第八章组合变形习题集

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8-2人字架及承受的荷载如下图。试求m-m截面上的最大正应力和A点的正应力。

P300P/2FNxφ100m-m--200Bmφ--10mA0--2400-+A1800C1800zyCzo解：（1）外力分析，判变形。由对称性可知，A、C两处的约束反力为P/2，主动力、约束反力均在在纵向对称面内，简支折将发生压弯组合变形。引起弯曲的分力沿y轴，中性轴z过形心与对称轴y轴垂直。

截面关于y轴对称，形心及惯性矩

yC?A1y1?A2y2200?100?50?200?100?(100?100)??125mmA1+A2200?100+200?1001z2z200?1003Iz?I?I??200?100?(125?50)212100?2023??100?200?(300?125?100)212?3.08?108mm4?3.08?10?4m410200P/2023Ay0y

(2)内力分析，判危险面：沿距B端300毫米的m-m横截面将人字架切开，取由左边部分为研究对象，受力如下图。梁上各横截面上轴力为常数：

My,m-m?P2501.8?(1.8?0.3sin?)??(1.8?0.3?)?202.5(kN?m)22221.8?2.4

P2502.4FN??cos???=100(kN)22221.8?2.4(3)应力分析，判危险点，如右所示图

①m-m截面上边缘既有比下边缘较大的弯曲压应力，还有轴力应力的压应力，故该面上边缘是出现最大压应力。

200z++??max?FNMm?m??y上AIz?100?103202.5?103???(0.3?0.125)(Pa)??2.5?115.06MPa??117.56MPa?42?(0.2?0.1)3.08?10②A点是压缩区的点，故

?a?FNMm?m??yaAIz?100?103202.5?103???(0.3?0.125?0.1)(Pa)??2.5?49.31MPa??51.83MPa2?(0.2?0.1)3.08?10?4注意：最大拉应力出现在下边缘

??max??FNMm?m??y下AIz?100?10202.5?10??0.125(Pa)??2.5?82.18MPa?79.68MPa2?(0.2?0.1)3.08?10?433

8-3图示起重机的最大起吊重量为W=35kN，横梁AC由两根NO.18槽钢组成。材料为Q235，许用应力[σ]=120MPa。试校核横梁的强度。

C30°yz(a)AxW=40kN3.5mN0.18FAB(b)FAx35kNFAyx30°

解：〈1〉外力分析：外力在纵向对称面内与轴斜交，故梁AC发生压弯组合变形。对C取矩BA杆所受拉力为：

?mC(F)?0?FABsin30?3.5?35?(3.5?x)?0?FAB?70?(3.5?x)=70?20xkN3.52〉内力分析：轴力、弯矩均是x的函数

FN?FABcos30?(70?20x)cos30=60.62?17.32x(kN),Mmax?FABxsin30?(70?20x)xsin30?35x?10x(kN?m)2

（3）应力分析判危险点：

①由于发生的是发生压弯组合变形，轴力、弯矩两者均在横截面上引起正应力，x截面的上边缘具有最大压应力。查表可知NO.18槽钢的A=29.299cm2,Wz=152cm3

??x,maxFNMx(60.62?17.32x)?103(35x?10x2)?103????Pa2A2Wz2?29.299?10?42?152?10?6?10.345?2.956x?115.132x?32.895x2(MPa)=10.345?112.176x?32.895x2(MPa)

②对应力关于x的函数求导，求应力极值

?d?x,maxdx?112.176?65.79x?0?x?1.705m

故：当x?1.705m，起吊重物处的横截面上边缘应力到达极值:

??max?10.345?112.176x?32.895x2(MPa)?10.345?112.176?1.705?32.895?1.705?105.98(MPa)（4）校核横梁的强度

??max?105.98(MPa)?????120MPa

2

故，两根18号槽钢能满足强度要求。

8-5单臂液压机机架及立柱的横截面尺寸如下图。F=1800kN，材料的许用应力

[σ]=120MPa。试校核机架立柱的强度。

解：〈1〉外力分析：将P力平移到立柱的轴线上，需附加一力偶Mf?F?e，F使立柱产

生轴向拉伸，Mf使立柱产生平面弯曲，故立柱产生拉弯组合变形。立柱横截面是前后对称的，形心在图示y轴上，形心及惯性矩：

A?A1+A2?1400?860?1334?828?99448mm2?9.945?10?2m2yC?A1y1?A2y21400?860?700?1334?828?(50?667)??511mmA1+A21400?860?1334?8281z2z860?14003Iz?I?I??860?1400?(700?511)212828?13343??828?1334?(50?667?511)212?2.9?1010mm4?2.9?10?2m4。

〈2〉内力分析：将立柱假想截开，取上端为脱离体，由平衡条件不难求得立柱的轴力FN和弯矩M。

FN?F?1800kN,M?P?e?1800?(0.511?0.9)?2539.8kN?m

（3）应力分析：载荷作用面为关于前后对称的面，故中性层应为过形心的铅垂面。中性层的左侧为拉缩区，右侧为压伸区。立柱离轴线最远的左侧各点的具有最大拉应力，右侧各点的具有最大压应力，均有可能成为危险点。

??max??左边缘?FNMFM???y左,?max??右边缘?N??y右AIzAIz〈3〉校核强度

??max??左边缘FNM1800?1032539.8?103???y左???0.511(Pa)?2?2AIz9.945?102.9?10FNM??y右AIz?18.0995?44.753（MPa）?62.85MPa?????160MPa??max??右边缘?

