概率论八九章习题答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——概率论八九章习题答案第8章参数估计

一、大纲要求

(1)理解参数的点估计、估计量和估计值的概念；(2)把握矩估计法(一阶、二阶)和极大似然估计法;

(3)了解估计量的无偏性、有效性(最小方差法)和一致性(相合性)的概念,并把握估计量无偏性的验证;

(4)了解区间估计的概念,会求单个正态总体的均值和方差的置信区间.二、重点知识结构图矩估计法点估估计极大似然估计法计量?评价标准无偏性：E???参??数有效性：D?1?D?2估?计一致性：limP{|???|??}?1n????区间估计P{?1????2}?1??常见正态分布的均值和方差的区间估计

三、基本知识

1.点估计

定义设总体X的分布函数F?X;??中?是未知参数，它或它的一个函数

?g???是要估计的对象.构造一个统计量?对未知参数?作定值(此定值在数轴上表现为一个点)的估计称为参数的点估计.

2.矩估计法

矩估计的步骤如下:

(1)列出估计式,求总体F?X;?1,?2,?,?m?的前m阶矩;

ak?E?Xk???????xkf?x?dx?gk??1,?2,?,?m??k?1,2,?,m?

(2)求解关于估计量的方程组,将未知参数?1,?2,?,?m表示为a1,a2,?,am的函数,解上面的方程组得

?k?gk?a1,a2,?,am??k?1,2,?,m?

1nk(3)求出矩估计,用样本矩Mk??Xi代替相应的矩ak,可得未知参数?k的

ni?1矩估计为

?k?g?M,M,?M??k?1,2,?,m??k12m3.极大似然估计法

定义设x1,x2,?,xn是取自总体X的一个样本观测值,其密度函数为

?时,x,x,?,x被取到的f?x1,x2,?,xn;????为未知参数?,假使当未知参数?取?12n?为?的极大似然估计.概率最大,即使似然函数L取到极大值,就称?极大似然估计的步骤如下(1)求似然函数L?x1,x2,?,xn;??设总体为离散型分布,其分布律为

P?X?xi??p?xi;???i?1,2,?,n?

式中,?为未知参数.对给定的样本观测值x1,x2,?,xn,令

L?x1,x2,?,xn;????p?xi,??

i?1n若总体为连续型分布,其密度函数为f?x;??,其中?为未知参数,对给定的样本观测值x1,x2,?,xn,令

L?x1,x2,?,xn;????f?xi,??

i?1n以上两式是未知参数?的函数,称为似然函数L?x1,x2,?,xn;??.它反映了样本观测值被取到的概率.

?(2)求L?x1,x2,?,xn;??的极大值点??必然满若似然函数L是?的可微函数,由微积分的基本知识可得,极大值点?足方程:

dL?0d??,??上式称为似然方程,由似然方程解出?,经过检验即可得到L的极大值点?就是?的极大似然估计.

由于L为乘积形式,lnx是x的单调函数,所以由对数似然方程

dlnL?0求d??比由似然方程解?dL?要便利得多.?0求解?d?一般地,设总体含有m个未知参数?1,?2,?,?m,其似然函数为

L?x1,x2,?,xn;?1,?2,?,?m?

这时L为?1,?2,?,?m的m元函数,其极大值点由以下对数似然方程组解得.

??lnL????01???lnL?0????2?????lnL????0?m?1,??2,?,??m分别为未知参数?,?,?,?的极大似然估在寻常的状况下,其唯一解?12m计.

4.点估计的评比标准

(1)无偏性

?是参数?的估计量,若E????,则称??是?的无偏估计或称??具有无偏性.设?(2)有效性

?1?D??2,则称??1与??2都是?的无偏估计,若对任意样本容量n有D??1较??2设?有效.

(3)一致性

?为参数?的估计量,当n??时,??依概率收敛于?,即对任意??0,有设???????1limP?n?????是?的一致估计量或相合估计量.则称?5.参数的区间估计

?1?X,X,?,X?与??2?X,X,?,X?为定义设?是总体X的未知参数,若?12n12n由样本X1,X2,?,Xn所确定的两个统计量,对于给定的常数??0???1?有

?1?????2?1??P??1,??2称为参数?的置信概率(或置信度)为1??的置信区间,??1与则随机区间??2分别称为置信下限与置信上限.?????四、典型例题

例1设总体X的概率密度为

?6x???x?/?2当0?x??f?x???其他0??;(2)??的方若X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本,求:(1)?的矩估计量??.差D?解(1)EX??????x?f?x?dx??6x20?2????x?dx

2??1n??2X.记X??Xi,令?X,得?的矩估计量?2ni?1(2)EX??2????xf?x?dx??22?6x306?2??x?dx?2??20DX?EX??EX??2?220

24???D?2X??4DX?DX???2X的方差为D?所以?n5n例2设总体X的概率密度为

????1?x?当0?x?1f?x???

?0其他其中???1是未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量.

解(1)矩估计法

EX??????xf?x?dx?????1?x??1dx?01??1??21n??2X?1.令EX?X??Xi,得?的矩估计量?1?Xni?1(2)极大似然估计法

?n??n?????1???xi?当0?xi?1似然函数L?x????i?1?其他?i?1,2,?,n?

??0取对数lnL????nln???1????lnXi,求导得

i?1nndlnL???n???lnXid???1i?1???1?令上式等于0，解得?的极大似然估计量?n?lnXi?1n.

i例3设总体X的概率密度为

?2?x????当x???2ef?x???

