拉普拉斯变换连续时间

拉普拉斯变换连续时间第1页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.2单边拉普拉斯变换的定义、收敛域1.从傅里叶变换到单边拉普拉斯变换

信号f(t)若满足绝对可积条件，则其傅里叶变换一定存在。反之其傅里叶变换不一定存在。如信号u(t)在引入冲激函数后其傅里叶变换存在，而信号的傅里叶变换不存在。若给乘以衰减因子，信号,满足绝对可积条件，则其傅里叶变换存在。第2页，共149页，2023年，2月20日，星期五令则双边拉氏变换：拉氏逆变换：第3页，共149页，2023年，2月20日，星期五

对于某些非因果信号，其单边拉氏变换也从0-时刻开始的，所以f(t)的单边拉氏变换可以理解为f(t)u(t-0-)的单边拉氏变换。单边拉氏变换与傅氏的区别：傅氏变换将时域函数f(t)变换为频率函数F(ω)，t和ω都是实数；拉氏变换将时间函数f(t)变换为复变函数F(s)，s为复数也称作“复频率”。ω只能描述振荡的频率，s不仅能给出振荡频率，还可以表示振荡幅度的变化。

多数情况下f(t)为因果信号，所以拉氏变换的积分下限为0，又因为很多情况下

f(t)在0时刻前后会发生跳变，即f(0-)≠f(0+)，为便于研究在t=0时刻发生跳变的现象，规定单边拉氏变换的积分下限从0-开始，即：－－－单边拉氏变换第4页，共149页，2023年，2月20日，星期五2.单边拉氏变换的收敛域若则σ0叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收敛区，收敛区不包括收敛轴。

第5页，共149页，2023年，2月20日，星期五

时间有限信号，能量有限信号的拉氏变换一定存在，因此这类信号在整个复平面上都收敛，即收敛轴为－∞。对于比指数函数增长更快的函数，其单边拉氏变换不存在，但若把这类信号限定在有限时间范围内，可以进行拉氏变换。第6页，共149页，2023年，2月20日，星期五3.常用信号的单边拉氏变换阶跃函数冲激函数(3)指数信号第7页，共149页，2023年，2月20日，星期五第8页，共149页，2023年，2月20日，星期五依此类推证明：(4)tn

(n为正整数)第9页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.3单边拉氏变换的性质1.线性若则2.时移若则证明：第10页，共149页，2023年，2月20日，星期五例求f1(t)=sinωtu(t)，f2(t)=sinω(t-t0)u(t)；f3(t)=sinωtu(t-t0)；f4(t)=sinω(t-t0)u(t-t0)的拉氏变换。

第11页，共149页，2023年，2月20日，星期五解

：f1(t)、f4(t)可以直接用公式：第12页，共149页，2023年，2月20日，星期五例

f(t)如图所示，求其拉氏变换解

：令第13页，共149页，2023年，2月20日，星期五3.频移若则

证明:同理第14页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.尺度变换若则

证明:第15页，共149页，2023年，2月20日，星期五5.时域微分若则第16页，共149页，2023年，2月20日，星期五同理,令，则证明:依此类推，可得第17页，共149页，2023年，2月20日，星期五例:求的单边拉氏变换解第18页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知求的单边拉氏变换解二：解一：采用0-系统第19页，共149页，2023年，2月20日，星期五

当在t=0点有冲激信号时，采用0+和0-系统求得的单边拉氏变换是不同的。为不使t=0点的冲激信号丢失，单边拉氏变换一般采用0-系统。若采用0+系统，则第20页，共149页，2023年，2月20日，星期五注：因果信号与非因果信号的单边拉氏变换可能是不同的因果非因果因果非因果f2(t)在0点不连续f2(t)在0点连续第21页，共149页，2023年，2月20日，星期五例求f(t)的单边拉氏变换解一：解二：第22页，共149页，2023年，2月20日，星期五6.复频域微分若则

证明：

推广至复频域的高阶导数

第23页，共149页，2023年，2月20日，星期五例:求的单边拉氏变换解第24页，共149页，2023年，2月20日，星期五7.时域积分若则

证明:

