高数 石油大学习题2套

本文格式为Word版，下载可任意编辑——高数石油大学习题2套高等数学第一册期末

一、填空题(此题共6小题，每题3分，共18分).

ln(1?3x)lim1.x?0sin2x=.

2.设函数y?f(arctanx)，其中f(x)在(0,??)内可导，则dy=.

1dx?223.设a?0，则a?2x=____________.

11?x2ln??121?xdx4.=__________.5.

=__________.

6.微分方程y???y?4sinx的通解是.

二、选择题(此题共4小题，每题3分，共12分).

??1．设f(x)为可导的奇函数，且f(x0)?5，则f(?x0)?（）.

a?a?4?sin2xdx55?(A)?5；(B)5；(C)2；(D)2.

2.设函数f(x)在点x0的某邻域有定义，则f(x)在点x0处可导的充要条件是

（）.

（A）

?x?x0limf(x)?limf(x)?x?x0；（B）

x?x0limf?(x)?f?(x0)；

??（C）f?(x0)?f?(x0)；（D）函数f(x)在点x0处连续.3.下图中三条曲线给出了三个函数的图形，一条是汽车的位移函数s(t)，一条是汽车的速度函数v(t)，一条是汽车的加速度函数a(t)，则（）.

（A）曲线a是s(t)的图形，曲线b是v(t)

的图形，曲线c是a(t)的图形；（B）曲线b是s(t)的图形，曲线a是v(t)的图形，曲线c是a(t)的图形；

（C）曲线a是s(t)的图形，曲线c是v(t)的图形，曲线b是a(t)的图形；

（D）曲线c是s(t)的图形，曲线b是v(t)的图形，曲线a是a(t)的图形.

Otyabc4.设y?f(x)是(a,b)内的可导函数，x1、x2(x1?x2)是(a,b)内任意两点，则().

?（A）f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1)，其中?为(x1,x2)内任意一点；?（B）至少存在一点??(x1,x2)，使f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1)；

?（C）恰有一点??(x1,x2)，使f(x2)?f(x1)?f(?)(x2?x1);

f(x)dx?f(ξ)(x2?x1)???(x,x)x12（D）至少存在一点，使.

1x2

三、计算题（此题共4小题，每题6分，共24分）.

?1??x???(1?x)?e1.设函数f(x)????????a,???,x?0;在x?0处连续，求常数a的值.??x?01x

1??2?(n?1)?lim?sin?sin???sinn??nnnn?2.求极限

???.

?3.求定积分

4?1xxdx.

4.求广义积分

???21dx(x?7)x?2.

四、解答题（此题共4小题，每题6分，共24分）.1.设函数y?y(x)是由方程

?y0edt??costdt0t2x2dy所确定的函数，求dx.

f(x)?2．设函数

1?sinx1?sinx，求f(x)的原函数.

?3．求微分方程y?ycosx?e

?sinx的通解．

3y?5?3x?x的凸性与拐点.4．判断曲线

五、应用题（此题共3小题，每题6分，共18分）.

x?2?y2x?y1.曲线，及x轴围成一平面图形,求此平面图形绕y轴旋转而成的立

体的体积.

L:y?2.求曲线

围图形的面积最小.

1?x24位于第一象限部分的一条切线，使该切线与曲线L以及两坐标轴所

3．有一半径为R的半圆形薄板，垂直地沉入水中，直径在上，且水平置于距水面h的地方，

求薄板一侧所受的水压力.

六、证明题（此题4分）.

nn?1n?2???x?1(n?2,3,4?)在(0,1)内必有唯一实根xn，证明方程x?x?x

并求

limxnn??.

?1,f(x)???0,1.设

x?1x?1,则f?f[f(x)]??.

?a(1?cosx),x?0?x2???x?0f(x)??8,?x?t?bsinx??0edt,x?0??x2.设函数连续，则a?，b?.

3．极限

4．设x?0

lim(1?3x)x?02sinx?.limf(x)?2?x,且f(x)在x?0连续,则f(0)=.dyy5．设方程x?y?e?0确定函数y?y(x),则dx=.

?xy?2cos3x,则dy=.6．设

27．抛物线y?x?2x?8在其顶点处的曲率为.

?8．设f(x)可导，y?f?f[f(x)]?，则y?.

9．

??f(x)?f(?x)?sinx??aaa2?x2dx?.

y??10．微分方程

二、单项选择题（此题共10小题，每题2分，共20分。每题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1.“数列极限存在〞是“数列有界〞的（）

(A)充分必要条件；(B)充分但非必要条件；

(C)必要但非充分条件；(D)既非充分条件，也非必要条件.

2．极限

(A)2;(B)3;(C)1;(D)5;

3．设常数k?0，则函数

(A)3个;(B)2个;(C)1个;(D)0个.

n???y?x2?0x的通解是.

limn2n?3n?（）

f(x)?lnx?x?k(0,??)内零点的个数为（）e在

f?x??1?e1x1x2?3e,则x?0是f(x)的().4．设

(A)连续点;(B)可去休止点;

(C)腾跃休止点;(D)无穷休止点.

???5．设函数f(x)二阶可导，且f(x)?0，f(x)?0，令?y?f(x??x)?f(x)，当

?x?0时，则().

(A)?y?dy?0;(B)?y?dy?0;(C)dy??y?0;(D)dy??y?0.

6．若f(?x)??f(x)(???x???)，在(??,0)内f?(x)?0，f??(x)?0，则

f(x)在(0,??)内().

?(A)f(x)?0,?(C)f(x)?0,

f??(x)?0(B)f?(x)?0,f??(x)?0(D)f?(x)?0,f??(x)?0f??(x)?0

x?x0处二阶可导,且x?x07．设f(x)在

(A)(C)

limf?(x)??1x?x0,则().

x0是f(x)的极大值点;(B)x0是f(x)的微小值点;(x0,f(x0))是曲线y?f(x)的拐点;(D)以上都不是.

8．以下等式中正确的结果是().

?f?(x)dx?f(x);(B)?df(x)dx?f(x);d[f(x)dx]?f(x);(f(x)dx)??f(x);(C)?(D)?

(A)

9．以下广义积分收敛的是().

??lnx1dxdx??eexxlnx(A)(B)

????11dxdx?ex(lnx)2?exlnx(C)(D)

??

10．设f(x)在x?a的某个领域内有定义，则f(x)在x?a处可导的一个充分条件是

().

f(a?2h)?f(a?h)1limh[f(a?)?f(a)]存在lim存在h???h?0hh(A)(B)

f(a?h)?f(a?h)f(a)?f(a?h)lim存在lim存在h?0h?02hh(C)(D)

三、计算题：（此题共3小题，每题5分，共15分。）

7cosx?3sinxdx?5cosx?2sinx1.求不定积分

2.计算定积分

?e1elnxdx.

???3．求微分方程y?5y?4y?3?2x的通解.

四．解答题：（此题共6小题，共37分。）

?x?a(t?sint),??t?y?a(1?cost),在2处的切线的方程.1．（此题5分）求摆线?

x3y?2x?2x?3的渐进线.2.（此题6分）求曲线

3．（此题6分）求由曲线xy?1及直线y?x,y?2所围成图形面积。

1?x4．（此题6分）证明：对任意实数x，恒有xe?1.

5.（此题6分）设有盛满水的圆柱形蓄水池,深15米,半径20米,现