量子力学课件(4)第六部分自旋及全同粒子体系

1第六部分自旋及全同粒子体系一、学习要点1、电子具有自旋角动量在任一方向上的分量值为，且电子具有自旋磁矩自旋分量满足角动量对易关系轨道磁矩22、在表象中，根据，有称为Pauli矩阵的三个分量，并满足对易关系以及反对易关系和平方为1关系33、在表象中，的本征值与本征态为但问题：如果在某一态中取确定值和是否取确定值？为什么？如何理解和只能取两个值？测值只能测到此二值，别的值测不到。4567而自旋在任方向上的分量及其本征值、本征态为（见习题8.2）84、在引入自旋后，电子的波函数表现为一列矩阵----二分量波函数其归一化条件为5、满足S-方程9或如果不含，则其中满足定态方程或问题：此处取什么表象？10第二式具有如下形式如果则其中满足方程其中116、电子的总角动量故与相互对易，它们具有共同的本征函数7、原子中电子具有轨道磁矩和自旋磁矩，故在均匀磁场中的势能为其中是产生原子光谱塞曼效应的原因。

128、的自旋分量表象中的矩阵为希望能记住这个表达式，与2维的同等重要！13其中的本征值及对应的本征态矢为14对全同电子的自旋波函数来说，它本身既可以是交换对称的，也可以是交换反对称的。取决于位置空间波函数的对称性。S=1，自旋三重态S=0，自旋单态9、两个的自旋耦合成，总自旋的体系，的共同本征态为则有1510、全同性原理：全同粒子体系的状态对交换其中任一对粒子保持不变。全同性原理对全同粒子体系波函数的要求：由个全同粒子组成的体系波函数记为其中表示第个粒子的全部坐标。引入交换算符，它对的作用是16对Bose子体系，波函数必须交换对称；对Fermi子体系，波函数必须使之成为反对称。根据全同性原理，全同粒子体系波函数应该是交换算符的本征函数，本征值为。实验表明：对于自旋的全同粒子（玻色子）体系，；对于自旋的全同粒子（费米子）体系。17另外注意几个基本概念：①自旋角动量算符②自旋角动量量子数③自旋磁量子数④自旋角动量平方算符本征值为常数⑤自旋角动量分量算符本征值为量子数与本征值不是一回事！18二、例题这部分内容综合性较强，但做的题目又较少，可能比较生疏。特别是当涉及到全同粒子体系时更是这样。6.1

电子偶素（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核。在非相对论近似下，其能量和波函数同氢原子类似。今设在电子偶素的基态（s

态）里，存在一种接触型自旋交换作用，19

其中与分别是正负电子的自旋磁矩。利用一级微扰论计算此基态中自旋单态与三重态之间的能量差，决定哪一能量最低。已知氢原子基态波函数分析：进行微扰论计算时，先看所讨论能级是否简并。对氢原子基态，位置空间部分是非简并的，但自旋空间部分，电子偶素有四个自旋态，故是存在简并的。另外注意，没有外磁场时，若不考虑旋-轨耦合，自旋对没有贡献。可以看作微扰。20解：由所以其中是电子偶素的总自旋，不考虑时，基态能量，其中，为电子质量，是四度简并的。相应的四个波函数分别为21微扰矩阵元原因：四个自旋态都是的本征态，从而也是的本征态。这样简并微扰问题就可以用非简并微扰方法来处理，且四个是零级近似波函数。对自旋三重态，一级修正能量都相同对自旋单态但故22自旋三重态与自旋单态能量之差将代入上式得显然，自旋三重态能量高于自旋单态能量。﹟236.3均匀磁场中电子偶素的哈密顿量为其中是实常数，

B

是磁场强度，下标1与2分别代表电子与正电子，是泡利矩阵。当分析：看哈密顿算符的形式，考虑电子偶素的自旋24解：（1）当磁场为0时，由题目所给条件可知对电子偶素来说，的共同自旋波函数为这当然是的本征函数，其本征值分别对应为25（2）当磁场不为0时令已经知道，上述四个自旋波函数是的本征函数。但是否的本征函数？需要验证一下。同理故26但同理可得这样故态是属于本征值0的本征函数同理可得但可以通过的线性组合构成的本征态即可以令从而是属于本征值