所以第25页，共149页，2023年，2月20日，星期五例求f(t)的单边拉氏变换解第26页，共149页，2023年，2月20日，星期五8.复频域积分若则注：此性质要求t=0时f(t)=0，且存在

证明:第27页，共149页，2023年，2月20日，星期五例:求的单边拉氏变换解第28页，共149页，2023年，2月20日，星期五9.周期信号的单边拉氏变换。解

令f1(t)表示f(t)第一周期，则第29页，共149页，2023年，2月20日，星期五例

已知，求F(s)

解第30页，共149页，2023年，2月20日，星期五

例求图示周期半波整流波形的单边拉氏变换

解一:f(t)的第一个周期可表示为第31页，共149页，2023年，2月20日，星期五解二：半波整流波形第一周期的波形可由两个波形叠加，即第32页，共149页，2023年，2月20日，星期五10.初值定理若f(t)及可进行拉氏变换,且则

证明:第33页，共149页，2023年，2月20日，星期五注：无论采用0-还是0+系统，初值都是f(t)在t＝0+

时刻的值。如果F(s)是有理代数式，必须是真分式，即分子的阶次应低于分母的阶次。如果F(s)不是真分式，则应利用长除法，使F(s)出现真分式项F0(s)：证明：设F(s)长除后为冲激函数及其各阶导数在t＝0+

时刻全为0，于是第34页，共149页，2023年，2月20日，星期五11.终值定理若f(t)及可进行拉氏变换,且则

函数存在终值的条件是F(s)的所有极点在s平面的左半面，F(s)可以有在原点处的单极点。

证明:由第35页，共149页，2023年，2月20日，星期五例(1)(2)第36页，共149页，2023年，2月20日，星期五

(3)(4)

F(s)的极点位于右半平面，因而终值不存在F(s)的一阶极点位于原点和虚轴的处，因而终值不存在。第37页，共149页，2023年，2月20日，星期五12.卷积定理若则

证明:第38页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.4拉普拉斯逆变换

单边拉氏变换只考虑t≥0的时间函数，若已知拉氏变换F(s)及其收敛域，则逆变换式f(t)只有在t≥0时表达式被唯一确定。对于t<0的表达式，若收敛域包括∞，f(t)＝0；若收敛域不包括∞，f(t)不定。1.部分分式分解含有高阶导数的线性、常系数微分方程经拉氏变换后变为两个s的多项式之比，称为s的有理分式：第39页，共149页，2023年，2月20日，星期五(1)F(s)只具有单极点m<n则第40页，共149页，2023年，2月20日，星期五

例已知 ，求F(s)的单边拉氏逆变换解第41页，共149页，2023年，2月20日，星期五m≥n

当m≥n时，利用长除法将分子多项式的高次项提出，对余下的m′<n部分处理同上。对提取的sr部分（0≤r≤m-m′），利用微分性质：第42页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知函数

，求原函数f(t)。

解

第43页，共149页，2023年，2月20日，星期五(2)F(s)有重极点m<n其中,s=p1是F(s)的k阶极点,由F(s)可展开为式中,是展开式中与极点p1无关的部分。第44页，共149页，2023年，2月20日，星期五第45页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知，求F(s)的单边拉氏逆变换。解第46页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知，求F(s)的单边拉氏逆变换。解第47页，共149页，2023年，2月20日，星期五(3)F(s)有复极点

第48页，共149页，2023年，2月20日，星期五令K1=A+jB，K2=A-jB

设分子s多项式的系数为实数，则第49页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知，求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。

解第50页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知，求F(s)的单边拉氏逆变换f(t)。解第51页，共149页，2023年，2月20日，星期五例解第52页，共149页，2023年，2月20日，星期五2.通分法m<n第53页，共149页，2023年，2月20日，星期五(2)例(1)第54页，共149页，2023年，2月20日，星期五3.留数法若pi为一阶极点若pi为k阶极点第55页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知，求F(s)的单边拉氏逆变换。解第56页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.5用单边拉氏变换法分析电路、s域元件模型用拉氏变换求解线性微分方程，可以把对时域求解微分方程的过程，转变为在复频域中求解代数方程的过程，再经拉氏反变换得到方程的时域解。例

