《随机数学》作业14解答

本文格式为Word版，下载可任意编辑——《随机数学》作业14解答作业1（随机过程的基本概念）

1、对于给定的随机过程{X(t),t?T}及实数x，定义随机过程

?1,X(t)?x，t?TY(t)???0,X(t)?x请将{Y(t),t?T}的均值函数和相关函数用{X(t),t?T}的一维和二维分布函数表示。解：

E(Y(t))?P(X(t)?x)?Ft(x)RY(s,t)?E(Y(s)Y(t))?P(Y(s)Y(t)?1)?P(X(s)?x1,X(t)?x2)?Fs,t(x1,x2)

2、设Z(t)?X?Yt,?t?R，其中随机变量X，Y相互独立且都听从N(0,?2)，证明

{Z(t),?t?R}是正态过程，并求其相关函数。

?Z(t1)??1t1??????X????提醒：注意到??????Y?即可证得{Z(t),?t?R}是正态过程。

?Z(t)??1t???n??n??依照相关函数的定义可得RZ(s,t)??2(1?st)

3、设{W(t),t?0}是参数为?的Wiener过程，求以下过程的协方差函数：（1）{W(t)?At,t?0}，其中A为常数；

（2）{W(t)?Xt,t?0}，其中X?N(0,1)，且与{W(t),t?0}相互独立；

2

t),t?0}，其中a为正常数；a21（4）{tW(),t?0}

t（3）{aW(提醒：Wiener过程就是指Brown运动。（1）令Z(t)?W(t)?At,t?0，由定义求得

E(Z(t))?At具体在求的时候，可以先假设s?t，然后再求（下同）。（2）令Z(t)?W(t)?Xt,t?0，由定义求得

CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?2min｛s，t｝

E(Z(t))?0CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝+st（3）Z(t)?aW(2

t),t?02a

E(Z(t))?01tCZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?2min｛s，t｝（4）Z(t)?tW(),t?0

E(Z(t))?02CZ(s,t)?cov(Z(s),Z(t))?(代入Z(t)的形式)=?min｛s，t｝

作业2Poisson过程

1、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，令Y(t)?N(t?L)?N(t)，其中L>0为常数，求{Y(t),t?0}的一维分布，均值函数和相关函数。提醒：

Y(t)?N(t?L)?N(t)~P(?L)，从而得到{Y(t),t?0}的一维分布（写出分布列即可）；

由Y(t)?N(t?L)?N(t)~P(?L)，易得E(Y(t))??L

相关函数的稍微繁杂点，但方法就是求期望，没特别的地方。给出关键步骤，其他自己补齐。

RY(s,t)?E(Y(s)Y(t))?(代入Y（t）形式展开)?RN(s?L,t?L)?RN(s?L,t)?RN(s,t?L)?RN(s,t)??2(s?L,t?L)??min(s?L,t?L)??2t(s?L)??min(t,s?L)??2s(t?L)??min(s,t?L)??2st??min(s,t)22???L??(L?|t?s|),当|t?s|?L??22???L,当|t?s|?L,

2、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，证明对于任意的0?s?t，

skskP(N(s)?k|N(t)?n)?Cn()(1?)n?k,k?0,1,?,n

tt证明：

P(N(s)?k|N(t)?n)P(N(s)?k，N(t)?n)P(N(t)?n）P(N(s)?N(0)?k，N(t)?N(s)?n?k)?P(N(t)?n）P(N(s)?N(0)?k)P(N(t)?N(s)?n?k)?P(N(t)?n）=?(由增量听从Possion分布，代入分子分母)整理?sksk?Cn()(1?)n?k,k?0,1,?,ntt

3、设{N(t),t?0}是强度为?的Poisson过程，求（1）{N(t),t?0}的一维特征函数；

（2）对于任意的0?s?t，求P(N(s)?m,N(t)?m?n)。提醒：（1）依照特征函数的定义直接求（2）注意到

P(N(s)?m,N(t)?m?n)即可求得。=P(N(s)?m,N(t)-N(s)=n)=P(N(s)?m）?P(N(t)-N(s)=n)

作业3（更新过程）

1某收音机使用一节电池供电，当电池失效时，马上换一节同型号新电池。假使电池的寿命听从30小时到60小时的均匀分布，问长时间工作状况下该收音机更换电池的速率是多少？若没有备用电池，当收音机失效时，马上在市场上购买同型号电池，获得新电池的时间听从0小时到1小时的均匀分布，求在长时间工作的状况下，更换电池的速率。