1800?1032539.8?103???(1.4?0.511)(Pa)9.945?10?22.9?10?2?18.0995?77.858（MPa）?59.76MPa?????160MPa故立柱强度足够。

8-7：矩形截面悬臂梁受力如下图。确定固定端截面上中性轴的位置，应力分布图及A、B、C、D四点的应力值。

解：（1）外力分析，判变形。5kN作用下构件在xy平面内左右弯曲；25kN作

15025kNx255kN600100中性轴(+)(+)(+)(+)AD31BA4(-)(-)(-)(-)yBKCayaz14Kyayaz中性轴2zDz3Cz用下构件发生轴向压缩的同时，还将在xz平面内前后弯曲。结构将发生双向偏心压缩组合变形。

(2)内力分析，判危险面：5kN作用下构件将使Mz在固定端面达到最大值弯矩

Mz,max?5000?0.6?3000N?m;25kN作用下使构件各横截面具有一致的内力，

FN?25000N,My?25?103?25?10?3?625N?m。故该固定端横截面为偏心压缩的危

险面。

(3)应力分析：

Mz使固定端横截面左拉右压的弯曲正应力，FN使每一点具有均匀分布的压应力，My使固

定端横截面前拉后压的弯曲正应力。

①应力分布图及A、B、C、D四点的应力值。

FNMzMy25?1033000625?D??++=???y+Pa??1.667?8?2.5MPa?8.83MPaK0.15?0.102AWzWy0.15?0.10.1?0.15266FNMzMy?A??+-??1.667?8?2.5MPa?3.83MPaAWzWy?B???C??FNMzMy--??1.667?8?2.5MPa??12.17MPaAWzWyFNMzMy-+??1.667?8?2.5MPa??7.17MPaAWzWy故，固定端截面第一象限的K任意点的应力?K②确定固定端截面上中性轴的位置

y

MyFNMz25?1033000625?K??-?yK+?zK=???yK+?zK30.15?0.103AIzIy0.15?0.10.1?0.151212??1.667?106?106.667?106yK?50?106zK?K??1.667?106.667yK?50zK?0??63.987yK?29.994zK=1?yKzKyKzK??1???111?15.63?10333.34?103?63.98729.994

8-13电动机功率P=10kN，转速n=715r/min,带轮直径D=250mm，主轴外伸部分长度为l=120mm，主轴直径d=40mm。若材料的许用应力[σ]=65MP，试用第三强度理论校核轴的强度。

ydFD/22F3Fx3FFD/2zl=120233.55F(a)(b)MT图（N·m）+(c)xzMy图（N·m）384.63(d)3205.2N-(e)

解：（1）外力分析，判变形。①计算外力偶矩：

P10?9549??133.55N?mn715DDF?0.25=0?F?1068.4N②?m?0?Me?(2F??F?)?133.55?222Me?9549③主轴外伸部分可以简化为成悬臂梁，自由端受水平向前的集中力3F=3205.2N和作用面

在横截面的外力偶133.55N?m作用。计算简图如图示，轴发生弯扭组合变形。

(2)内力分析，判危险面：

扭矩图、弯矩图如下图，轴固定端面是危险面：My,max?384.63N?mT?133.55N?m(3)应力分析：

My使轴固定端横截面前后边缘点弯曲正应力和扭转剪应力同时到达最大值，是强度理论

的危险点。

（4）按第三强度理论校核强度

?r3?22My,max?TWy?22My,max?T?D323?383.632?133.552??0.040323?64.8Pa?????65MPa

故，按第三强度理论校核强度满足。

8-14图为操纵装置水平杆，截面为空心圆形，内径d=25mm，外径D=30mm。材料为Q235钢,许用应力[σ]=60MP。控制片受力F1=600N。试用第三强度理论校核杆的强度

150120N·m(b)250AMT图（N·m）yCBD(c)0120F2y=70.531Nx(d)P1=2kN(e)MZ图（N·m）FAz=475N2.64-7.05F2z=400Nx(f)z(g)2kNF1z=600NMy图（N·m）-71.2540

解：（1）外力分析，判变形。

①由轴的平衡求F2的两分量的大小：

?m?0?600?200?Fsin80?300?0?Fsin8022?400N=F2z

F2y?F2zctan80?400ctan80?70.531N

②操纵杆可以简化为成外伸梁，计算简图如图示，轴发生弯