的本征函数相应的本征函数记为所以不是从而也不是的本征态。27并满足方程其中同理可证将上述微扰矩阵元代入系数所满足的方程，有28由此方程可解得的另两组本征值与本征态矢﹟296.4一束极化的s波（l=0）中子通过一个不均匀的磁场后分裂成强度不同的两束，其中自旋反平行磁场的一束与自旋平行于磁场的一束的强度之比为3：1。求入射中子自旋方向与磁场方向夹角的大小。zn提示：无轨道磁矩。电子、质子、中子等的自旋皆为1/2。需要搞清楚初末状态。30离开磁场后处在自旋Sn本征态的叠加态中初状态：设入射中子自旋极化方向为z轴正向题目所给条件等价于说：中子通过磁场后处在本征值为的几率为多少。这是我们熟悉问题解：设磁场方向n同z轴之间的夹角为末状态：磁场n方向，由于受到自旋磁矩的作用已知的本征值为的态矢为31由题意知入射中子自旋态为，即初态，则有容易求得从而求得﹟它们也是分别隶属于能量本征值为的本征态矢从而可以写出任意时刻的波函数为32B

6.5

有一定域电子（作为近似模型可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场的作用，磁场指向轴正方向，相互作用势，设时电子自旋方向朝上，即，求时自旋的平均值。t=0分析：求的平均值实际上是求各分量的平均值，因而需求时的波函数。关键是求时的波函数。而时，故关键是求的本征态。而这是容易做到的。由于不考虑外场时是自由粒子体系，故不研究平动部分。33解：习题中已经做过：在表象下，的本征值与本征态分别为（应记住！）故在表象下，的本征值与本征态分别为34则任意时刻的态矢可在表象下按的本征态展开为由初始条件确定35或36可直接由下式给出即而（因是按的本征态展开）37可直接由下式给出（因是按的本征态展开）即﹟386.7自旋，并具有自旋磁矩的粒子处于沿x方向的均匀磁场B

中。已知t=0时，粒子的，求在以后任意t时刻发现粒子具有的几率。分析：思路非常清晰，与6.5题很类似。根据自旋哈密顿，写出其本征态，并由此写出任意时刻的波函数，并用的本征态来展开。解：自旋哈密顿量是在表象下，其本征值和本征态为39则任意时刻的态矢为利用初始条件可以求出展开系数从而任意时刻的态矢为下面看在此态下取的几率是多少。如何求？40已知在表象下的本征值与本征态矢为令则同理可得因此任意时刻取的几率是二者之和为1﹟416.9自旋投影算符为Pauli矩阵，为单位方向矢量，

(1)对电子自旋朝上态，求的可能值与相应几率；

(2)对的本征值为1的本征态，求的可能值及相应的几率。分析：此二问关键是搞清楚在什么态下测什么值并要知道所测量力学量算符在表象下的本征函数。解：（1）在下测的值已知在表象下的本征值与本征态矢为42则在态下测的几率分别为（2）在的本征态下，测的可能值，需要写出表象下的本征态来剩下的问题就非常简单了。﹟436.10

测量一个电子（处于自由空间）自旋分量，结果为。（1）紧接着测量自旋分量，得到的可能值与相应的几率是多少？（2）如果测量的自旋方向同轴成角，得到的可能值与相应的几率是多少？期望值是多少？分析：测量时有确定值，说明是表象，在此表象下测就好办了；第二问实际上是在表象下测量，有了习题8.2的结论，问题也迎刃而解zS44解：（1）在表象下的本征值与本征态为当电子处在的态时，测量得到的可能值与相应的几率为（利用展开式）45（2）令是同轴成角的方向上的单位矢量（方位角），已知的本征值与本征态为当电子处在的态时，测量得到的可能值与相应的几率为﹟466.13一束速度为自旋在轴方向极化的中性粒子，沿轴方向通过宽的均匀磁场区，磁场的方向为正轴方向。已知粒子具有自旋磁矩为常数。（1）求出粒子通过磁场区后其中的粒子数之比；（2）如希望通过磁场后的粒子全部都是自旋磁场强度应取什么值？分析：思路很清楚，关键是求自旋哈密顿的本征态从而得到任意时刻的波函数，而通过磁场

