高等数学基础(1)综合练习参考答案

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一．选择题

1.B2.B3.D4.B5.C6.B7.D8.D9.C10.C11.C12D13B14A15D16B17D18B19A20B21C22B23A24A

二．填空题

1.?1?x≤42．f(x)?x2?2x3．奇函数原点4.f(x0)5．可去或第一类6．x?07.18．k?12e9.0

4x210．27?111．

x?(??,0)12.x=-1

13.（1，2）14.a为实数b＝6

15．k＝1

16．a?1,b??317.1(1)cosx?c(2)sinx(3)2F(2x?3)?c18．119．1

三．计算题1．求极限2解：（1）原式＝limx?2x?51?2?52x??1x2?1?2?

22（2）原式＝lim(x?x?1?1)(x?x?1?1)

x?1(x2?x?2)(x2?x?1?1)?limx(x?1)?1x?1(x?2)(x?1)(x2?x?1?1)6

xx?3??1?3??1?3?3（3）lim?x???lim?x???e3?ex???x??x

?2??1?x???2e2?1?2?2?x??（4）原式＝limxlnx?1?limln(1?1x??xx???x)x?1

1（5）原式＝lim[(1?3x)x?sin2x(x?1?1)]x?0(x?1?1)(x?1?1)

1

?1=lim[(1?3x)3xx?0(?3)?sin2x(x?1?1)x]?e?3?4

(6)原式＝

22532(?3)??827

1?1n?1111??2（7）原式=lim?1???...?n??lim?2

n??n??1242??1?21???arctanx22x1?x2?lim?lim?1(8)原式＝limx???x??x???1?x211?2xx1（9）原式＝limlnx?x?x(x?1)lnx?4x?1lnx?1?1xx(x232x?1?limx?2x?1x?1x?limx?11?2x?xxlnx?x?1

2x?1lnx??limx?1??32

（10）原式＝limx?0?2(无穷小量替换)

22)2．解：limx?1x?12x???(ax?b)?lim(x?1)?(ax?b)(x?1)x?122

x???lim(1?a)x?(a?b)x?1?bx?1x???0

?1?a?0?a?1由条件知，必有???a?b?0b??1??e?x?a?2a3．解：lim??lim?e?9，所以a?ln3．??limx?ax??x??x??e?x?a?a??1???x??xa???1??x??xa

4．解：当y在x?0处连续知：

xlimf(x)?f(0)x?0

2?lim1?cosxx?sinxx?0?k?limx?012?k?k?x.sinx2x?0

5．解：（1）由于limf(0)?1，limx?0?x?0?f(0)?b又limf(x)存在等价于

x?0lim?f(0)?lim?f(0)，所以，b?1，a可为任意实数；

x?02

（2）f(x)在x?0处连续等价于limf(0)?lim

x?0?x?0?f(0)?f(0)，又f(0)?a所以a?b?1．

6．证明：设f(x)?x2x?1，因f(0)??1，f(1)?1

由零点存在定理知，存在??(0,1)，使得f(?)?0，即有0???1,使?2??1．

7．解：切点为(?t2?1,1)，则斜率为k?dy1dx?sint??1?cost?

2t??2?切线方程为y?1?1?(x??2?1)即y?x??2?2

8．求以下函数的导数或微分

（1）解：y???e?xln(2?x)?e?x12?x?6x

21?3x2?dy?[?e?xln(2?x)?e?x2?x?3x]dx1?3x2

（2）解：两边对x求导cos(x?y2)?(1?2y?y?)?1?y?2?dy1?cos(x?y)dx?y??2ycos(x?y2)?1

（3）解：y??cosxx?cos2xsinx?y????sin2sin2x??1sin2x??csc2x

11x?x?lnx（４）解：y??2arcsin??lnx???x???2

1???lnx?x2?x???2(1?lnx)?arcsinlnxx?x2?lnxx

（5）解：两边取对数得：lny?xlnsinx两边对x求导：1yy??lnsinx?x?1sinx?cosx

y??dydx?y(lnsinx?xcotx)

dy?(sinx)x(lnsinx?xcotx)dx

（6）解：两边对x求导ex?y?(1?y?)?y2?2xy?y??0?y??ex?y?y22xy?ex?y

把x?0代入原方程得：y?0

3

把y?0代入上述方程得：y?(0)??1

（7）解：y??1?x?x?2x(1?x)222?2arctan1x?ln211?()x12??1x2

?dy?[1?x222(1?x)?x?ln21?x2?2arctan1x]dx

（8）解：y??a?(?1)lna?ln(3?x)?a?x?x13?x(?1)

?dy??[axy?lna?ln(3?x)?a?x3?x]dx

（9）解：e(y?xy?)?1?2y?y??0

?

dydx?1?yexyxy

2y?xe9．解：设矩形与椭圆在第一象限的交点为(x,y)，则矩形面积为：S?4xy

又由于x,y满足

x24?y26y?1

?4?)?4y24(1?2y6y22?S?4y4(1?6)

?S??44(1?y26

6)?y?令S??0???x?232?矩形边长为22,23

10．.y??3x?6x?9?3(x?3)(x?1)

xy??(-?,-1)+↗(-?,1)－-10极大值1510(-1,3)-↘(3,+?)＋30微小值－17(3,+?)+↗yy???6(x?1)xy??y拐点（1，－1）??11．解：设内接矩形与抛物线在第一象限的交点为(x,y)则所求面积为：S?2xy

又由于x,y满足y?1?x?S?2x(1?x)

?S??2(1?x2)?2x?(?2x)

224

?x???令S??0???y???33

23439?最大矩形面积为S?2xy?

12．解:设圆柱形容器底半径为r,则由题意高为

Vh?,2??r

则总造价为C??r?a?2??r?2V??r2?b由C??2??r?a?2Vr2

?b

令C??0?r?3Vb??aVb,h?3aV2??b

32因此当底半径r?3??a,高为h?12aV2??bx222时总造价最小.

13．证明：对任意的x有y??1?1?x1?x所以函数y?x?arctanx单调增加，证毕

f(x)?f(0)x?01??0(x?0)

14.法一：设f(x)?x?ln(1?x)，则在[0,x]上满足拉格朗日中值定理条件，存在一点

?,0???x，使

?f(?)/

即

x?ln(1?x)x?1?1????1??x,(0???x)

?0,?x?ln(1?x)

由x?0，

?1??1?0，即?xx?ln(1?x)法二：f?(x)?1