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P179

1.给出以下序列的一个递推关系：（4）{n2+3n}（6）{1+(-1)n}解：

(4)an=an-1+2n+2(n>0)，a0=0(6)an=an-1+2(-1)n(n>0)，a0=2或an???0?2an?1?2an?1?0，a0=2

3.设含连续三个0的n位二进制串的数目是sn，请给出{sn}的递推关系和初始条件。解：an=an-1+an-2+an-3+2n-3(n≥3)，a0=0，a1=0，a2=0

4.设{1,2,…,n}的错排列数是Dn，请给出{Dn}的递推关系和初始条件。解：Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)，D1=0，D2=1

10（2）求初值问题的通项公式：an=10an-1-25an-2；a0=-7，a1=15。解：

特征方程：r2-10r+25=0，特征根：r2=r1=5通解：an=(?+βn)5n

由a0=?50=?=-7和a1=(-7+β)51=15解得：?=-7，β=10初值问题的解：an=(-7+10n)2n

*12（2）.求递推关系的一个特解：an＝8an-2-16an-4+n24n。解：

特征方程：x4=8x2-16，特征根：x1=-2，x2=2一个特解：Tn=n0(a+bn+cn2)4n=(a+bn+cn2)4n

代入递推关系：(a+bn+cn2)4n=8(a+b(n-2)+c(n-2)2)4n-2-16(a+b(n-4)+c(n-4)2)4n-4

即9cn2+(9b+8c)n+(8a+4b-16+c)=0

9c=09b+8c=0

8a+4b-16+c=0

解得：c=0,b=0,a=2特解：2n24n

13（2）.写出序列{1,0,1,0,1,0,…}的生成函数。

?解：1+x+x+x+…=?x2i?2

4

6

i?011?x2

14.计算广义二项式系数?解：

??3??1.2?和???的值。53?????3??3?1????3?5?1???3????21??5!?5??1.2?1.2(1.2?1)...(1.2?3?1)?0.032???3!?3?

17.一钱罐里有大量1角、2角、3角和5角的硬币，从中任取r个（需考虑顺序）。请给出不同取法数的生成函数，并求取5个硬币的方法数。解：

指数型生成函数：(1+x1/1!+x2/2!+…)(1+x2/2!+x4/4!+…)(1+x3/3!+x6/6!+…)(1+x5/5!+x10/10!+…)取5个硬币的方法数为x5/5!的系数17

补充：

*1.求初值问题的通项公式：hn=hn/2+2，n=2k，k≥1；h1=1解：令ak=hn，k≥1。ak的递推关系：ak=ak-1+2ak的初始条件：a0=1

伴随齐次递推关系：ak=ak-1特征方程：r-1=0，特征根：r=1伴随齐次递推关系的通解：ak=?1k

特解：ak=pk，代入递推关系解得：p=2递推关系的通解：ak=?+2k

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