t=0以前，开关位于“1”，电路处于稳定状态，t=0时刻，开关转至“2”，写出i(t)及其一阶导数在t=0-、t=0+时刻的值，并求响应i(t)。第57页，共149页，2023年，2月20日，星期五解一第58页，共149页，2023年，2月20日，星期五解二第59页，共149页，2023年，2月20日，星期五例

t=0以前，开关位于“1”，电路处于稳定状态，t=0时刻，开关转至“2”，并求响应vo(t)。解一采用0-系统第60页，共149页，2023年，2月20日，星期五因此，此题实际上采用的是0+系统第61页，共149页，2023年，2月20日，星期五解二采用0+系统第62页，共149页，2023年，2月20日，星期五第63页，共149页，2023年，2月20日，星期五若采用0-

系统因此，当0-和0+时刻电路的参数不同时，不能用一个方程对系统进行描述，采用0-系统解微分方程会产生错误，此时应采用0+系统。第64页，共149页，2023年，2月20日，星期五例

t=0以前，开关位于“1”，电路处于稳定状态，t=0时刻，开关转至“2”，并求响应vo(t)。解第65页，共149页，2023年，2月20日，星期五第66页，共149页，2023年，2月20日，星期五例

给定系统微分方程已知激励信号对应的响应求系统的起始状态、，及系统的零输入响应、零状态响应。解第67页，共149页，2023年，2月20日，星期五第68页，共149页，2023年，2月20日，星期五R、L、C元件的s域模型

设R,L,C元件的时域电压电流参考方向关联

第69页，共149页，2023年，2月20日，星期五第70页，共149页，2023年，2月20日，星期五若R,L,C元件的时域电压电流参考方向非关联

第71页，共149页，2023年，2月20日，星期五第72页，共149页，2023年，2月20日，星期五例电路如图,已知e(t)=10V；vC(0-)=-5V，iL(0-)=4A，求i1(t)。解列网孔方程：

第73页，共149页，2023年，2月20日，星期五第74页，共149页，2023年，2月20日，星期五(1)零状态响应，vC(0-)=iL(0-)=0第75页，共149页，2023年，2月20日，星期五(2)零输入响应，e(t)=0第76页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.6系统函数H(s)

系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比（冲激响应的拉氏变换）叫做“系统函数”

若R(s)与E(s)位于同一端口，H(s)称为“策动点函数”或“驱动点函数”；若R(s)与E(s)不在同一端口，则H(s)称为“转移函数”第77页，共149页，2023年，2月20日，星期五对于一个网络，可以列写网络的节点或网孔方程：若仅当n=j时Ej(s)≠0，则第78页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知所有电容都为1F，所有电阻都为1Ω，求解第79页，共149页，2023年，2月20日，星期五第80页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.7H(s)零、极点分布与时域特性、稳定性的关系

H(s)的零点在复平面上用“○”表示，极点用“×”表示，在同一位置画两个相同符号表示二阶。1.H(s)零、极点分布与h(t)波形特征的对应关系

H(s)与h(t)是一对拉氏变换对,只要知道H(s)的零、极点在s平面上分布情况，就可以知道h(t)的变化规律。H(s)极点分布与阶次决定h(t)波形(1)H(s)的极点位于s左半平面第81页，共149页，2023年，2月20日，星期五(2)H(s)的极点位于右半平面(3)H(s)的极点位于原点第82页，共149页，2023年，2月20日，星期五(6)H(s)的极点位于虚轴

由以上各式可以看出，H(s)的全部极点位于左半平面，则h(t)的波形为衰减形式；若H(s)有极点位于右半平面，则h(t)的波形为增长形式；虚轴上的一阶极点对应的h(t)波形成等幅振荡、阶跃函数或冲激串形式；虚轴上的二阶极点对应的h(t)波形成增长形式。第83页，共149页，2023年，2月20日，星期五H(s)的零点分布情况影响h(t)的相位和幅度，零点阶次的变化不但影响h(t)的相位和幅度，还可能使时域波形出现冲激函数。第84页，共149页，2023年，2月20日，星期五2.

