哈工大非线性作业

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《非线性控制》课程作业

姓名：学号：专业：2023秋季学期

15S004001控制科学与工程哈尔滨工业大学2023年1月

作业一

1.动态系统：系统状态随时间而变化的系统或者按确定性规律随时间演化的系统，称为动态系统。动态系统是数学上的一个概念，是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化状况。在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依靠于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔内，从现在的状态只能演化出一个未来的状态。其特点是:（1）系统的状态变量是时间函数,即其状态变量随时间而变化；（2）系统状况由其状态变量随时间变化的信息来来描述；（3）状态变量的持续性。

数学描述形式：一般的，动态系统表示为一个元组?T,M,??，其中?:U?T?M?M表示一个从U到M的映射，用??t,x?表示，称为“蜕变函数〞，表示了系统状态随时间变化的规律。

??0,x??x??t2,??t1,x?????t1?t2,x?,t1,t2,t1?t2?I?x?其中I?x??

?t?T:?t,x??U?，??t,x?表示了集合M中点的变化，这种变化依据于变

量t，M称为状态空间。x代表系统的初始状态，当时始状态固定时，??t,x?就变为了t的函数，函数经过x代表的状态点。

动态系统也常用微分方程来描述，设系统状态向量为x，则有一下数学描述：

?(t)?f(x,t)xx(0)?x0

式中x为状态变量矢量，t为时间，f为确定性矢量函数，这个微分方程即动态系统的

数学描述形式。

对微分动力系统的研究从理论上透露了系统的大量基本性质。如对系统吸引子的研究说明白系统终态，即定常状态的种类（非平衡态）。又如对系统稳定性条件的研究和相空间拓扑结构对参量依靠关系的研究都对系统的设计具有重要指导意义。不用微分方程描述的动态系统模型中最简单的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。

静态系统：与动态系统相对，系统状态不随时间变化的系统称为静态系统。系统中各个状态的量之间都有着已经固定的关系并且保持不变，动态系统的每一个平衡点都是一个静态系统。

数学描述：用微分方程来描述静态系统，类比动态系统，可以有以下数学描述

?(t)?f(x)xf(x)?0其中

f(x)?0表示了系统中各个状态变量之间的关系，即满足这样的关系时静态系统才能

成立。

2.系统的齐次性和叠加性是不是独立的两特性质？假使一个系统具有叠加性，是否可以推断出该系统一定满足齐次性？写出你对该问题的理解。

二者是独立的，二者只在有理数范围内等效；这个问题本身属于群论范畴，尽管直观上讲，二者有一定关联。可以证明在有理数域内,假使已知系统具有叠加性,那么它一定同时具有齐次性。

（1）在整数范围内证明，当a?Z?由叠加性可以得到T?az??T?z?z?????z??aT?z?即满足齐次性：

当a?0显然成立;

当a?0时由可加性T?az??T??az??0??T?az???T??az?，由上面堆出的结论可知

T?az??aT?z?

T(az)?T[(a?1)z?z]?T(z)?T[(a?1)z]?T(z)?T(z)???T(z)?aT(z)T?az???T??az??aT?z?

简言之，式子最终可以分解为a个T(r)相加，即为a倍T(r)。此时可加性与齐次性表述了同一条规则。将这一结论推广，可加性可以推出对于有理数的齐次性，（2）在有理数范围内证明

由于有理数a总可以写成分数形式

b，其中b,c?Z，c?0，由(1)中推出的结论知c?b??b??b?bbT?z??T?bz??T?c?z??cT?z???T?z??T?z?

?c??c??c?c在有理数范围存在T?az??aT?z?，

故齐次性与可加性在有理数范围内等效。

但在无理数范围内及复数范围内该结论不一定成立，反例如下：

（3）虽然实际中存在好多不同时满足齐次性与可加性的例子，但大多数非线性系统是同时不满足二者。具有齐次性的非线性映射，只能在不满足可加性的无理数集中去寻觅。假使不要求为连续函数，定义抽象函数如下例，即为一个满足齐次性而不满足可加性的系统：f(x)?0（x为有理数）f(x)?x（x为无理数）

即为满足齐次性对数乘封闭f(cx)?cf(x)而不满足可加性f(x?y)?f(x)?f(y)的实例。

（4）设a为复数，若系统满足T?iz??iT?z?其中z?R，则可以推导出齐次性，但是一般的线性系统不满足这特性质。若变量与常数都可在复数域取值，由于复数运算的特别性，叠加性与齐次性之间不一定等价。譬如当k为复数时，

f(x)?Re?x?，f(kx)?Re?kx?齐次性不成立但是叠加性依旧成立。

3.状态空间表达式如下，Simulink仿真比较线性、非线性模型。

?1??0?x??g?x????2???l1??x?

k??1????x2?m?x2??1???x??gk??x??sin(x)?x2?1??2??m??l

线性系统Simulink仿真模型（蓝色曲线）

非线性系统Simulink仿真模型（红色曲线）

????x1(0)???（1）对于初值????20?，两种系统的状态轨迹如下两图所示：x(0)?2??0?X1X2

当角度很小时，两系统的状态轨迹基本是一致的。

????x1(0)???（2）对于初值??4，两系统状态轨迹如下：??x2(0)??0???X1X2

当时始角度偏大时，近似的模型与实际模型的状态轨迹出现了偏差。

????x1(0)???对于初值????2?，两系统状态轨