??0当x??其中??0是未知参数,从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记

??min?X,X,?,X??12n?的分布函数F?x?;(3)假使用??求:(1)总体X的分布函数F?x?;(2)统计量???作为?的估计量,探讨它是否具有无偏性.

解(1)F?x???x???2?x????当x???1?ef?t?dt??

x????0当?(2)F???x??P??x?P?min?X1,X2,?,Xn??x?

??,X,n??x???1P?X1?xX,??x??1?P?min?X1,X2?2x?,Xn,

?2n?x????当x???1?e?1??1?Fx?????????0当x??n?的概率密度为(3)?f???x??dF???x?dx?2n?x????当x???2ne????0当x??由于

??E??????xf???x?dx?????2nxe?2n?x???1dx?????

2n?作为?的估计量不具有无偏性.所以?例4一商店销售的某类产品来自甲、乙两个厂家,为考察产品性能的差异,现从甲、乙两厂分别抽取了8件和9件产品,测其性能指标X,得到两组数据,经对

2其做相应运算,得到X1?0.190,S12?0.006,X2?0.238,S2?0.008,假设测定结果服

?12从正态分布N??1,??与N??2,??,求2和?1??2的置信度为90%的置信区间,

?22122并对结果加以说明.

?12解(1)为求2的置信度为90%的置信区间,首先查F分布表.

?2F?/2?n1?1,n2?1??F0.05?7,8?

F1??/2?n1?1,n2?1??F0.95?8,7??则置信区间为

?S12S12?11?2???F?n?1,n?1??S2,F?n?1,n?1S?2?221??/2?12??/212即?0.214,2.798?,此区间包含1，故可以认为?12??2,因此,可以利用方差相等的条

11?

F0.05?7,8?3.73件构造?1??2的置信区间.

2(2)由于?12??2,但其值未知,故关于?1??2的置信度为90%的置信区间为

?1111X?X?tn?n?2S?,X?X?tn?n?2S??????2?/212W12?/212W?1n1n2n1n2?????又由于SW2n1?1?S12??n2?1?S2?7?0.006?8?0.008???0.008

n1?n2?27?8?2t0.05?13??1.77,1111????0.486n1n28911??0.007n1n2??t?/2?n1?n2?2?SW故置信区间为

?X1?X2??,X1?X2???,即??0.055,?0.041?

从以上结果可以看出,?1??2的置信区间不包含0，故可以认为?1??2?0,即两厂家的产品性能有显著差异.

例5设总体X听从?0,??上的均匀分布,X1,X2,?,Xn是来自X的样本.(1)

?2和T??1;(2)求?的极大似然估计??2;(3)证明??1,T?n?1?求?的矩估计量?12n?1和T有效.?n?1?minX均是?的无偏估计量;(4)证明T较?1?i?ni12解(1)EX??令

?0xd?x2??2(2)似然函数为

?1?2X.?X,得?的矩估计量为??1?L?x1,x2,?,xn;?????n??0?1????n??0当0?xi??其他?i?1,2,?,n?

当0?x?1??x?2????x?n???其他

又由于

?lnLn???0,所以L?x1,x2,?,xn;??关于?单调减,故当??X?n?时,???L?x1,x2,?,xn;??取得极大值,因此,?的极大似然估计量是

?2?X?max?X??i?n?1?i?n??1?E?2X?2EX?2E?X?2??(3)E??2?1是?的无偏估计量.所以?X?n?的密度函数为

?xn?1?nfX?n??x????n?0?当0?x??其他

n?1n?1?xnEX?n??nndx??故ET1??0nn???所以T1是?的无偏估计量.

X?1??min?Xi?的密度函数为

1?i?nfX?1??x??n??1?F?x;????n?1f?x;??

??x?n?11当0?x???n1??????????0其他?故ET2??n?1?EX?1???n?1??所以T2也是?的无偏估计量.

(4)EX??22???0?x?n?1?????n?1x?dx??

?x20?dx??33

DX?EX??EX??2?2?23?4?2?212

?1?D?2X??4DX??D?n3n?n?1?ET2?12n2?2?0nx2xn?1?n?1??2dx??nn?n?2?22n?1?2??222DT1?ET1??ET1??????

n?n?2?n?n?2?ET??n?1?222??0?x?nx2?1?????n?1dx2?n?1?2???n?2DT2?2?n?1?2n2???2??n?2n?2综上,显然有

?2n?n?2???23n?n2??n?1?n?2?1和T有效.所以T1较?2例6设X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本,?i?0?i?1,2,?,n?,??i?1,

i?1n试证:(1)

n??Xii?1ni是EX??的无偏估计量;(2)在?的一切形为??iXi??i?0,

i?1n??i?1i?1)的估计中,X最有效.

nn?n?证(1)由于E???iXi????iEX????i??ii?1?i?1?i?1n所以??iXi是?的无偏估计.特别当?1??2????n?i?11时,X也是?的无偏估n计.

nn?n?222(2)D???iXi????iDX?i???ii?1?i?1?i?1nn要求函数f??1,?2,?,?n????在条件?i?0?i?1,2,?n,??,?i?下的12ii?1i?1微小值点,为此令

?n?F??1,?2,?,?n;??????????i?1?

i?1?i?1?2in??F????2?i???0?令?in?i?1,2,?,n?

??F???1?0?i???i?1?21n?解得?i??,??i???1,即???,从而得?i??i?1,2,?,n?.因此证明白

nn2i?12n?X最有效.

例7假设0.50,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值,已知

Y?lnX听从正态分布N??,1?,求:(1)X的的数学期望EX(记EX为b);(2)求?的置信度为0.95的置信区间;(3)利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.

解(1)Y的