指数成长与衰减

指数成长与衰减第1页，共35页，2023年，2月20日，星期五5.6指數成長與衰減學習目標以指數成長與衰減作為實際生活的模型。P.5-38第五章指數與對數函數第2页，共35页，2023年，2月20日，星期五指數成長與衰減本節將學習如何去建立指數成長與衰減的模型。實際生活中牽涉到指數成長與衰減的狀況就是物質或人口數量，即在任一時間t的變化率正比於當時的物質數量。譬如，放射性物質的衰減率是正比於當時放射性物質的數量。這種關係可以最簡單的形式來表示，如以下的方程式。P.5-38第五章指數與對數函數第3页，共35页，2023年，2月20日，星期五指數成長與衰減P.5-38第五章指數與對數函數在上式中k為常數，而y為t的函數，下面即為此方程式的解。第4页，共35页，2023年，2月20日，星期五指數成長與衰減（證明）P.5-38第五章指數與對數函數因為y的變化量與y成正比，所以 顯然y＝Cekt

為方程式的解，因為對y微分可得dy/dt＝kCekt

，再代入方程式也得第5页，共35页，2023年，2月20日，星期五學習提示在模型y＝Cekt中，C稱為起始值，因為當t＝0時，y＝Cek(0)

＝C(1)＝C。P.5-38第五章指數與對數函數第6页，共35页，2023年，2月20日，星期五應用放射性物質的衰減是以半衰期

(half-life)來測量，即放射性物質樣本中原子數減半所需的時間。常見放射性同位素的半衰期如下所列 鈾(238U) 4,470,000,000年 鈽(239Pu)

24,100年 碳(14C)

5,715年 鐳(226Ra)

1,599年 鑀(254Es)

276天 鍩(257No)

25秒P.5-39第五章指數與對數函數第7页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例1放射性物質衰減的模型某樣本中有1公克的鐳，試問1000年後的鐳殘留物是否多於0.5公克？P.5-39第五章指數與對數函數第8页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例1放射性物質衰減的模型（解）令y表示在樣本中的鐳物質(公克)。因為衰減率正比於y，所以應用指數衰減律可知y的形式為y＝Cekt，其中t為時間(年)。已知當t＝0時y＝1，代入模型可得1＝Cek(0)

以1代入y，0代入t 因此C＝1。因為鐳的半衰期為1599年，所以當t＝1599時y＝1/2，再代入模型即可解得k。P.5-39第五章指數與對數函數第9页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例1放射性物質衰減的模型（解） 所以k≈－0.0004335，故指數衰減模型為y＝e－0.0004335t。若要求1000年後的鐳殘留量，將t＝1000代入模型，經計算可得y＝e－0.0004335(1000)≈0.648公克 即，1000後仍有超過0.5公克的鐳，此模型的圖形如圖5.18所示。P.5-39第五章指數與對數函數第10页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例1放射性物質衰減的模型（解）P.5-39圖5.18第五章指數與對數函數第11页，共35页，2023年，2月20日，星期五檢查站1以範例1的模型來計算1公克樣本的鐳衰減為0.4公克時所需的時間。P.5-39第五章指數與對數函數第12页，共35页，2023年，2月20日，星期五應用請注意，不必像範例1使用近似的k值，直接在模型中代入k的正確值可得 這個公式清楚地顯示「半衰期」：當t＝1599，y值為1/2，當t＝2(1599)，y值為，以此類推。P.5-39第五章指數與對數函數第13页，共35页，2023年，2月20日，星期五應用P.5-40第五章指數與對數函數第14页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例2數量成長的模型研究指出，果蠅數量的增加是服從指數成長模型。兩天後有100隻，四天後有300隻果蠅，則5天後有幾隻果蠅？P.5-40第五章指數與對數函數第15页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例2數量成長的模型（解）令y為果蠅在時間t的數量。已知當t＝2時，y＝100和當t＝4時，y＝300，代入模型y＝Cekt

得100＝Ce2k和300＝Ce4k 若要解k，先解出第一方程式中的C，再代入第二方程式。P.5-40第五章指數與對數函數第16页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例2數量成長的模型（解）P.5-40第五章指數與對數函數第17页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例2數量成長的模型（解）因為

，可得C≈100/e2(0.5493)≈33。即指數成長模型為 y＝33e0.5493t 如圖5.19所示。所以，5天後果蠅的數量有 y＝33e0.5493(5)≈514隻P.5-40第五章指數與對數函數第18页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例2數量成長的模型（解）P.5-40圖5.19第五章指數與對數函數第19页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例2的計算過程可參考本章代數複習範例1(c)。P.5-40第五章指數與對數函數代數技巧第20页，共35页，2023年，2月20日，星期五檢查站2如果果蠅數量兩天後有100隻，四天後有400隻，求其指數成長模型。P.5-40第五章指數與對數函數第21页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例3複利的模型在以連續複利計算的銀行帳戶存入一筆錢，若帳戶餘額在6年後增值為兩倍，試問其年利率為何？P.5-40第五章指數與對數函數第22页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例3複利的模型（解）以連續複利計算的銀行帳戶餘額A可表示為指數成長模型 A＝Pert

指數成長模型 其中P為原始存款值，r為年利率(以小數表示)且t為時間(年)。已知t＝6時，A＝2P，如圖5.20所示，即可解得r。P.5-40第五章指數與對數函數第23页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例3複利的模型（解）P.5-40圖5.20第五章指數與對數函數第24页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例3複利的模型（解）所以，年利率為

或者大約11.55%。P.5-41第五章指數與對數函數第25页，共35页，2023年，2月20日，星期五檢查站3已知以連續複利計算的帳戶餘額在8年後恰增值為兩倍，求年利率。P.5-51第五章指數與對數函數第26页，共35页，2023年，2月20日，星期五應用本節的例子都是使用以e為底數的指數成長模型，此模型其實可以任意數為底數。換言之，模型y＝Cabt 也可以是指數成長模型(因為該模型可寫成y＝Ce(lna)bt)。在某些實際生活的例子，不以e為底數反而較方便。P.5-41第五章指數與對數函數第27页，共35页，2023年，2月20日，星期五應用譬如在範例1中，因為鐳的半衰期是1599年，所以指數衰減模型可寫成 根據此模型，樣本中的鐳的同位素數量在1000年後剩下 也吻合範例1的結果。P.5-41第五章指數與對數函數第28页，共35页，2023年，2月20日，星期五學習提示是否可立即看出範例1中放射性物質衰減的模型為？注意：當t＝1599時，y值為1/2，當t＝3198時，y值為1/4，以此類推。P.5-41第五章指數與對數函數第29页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例4銷售量模型化在停止全國性電視廣告後的四個月，某製造商發現MP3的銷售量從100,000台減為80,000台。若銷售量是以指數衰減來變化，再過四個月後的銷售量為何？P.5-41第五章指數與對數函數第30页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例4銷售量模型化（解）令y為MP3的銷售量，t為時間(月)，並考慮指數衰減模型y＝Cekt

指數衰減模型 從已知條件可知當t＝0時，y＝100,000，即100,000＝Ce0P.5-41第五章指數與對數函數第31页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例4銷售量模型化（解）所以C＝100,000。若要解k，則須利用當t＝4時，y＝80,000的條件，所以P.5-41第五章指數與對數函數第32页，共35页，2023年，2月20日，星期五範例4銷售量模型化（解）則

，所以此模型為 y＝100,000e－0.0558t 再過四個月(t＝8)，銷售量將衰減為 y＝100,000e－0.0558(8)