H(s)

、E(s)极点分布与自由响应、强迫响应的对应关系自由响应强迫响应第85页，共149页，2023年，2月20日，星期五

由系统函数H(s)

的极点pi决定的响应称为“自由响应”，由激励函数E(s)的极点pk决定的响应称为“强迫响应”，但pi和pk只能决定“自由响应”和“强迫响应”的形式，其系数Ki和Kk由H(s)和

E(s)共同决定。对于方程组，定义系统行列式Δ的根为系统的“固有频率（自由频率）”，Δ位于H(s)

的分母，所以H(s)

的极点pi都是系统的固有频率，对应自由响应。

H(s)

的零、极点可能相消，被消去的固有频率将不存在，而零输入响应要求表现出全部固有频率，所以H(s)

只适用于研究零状态响应，不适于研究零输入响应。第86页，共149页，2023年，2月20日，星期五例电感与电容的初始储能为iL(0-)和vC(0-)，输入为i(t)，输出为

iL(t)，求系统函数，零输入响应与零状态响应。第87页，共149页，2023年，2月20日，星期五第88页，共149页，2023年，2月20日，星期五3.暂态（瞬态）响应与稳态响应暂态响应指激励接入后，完全响应中暂时出现的部分，随着t的增加，暂态响应最终趋于0。稳态响应是完全响应中减去暂态响应的剩余部分，稳态响应不随t的增加而消失。暂态响应、稳态响应与自由响应、强迫响应的关系H(s)极点左半平面——自由响应（衰减）——暂态响应右半平面——自由响应（增长）虚轴——自由响应（等幅振荡、增长）——稳态响应｛E(s)极点左半平面——强迫响应（衰减）——暂态响应右半平面——强迫响应（增长）虚轴——强迫响应（等幅振荡、增长）——稳态响应｛第89页，共149页，2023年，2月20日，星期五例若激励信号v1(t)=10sintu(t)，求响应v3(t)并指出自由响应、强迫响应、暂态响应和稳态响应。解第90页，共149页，2023年，2月20日，星期五自由、暂态强迫、稳态第91页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.8由系统函数零、极点分布决定频响特性“频响特性”指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信号频率的变化情况，包括“幅频特性”和“相频特性”两个方面。第92页，共149页，2023年，2月20日，星期五令第93页，共149页，2023年，2月20日，星期五若则——幅频特性——相频特性第94页，共149页，2023年，2月20日，星期五设第95页，共149页，2023年，2月20日，星期五例求所示RC高通滤波网络的频响特性。第96页，共149页，2023年，2月20日，星期五第97页，共149页，2023年，2月20日，星期五例求所示RC低通滤波网络的频响特性。第98页，共149页，2023年，2月20日，星期五例设图中运算放大器输入阻抗为∞，输出阻抗为0，(1)求系统函数H(s)第99页，共149页，2023年，2月20日，星期五(2)若系统稳定，求放大系数K的范围；在边界稳定时，求冲激响应h(t)系统稳定时，H(s)分母各项系数大于0边界稳定时K＝3第100页，共149页，2023年，2月20日，星期五(3)若K=1，分析其频率特性第101页，共149页，2023年，2月20日，星期五第102页，共149页，2023年，2月20日，星期五(4)若运算放大器开环（断开反馈电容C），K=1，比较闭环与开环的滤波特性第103页，共149页，2023年，2月20日，星期五

对比发现，接入正反馈后可使滤波器的带宽增加，过渡带减小，性能得到提高。第104页，共149页，2023年，2月20日，星期五例求所示二阶RC系统的频响特性，其中R1C1<<R2C2

