高等代数练习题

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一、选择题

1、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（）

A、一次因式的乘积B、一次与二次因式的乘积C、只能是二次因式的乘积D、以上结论均不对2、多项式x4?8x3?12x2?2在有理数域上（）

A、可约B、不可约C、不一定可约D、不能确定3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（）

A、系数行列式不为0B、系数行列式为0C、系数矩阵可逆D、系数矩阵不可逆4、若存在u（x），v（x）使u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，则（）A、f（x）｜g（x）B、g（x）｜f（x）C、f（x）g（x）=1D、以上均错5、以下说法正确的是（）

A、设A、B是两个n级矩阵，则秩（A+B）≤秩A+秩B

B、设V1、V2是两向量空间，则dim（V1?V2）=dimV1+dimV2

C、以上均对D、以上均错6、模m的完全剩余系有（）

A、唯一一个B、无穷多个C、有有限个D、不一定有7、设p是素数，a是整数，且(p,a)=1，则（）

A、ap?a(modp)B、ap?0(modp)C、ap?1?0(modp)D、以上均错8、多项式f(x)除以x-a所得的余数为（）

A、f(0)B、f(x-a)C、f(a)D、以上均错

9、在xy平面上，顶点的坐标(x,y)满足1?x?4,1?y?4，且x,y是整数的三角形个数有（A、560B、32C、516D、4410、零多项式的次数是（）

A、0次B、1次C、2次D、不定义次数

二、填空题

1、方程2x4?x3?2x?3?0的有理根为___________________。2、排列657893的逆序数是_____________________。53-120172523、行列式0-2310的值为______________0-4-140023504、??__________时，方程组?x1?x2?0有非零解x1??x2?0

1

）

?034???10?12?????121?5、计算??1130??=_________________??05?14??31?1???????121?6、m是大于1的正整数，a、b?z，若m︱a－b，则称a、b关于模m__________。7、模m的非负最小完全剩余系为_____________。8、2023

2023被17除的余数为____________。

nn?19、若f(x)=anx+an?1x+…+a1x+a0x的根是x1，…，xn，则x1x2…xn=_______________。

543210、用艾森斯坦判别法判断f(x)=x—3x+6x—3x+9x—6在有理数域上不可约所找到的素数为__________________。三、计算及综合题

1、设f（x）求f（x）除以g（x）所得的商式q（x）和余?3x3?4x2?5x?6，g（x）?x2?3x?1，式r（x）。

2、设f（x）?x4?3x3?x2?4x?3，g（x）?3x3?10x2?2x?3。

求（f（x），g（x）），并求u（x），v（x）使（f（x），g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x）

ab3、求行列式d=

bb

babbb?b?a?b?bb的值ba?2x1?x2?5x3?x4?8?x?3x?6x4?9?124、解方程组?

2x?x?2x??5234???x1?4x2?7x3?6x4?0

?1?1?

?2?2

5、求矩阵的秩?

30?

?03?210?

?

4?20?

?6?11?

001??

6、求不定方程25x+13y+7z=4的整数解

2

7、求方程4x2?40?x??51?0的实数解n-3,(n?1000)8、定义域为正整数的函数f(n)满足f(n)?f(f(n+7)),(n?1000)试求f(90)

9、设F(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数，并且F(x)?F(求F(x).

10.确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭。假使是，说明相关运算所具有的性质(指交换律，结合律，幂等律，分派律，吸收律和特异元素(单位元，零元，逆元)（1）A=Z，x☉y=x+y-2xy，任意x，y∈A（2）.A=R，x☉y=|x-y|，任意x，y∈A

（3）.A=P({a，b})，两个运算分别为集合的交和对称差

（4）.A为n阶实可逆矩阵的集合，两个运算分别为矩阵加法和乘法。

11、用m种颜色涂色正六边形的顶点，假使允许这个六边形在空间任意运动，求不同的涂色方案数。（20分）

12、设n为给定自然数，求平面上由直线x＋2y＝n与两个坐标轴所围成的执教三角形内(包括边上)的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点。（20分）

四、推导题

1)?1?x①，1?x已知厄密算符AB，满足A?2?B?2?1，且A?B??B?A??0，求

1、在A表象中算符A、B的矩阵表示；

2、在A表象中算符B的本征值和本征函数；

3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。

五、计算题

线性谐振子在t?0时处于状态线性谐振子在t?0时处于状态

?(x,0)?

??1?2??x?exp(???33??122?x)2，其中

?????，求

1、在t?0时体系能量的取值几率和平均值。

2、t?0时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值

六、问答题，一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用.玻色子只有两个可能的单粒子态.问体系可能的状态有几个?

3

练习题答案

一、选择题（3分×5=15分）

1、A2、B3、B4、C5、A6、B7、A8、C9、C10、D二、填空题（3分×5分=15分）

7???56??1、12、53、-10804、?15、?102?6?

??21710???6、同余7、0，1，2，…，m-18、149、(?1)三、计算

1、解：x-3x+13x+4x2-5x+63x+133x3-9x2+3x13x2-8x+613x2-39x+13

31x-7（4分）

所以q(x)=3x+13,（3分）

r(x)=31x-7（3分）

2、解：g(x)f(x)

23na010、3an?27113232x+9=q2(x)3x+10x+2x-3x4+3x-x-4x-3x-=q1(x)53910322x+x-x3x3+15x2+18xx4+33152x-3x-3-5x2-16x-3-x3-

33110221x-x+-5x2-25x-30-x3-3993510522510x-r2(x)=9x+27r1(x)=-x-?x-=q3(x)

9938181525x-x-931010-x-

931010-x-（5分）

930即f(x)=（

11522510x-x-）g(x)+（-x-）399934

27522510x+9）（-x-）+（9x+27）x-5993522510510-x-=（?x-）（9x+27）x-9938181g(x)=（?故（f(x)，g(x)）=x+3（1分）

27522510x+9)(-x-)x-59932711=g(x)-(?x+9)(f(x)-(x-)g(x))

539272711=(x-9)f(x)+(1-(x-9)(x-))g(x)

9x+27=g(x)-(?5539=(275x-9)f(x)+(-95x2+185x)g(x)于是u（x）=31225x?1，v（x）=?5x?5xabb?bbab?b3、解：d?bba?b

?????bbb?aa?(n?1)bbb?ba?(n?1)bab?b=a?(n?1)bba?b?????a?(n?1)bbb?a1bb?1ab?=（a?(n?1)b）1ba?????