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本文格式为Word版,下载可任意编辑——华东师范大学离散数学章炯民课后习题第10章答案
P179
1.给出以下序列的一个递推关系:(4){n2+3n}(6){1+(-1)n}解:
(4)an=an-1+2n+2(n>0),a0=0(6)an=an-1+2(-1)n(n>0),a0=2或an???0?2an?1?2an?1?0,a0=2
3.设含连续三个0的n位二进制串的数目是sn,请给出{sn}的递推关系和初始条件。解:an=an-1+an-2+an-3+2n-3(n≥3),a0=0,a1=0,a2=0
4.设{1,2,…,n}的错排列数是Dn,请给出{Dn}的递推关系和初始条件。解:Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2),D1=0,D2=1
10(2)求初值问题的通项公式:an=10an-1-25an-2;a0=-7,a1=15。解:
特征方程:r2-10r+25=0,特征根:r2=r1=5通解:an=(?+βn)5n
由a0=?50=?=-7和a1=(-7+β)51=15解得:?=-7,β=10初值问题的解:an=(-7+10n)2n
*12(2).求递推关系的一个特解:an=8an-2-16an-4+n24n。解:
特征方程:x4=8x2-16,特征根:x1=-2,x2=2一个特解:Tn=n0(a+bn+cn2)4n=(a+bn+cn2)4n
代入递推关系:(a+bn+cn2)4n=8(a+b(n-2)+c(n-2)2)4n-2-16(a+b(n-4)+c(n-4)2)4n-4
即9cn2+(9b+8c)n+(8a+4b-16+c)=0
9c=09b+8c=0
8a+4b-16+c=0
解得:c=0,b=0,a=2特解:2n24n
13(2).写出序列{1,0,1,0,1,0,…}的生成函数。
?解:1+x+x+x+…=?x2i?2
4
6
i?011?x2
14.计算广义二项式系数?解:
??3??1.2?和???的值。53?????3??3?1????3?5?1???3????21??5!?5??1.2?1.2(1.2?1)...(1.2?3?1)?0.032???3!?3?
17.一钱罐里有大量1角、2角、3角和5角的硬币,从中任取r个(需考虑顺序)。请给出不同取法数的生成函数,并求取5个硬币的方法数。解:
指数型生成函数:(1+x1/1!+x2/2!+…)(1+x2/2!+x4/4!+…)(1+x3/3!+x6/6!+…)(1+x5/5!+x10/10!+…)取5个硬币的方法数为x5/5!的系数17
补充:
*1.求初值问题的通项公式:hn=hn/2+2,n=2k,k≥1;h1=1解:令ak=hn,k≥1。ak的递推关系:ak=ak-1+2ak的初始条件:a0=1
伴随齐次递推关系:ak=ak-1特征方程:r-1=0,特征根:r=1伴随齐次递推关系的通解:ak=?1k
特解:ak=pk,代入递推关系解得:p=2递推关系的通解:ak=?+2k
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