。第105页，共149页，2023年，2月20日，星期五第106页，共149页，2023年，2月20日，星期五

较低时，，，，，，，起主要作用，系统呈高通特性。第107页，共149页，2023年，2月20日，星期五

较高时，，，，起主要作用，系统呈低通特性。第108页，共149页，2023年，2月20日，星期五

处于中间频率时，，

，，第109页，共149页，2023年，2月20日，星期五第110页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.9二阶谐振系统的s平面分析谐振频率第111页，共149页，2023年，2月20日，星期五令第112页，共149页，2023年，2月20日，星期五(1)第113页，共149页，2023年，2月20日，星期五(2)第114页，共149页，2023年，2月20日，星期五(3)第115页，共149页，2023年，2月20日，星期五(4)第116页，共149页，2023年，2月20日，星期五第117页，共149页，2023年，2月20日，星期五对于高Q（Q≥10）情况，，p1，p2非常靠近虚轴，当位于附近时第118页，共149页，2023年，2月20日，星期五第119页，共149页，2023年，2月20日，星期五第120页，共149页，2023年，2月20日，星期五令例分析下图的幅频与相频特性解第121页，共149页，2023年，2月20日，星期五第122页，共149页，2023年，2月20日，星期五极点零点若系统的零、极点非常靠近虚轴极点零点第123页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.10全通函数与最小相移函数的零、极点分布全通函数的零、极点分布如果系统函数的零点位于右半平面，极点位于左半平面，且零、极点关于虚轴镜象对称，这种系统函数称为全通函数。对于所有频率，其幅频特性为常数。第124页，共149页，2023年，2月20日，星期五第125页，共149页，2023年，2月20日，星期五最小相移函数的零、极点分布系统函数的零点仅位于左半平面或虚轴的函数“最小相移函数”；部分零点位于右半平面的函数称为“非最小相移函数”；全部零点位于右半平面的函数称为“最大相移函数”。最小相移函数最大相移函数第126页，共149页，2023年，2月20日，星期五第127页，共149页，2023年，2月20日，星期五第128页，共149页，2023年，2月20日，星期五非最小相移函数可以表示为最小相移函数与全通函数的乘积设H(s)位于右半平面的零点为：与右半平面的零点镜象对称的点为：——最小相移函数——全通函数函数第129页，共149页，2023年，2月20日，星期五第130页，共149页，2023年，2月20日，星期五4.11线性时不变系统的因果性与稳定性1.因果性2.稳定性时域定义：线性系统稳定性的充要条件证明：因为稳定系统对于有界输入，其输出也是有界的，因此若系统稳定，则有，但这是系统稳定的必要条件而非充分条件。第131页，共149页，2023年，2月20日，星期五s域定义：(1)稳定系统：H(s)全部极点位于左半平面（不含虚轴）。(2)不稳定系统：H(s)全部或部分极点位于右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，h(t)随t增长而增长。(3)临界稳定系统：

H(s)的一阶极点位于虚轴上，h(t)趋于一个非零常数、等幅振荡或冲激序列。第132页，共149页，2023年，2月20日，星期五系统因果性和稳定性概念的比较系统在t0时刻的响应只与t≤t0的时刻有关，而与未来的时刻无关的系统称为因果系统。系统的稳定性指对应于有界的输入，系统的输出亦有界。这一概念适用于所有类型系统。而前面所讲到的因果性和稳定性的条件只适用于线性时不变系统，在对系统的因果性和稳定性进行判断时应注意适用条件。第133页，共149页，2023年，2月20日，星期五例系统冲激响应为，试判断其因果性和稳定性。方法一：h(t)的值只与当前时间t有关，所以是因果系统，当t为有限值时h(t)的值亦有限，因而系统是稳定的。方法二：t<0时，h(t)≠0，所以是非因果系统，

，所以系统是不稳定的。两种不同的方法得出了两个不同的结论，方法一的原理适用于所有类型的系统，方法二的原理只适用于线性系统同，而是非线性系统，所以方法二得出了错误的结论。第134页，共149页，2023年，2月20日，星期五例已知，求系统稳定时k应满足什么条件解系统稳定则极点位于左半平面(1)若有两实根，则(2)若有两复根，则二阶稳定系统，H(s)分母多项式系数全部为正，二阶以上稳定系统不适用本结论。第135页，共149页，2023年，2月20日，星期五例求带有反馈的系统函数H(s)反馈量与输入量同相为正反馈，反相为负反馈。第136页，共149页，2023年，2月20日，星期五

若输入信号消失仍能维持稳定输出，此时为正反馈，产生了自激，即第137页，共149页，2023年，2月20日，星期五例设图中运算放大器输入阻抗为∞，输出阻抗为0

的幅频特性见右图，可见RC构成选频网络，第138页，共149页，2023年，2月20日，星期五边界稳定时K＝3，对于频率ω0，，对于其它频率

此时系统产生了自激振荡，从表面上看系统自激振荡