长为l的轻质刚性杆AB，BC光滑连接，B处可视为铰链，∠ABC＝π－α，其中α＜π/2．已知整个系统在桌面上以速度v沿ABCAB的竖直、光滑、完全非弹性固定壁【例6】如图，质量忽略不计，长度为2l的细棒的水平放置在桌面上，一段由无摩擦的转轴固 ll7】一质m、长L的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动．杆在水平状态由静止开始下摆，试求当杆摆至与水平方向成θ角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力．重力加速度大小为g．8RMAh高度滚下，与粗第7 万有引力与天体运万有引力一、万有引力定律：如果两个物体中一个物体的质量（设为M）远远大于另一个物体的质量（设为m），即ˆ Mm MmˆFG rG 二、万有引力场中运动物体的守恒定律：Fm对力心的角动量守恒．m的角动量垂直于由其位r和其动p确定的平面，于是由角动量守恒可m在平面内运动．另r21mv2GMm常量r2 Lrmv常量三、均匀球壳和均匀球的引力场：均匀空心球壳（设其质量为M，半径为 Mm rF

0.(rGMm,(r pGMm.(r 均匀实心球体（设其质量为M，半径为体的质量集中于球心时对m的万有引力；

GMm

,(~ r2r F MmrG

GMm,(r p

.(r 天体运动的规律一、勒行星运动定律1.勒第一定律（轨道定律所有行星围绕运动的轨道都是椭圆，处在椭圆的一个焦点上轨道方程写为x2

1(ab0)，a，b分别为椭圆的半长轴和半短轴，半焦距 c 2.勒第二定律（面积定律和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积．扫过的面积称为掠面速度，记为ΔA/Δt，它与行星对的角动量的大小L的关系L2mlimAt03.勒第三定律（周期定律所有行星的轨道的半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等．x2

1(ab0)，a、bE

,b

a2二、一般天体运动的轨道及其特征： ．1e（2）e为离心率，定义为ec．0＜e＜1对应椭圆；e＝1对应抛物线；e＞1a对于椭圆，p为极点（左焦点）pc

c对于双曲线，ppca2c三、三个宇宙速度与变轨问题：第一宇宙速度v1（环绕速度）：物体环绕地球作半径RE（地球半径）的圆周运动所需的最小发射速度，即M m1．根据M6.01024kg和R6.4103km，有v 7.9km/s 第二宇宙速度v2（逃逸速度）：1

G 0，即：v 2v11.2km/s MER RE第三宇宙速度v316.4km/s地球同步 R星．设 距地心的距离为Rc，有GMEmm2R，其中ω0为地球的自转角速度．由R 0cGM gR2 得到：Rc

2E

4.22104km，高度离地面的高度为h＝RcRE变轨问题：

0 0【例1】如图所示，沿地球表面与竖直方向成α角的方向，发射一质量为m的，其初速度v0 ，M为地球质量，R为地球半径．忽略空气阻力和地球自转的影响，求1.50×1011m，引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，质量mS＝1.99×1030kg，试求P到S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示＝100km，地球绕公转的周期T＝3×107s，地球表面处的重力加速度点与AO垂直．设喷气相对飞船的速度为u＝1.00×104m/s，已知月球半径为R＝1700km，月球表面的8nRm/M为何值时，飞船绕地球运行【例6（第三宇宙速度的求解）从地球发射一宇宙飞行体，要使其脱离系，至少需要多大发射速度？已知在系中，飞行器的逃逸速度为42.2km/s，地球的公转速度为第8 振动和机械振动一、简谐运动：简写运动的方程：对于弹簧振子Fkxmx令2k，则：x2x0，其通xAcos(tm0简谐运动的基本参数：v Asin(t0)，vm a 2Acos(t)，a2 参考圆：如图所示，设有一质点在参考圆上以角速度圆周运动，它在开始时与O的连线跟x轴夹角为0，那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟x轴的夹角就成为t0，它在xxAcos(t0，参考圆上的质点的线速度为A，其方向与参考圆相切，00简谐运动的能量：E1mv21mA22sin2t) E1kx21kA2cos2tEEE1m2A21kA2 二、简谐运动的判定：动力学判定：受力（回复力）Fkx，即kxmx，则物体做简谐运动，周期T2运动学判定：x＝Acos(ωt＋φ)，则物体做简谐运动，周期T2能量判定： 具有形式为1kx2的势能，且1mx21kx2E（常数则物 做简谐运动，周期T 三、简谐运动的合成同方向振动、同频率的两个简谐振动的合成：x1(t)A1cos(t10)，x2(t)A2cos(t20xAcos(t0 1 A A2A2 1 tanA1sin10A2sin20 AcosA x1Acos(1t)x2Acos(2t)，xx1x2可得x2Acos(21)tcos(21t) 当21时2121A(t2Acos(21)tt缓变，cos(21tt次数为：

2

同频率相互垂直的两个简谐振动的合成——图形：x2y2 cos( 2A A 1)sin( 1

2 （1）当212k2（k为整数）时，A A 0，得

A1 （2）当 时，

y 21(2k1) A A可见，当

或3 四、阻尼振动和受迫振动：阻尼振动（定性了解frvx，称为阻力系00

，

阻尼情况下（02xAetcos(t)，2 受迫振动： 机械一、横波与纵波： 二、波动方程：简谐波的图象其中，y的大小称为波幅，波幅最大的地方称为波峰，是波速．x轴上的每一点都做简谐振动，振动频率均为f．、v，f三者满足关系式：vf T波动方程yAcos(tx Acos(tkx)，其中k2称 0 yAcos(tkx0)三、波的叠加和波的叠加原理：从两个独立波源S1、S2出发的两列波相遇于P点，则P点的位移为各列波单独时在波的现象如图所示，设S1、S2在P点产y1A1cos(tk1r110)A1cos(t1)y2A2cos(tk2r220)A2cos(t2Py A2A22AAcos()cos(t

2)Acos(t) 1 A