所用的时间可由题目所给条件容易求出。47解：（1）自旋哈密顿为故在表象下的本征态矢和本征值为则任意时刻的态矢为利用初始条件可由求出从而任意时刻的波函数可以写为48粒子处于自旋向下和向上的几率之比已知,则粒子通过磁场区后的几率之比为（2）若要求通过磁场后，粒子的自旋全部向下，

则要求此时则﹟496.17氢原子基态能量。其中为Bohr半径，为折合质量，近似等于。

(1)写出电子偶素的基态能量和Bohr半径；

(2)由于电子有自旋，电子偶素基态的简并度是多少？

(3)电子偶素的基态会发生衰变，湮灭为光子。这个过程中释放的能量和角动量是多少？证明终态至少有2个光子。提示：电子偶素衰变前的总能量为基态能量加质量所包含的能量50解：（1）电子偶素是氢原子体系中的质子被一个正电子所代替。其基态能量同氢原子的基态能量，只是约化质量发生变化。其中（2）这是一个双费米子非全同粒子体系，尽管不考虑自旋时能级不简并，但考虑自旋后由于（）共同本征态的存在使得能级简并简并度是4四个简并态是51（3）电子偶素的基态发生衰变，湮灭为光子。此过程能量、角动量要守恒。释放前的可资用能（静能+动能）这个能量全部变为光能。释放前的角动量注意：轨道角动量为0若释放前处于自旋三重态，则若释放前处于自旋单态，则由于在释放前后体系的动量守恒，故释放后体系的动量仍为0。故终态至少有两个相反方向的光子产生。﹟526.20自旋为1的带电粒子（电荷为，质量为）受到磁场的作用，其哈密顿量为

如果时，粒子的自旋指向轴方向，求粒子自旋平均值的时间演化。提示：思路非常明确。给出哈密顿的本征值和本征态写出加上外场后任意时刻的波函数利用初始条件决定展开系数给出自旋三个分量在任意态中的平均值53解：选择自旋表象，此时能够求出它们的本征值及相应的态矢为由于故其本征值和本征函数可由的本征值及本征函数给出54故任意时刻的波函数为利用初始条件给出组合系数同理可得55代入任意时刻波函数表达式，有由此可求出自旋在任意态中的平均值同理可得﹟566.23

体系由两个自旋的非全同粒子组成，粒子之间的相互作用为，其中为常数。设时粒子1的自旋指向轴正向，粒子2的自旋指向z轴负向。

(1)在任意时刻测量粒子1的自旋处于轴正向的几率是多少？

(2)在任意时刻粒子1与2的自旋均处于轴正向几率是多少？参看下题57

6.23

体系由两个自旋为1/2的非全同粒子组成，粒子间的相互作用为，其中为常数。设t=0时，系统的状态为。试求（1）任意t时刻系统的状态；（2）任意t时刻测量系统的自旋态为的几率；（3）何时两个粒子的自旋实现反转？解：（1）系统的哈密顿量取的共同本征态即有58

其中由于

所以（2）任意t时刻测量系统的自旋态为的几率59另外可以看出，中不存在这两个态，即任意时刻测得的几率均为零。由此可得﹟

（3）从可以看出，由于体系初态是要实现两个粒子的自旋反转，则须606.25两个自旋的粒子在表象的态为其中代表粒子自旋向上的几率，代表粒子自旋向下的几率。

(1)求的本征值与本征态，是常数；

(2)设时，体系的态为，求任意时刻发现体系处于态的几率。分析：理解记号的意义61实际上我们所熟悉的本征态记为这些本征态是否还是哈密顿算符的本征态？这是我们首先要解决的问题。解：（1）求哈密顿算符的本征值和本征态首先看上述四个态是否哈密顿算符的本征态利用容易求出62同理可得说明仍是的本征态，属于本征值0.但可以验证，不是的本征态。的另外两个本征态可以由线性组合构成并满足本征值为E的本征值方程关键是求组合系数。这是我们所熟悉的过程。利用其中63同理可得代入可得解之可得前面给出的两个解这样就可以写出任意时刻的态矢64（2）任意时刻的态矢为利用初始条件定展开系数当t=0时体系处于态可求得展开系数故所以任意t时刻体系处在的几率是﹟656.27一个两能级体系，哈密顿量为，能级间隔