解：设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量，则在长时间工作的状况下，电池更新的速率为

limt??601N(t)1?而???t?dt?45(小时)

3030t?所以limt??N(t)11?=t?45

2设{N(t),t?0}是更新过程，更新间距Xi,i?1,2,?，MN(t)??t是它的更新函数，求

E[exp(?t?Xk)],t?0。

k?1n提醒：由于更新函数和更新过程唯一确定，于是由MN(t)??t是它的更新函数，可知该更新过程为Possion过程。从而更新间距Xi,i?1,2,?相互独立同参数为?的指数分布那么

E[exp(?t?Xk)]=?E[exp(?tXk)]k?1k?1nnE[exp(?tXk)]=?e?tx?e?xdx??=0???+t

然后代入上式即可答案（

?n）?+t作业4（Markov过程）

1、设{Xn,n?0}是齐次Markov链，其状态空间E?{a,b,c}，一步转移概率为矩阵为

?1/21/41/4??2/301/3?????3/52/50??设初始分布为P(X0?a)?P(X0?b)=P(X0?c)?1/3求（1）P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c)；（2）P(Xn?2?c|Xn?b)。

提醒：（1）

P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c)=P(X=a)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=a)?P(X=b)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=b)?P(X=c)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=c)??对于

P(X=a)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=a)?P(X=a)?P(X1?b|X=a)?P(X2?c|X1?b)?P(X3?a|X2?c)?P(X4?c|X3?a)?代入数据计算=?

（2）

P(Xn?2?c|Xn?b)=P(X2?c|X0?b)=P(X2?c，X1?a|X0?b)?P(X2?c，X1?b|X0?b)?P(X2?c，X1?c|X0?b)对于P(X2?c，X1?a|X0?b)?P(X1?a|X0?b)?P(X2?c|X1?a)?代入数据类似求其他

当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方，然后找到对应元素求得。

2、考虑一个质点在直线上作随机游动，假使在某一个时刻质点位于状态i，则下一步将以概率p(0?p?1)向前移动到达i?1，或以q?1?p向后移动到达i?1，以Xn表示n时刻质点的位置，且在0时刻从原点出发，则{Xn,n?0}显然是一个Markov链。求（1）写出状态空间E；

（2）求一步转移概率矩阵；（3）求n步转移概率矩阵。提醒：

（1）E=所有整数

????????????q0p00???p0??（2）P???0q0???00q0p??????????????(3)每次游动只有两种可能，向前概率为p，向后概率为q，n次移动的结果是由i到j，若在n次游动中向前m1次，向后m2次，则

n?j?i?m???m1?m2?n?12???m?m?j?in?j?i?12?m?2??2n?j?in?j?i?n?2j?i?(n)?p2?q2,,,n?j?i为偶数?pij??Cn?,,,n?j?i为奇数?0，

nnn?222?(n)pii??Cn?p?q,,,n为偶数?,,,n为奇数?0，

3、设齐次Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{1,?,7}，状态转移矩阵为

001/2?0?1/31/31/30??0010?P??1/3000?0100?00?1/20?0003/4?（1）对状态空间进行分解；

（2）求平稳分布

提醒：仿照教材中的例题来做。

01/20000000?00??00??02/3?00??01/2?1/40??E?N?R?1?R?2?{2,5}?{1,4,6,7}?{3}平稳分布

??(

91547?1,0,?2,?1,0,?1,?1)，其中?1??2?1,?1?0,?2?046462323

4、设Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{0,1,2,?}，转移概率为

p0i?pi?0,pi,i?1?1,i?1,2,?,p00?p0

证明

（1）Markov链{Xn,n?0}是常返的不可约的；

(k)证明：由于所有状态互通，所以所有状态具备一致的状态类型，又由于f00?pk?1,从而

??f00??fk?1(k)00??pk?1?1，即状态0是常返的，所以整个马链也是常返的。

k?1（2）Markov链{Xn,n?0}是零常返的充分必要条件是

???npn?1?n?1??；

证明：注意到?00??nfn?1(n)00??npn?1及其整个马链所有状态互通即得。

n?1（3）Markov链{Xn,n?0}是正常返的充分必要条件是

???p?n????n?i为??i??,i?0,1,??。??npn?1???n?1???npn?1?n?1且此时的平稳分布??，

证明

类似于（2），马链正常返的充要条件是由于?0??npn