工程流体水力学第四章习题答案

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第四章理想流体动力学和平面势流答案

4－1设有一理想流体的恒定有压管流，如下图。已知管径d1?11d2，d2?D，22过流断面1-1处压强p1>大气压强pa。试按大致比例定性绘出过流断面1-1、2-2间的总水头

线和测压管水头线。

解：总水头线、测压管水头线，分别如图中实线、虚线所示。

4－2设用一附有液体压差计的皮托管测定某风管中的空气流速，如下图。已知压差计的读数h＝150mmH2O，空气的密度ρa=1.20kg/m3，水的密度ρ=1000kg/m3。若不计能量损失，即皮托管校正系数c=1，试求空气流速u0。

解：由伯努利方程得

p0u02p??s?ag2g?agu0?2g(ps?p0)（1）?ag式中ps为驻点压强。由压差计得p0??gh?ps

ps?p0??gh（2）

联立解（1）（2）两式得

u0?2g?gh?h1000?2g?2?9.8??0.15m/s?49.5m/s?ag?a1.24－3设用一装有液体（密度ρs=820kg/m3）的压差计测定宽渠道水流中A点和B点的

流速，如下图。已知h1=1m，h2=0.6m，不计能量损失，试求A点流速uA和B点流速uB。水的密度ρ=1000kg/m3。

解：（1）uA?2gh1?2?9.8?1m/s?4.427m/s（2）由伯努利方程可得

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uA2pAhA??（1）

2g?guB2pBhB??（2）

2g?g式中hA、pA和hB、pB分别为A点和B点处的水深和驻点压强。由（1）、（2）式可得

2pA?pBuA2uB?hA??hB?（3）?g2g2g由压差计得，pA??ghA??gh2??sgh2??ghB?pB，所以

pA?pB?hA?h2?0.82h2?hB(4)?g由（3）式、（4）式得

22uBuA4.4272??h2(1?0.82)??0.6(1?0.82)?0.8922g2g2?9.8uB?2?9.8?0.892m/s?4.18m/s。

4－4设有一附有空气－水倒U形压差计装置的皮托管，来测定管流过流断面上若干点的流速，如下图，已知管径d=0.2m，各测点距管壁的距离y及其相应的压差计读数h分别为：y=0.025m，h=0.05m；y=0.05m，h=0.08m；y=0.10m，h=0.10m。皮托管校正系数c=1.0，试求各测点流速，并绘出过流断面上流速分布图。

解：因u?c2gh，所以

u1?c2gh1?1?2?9.8?0.05m/s?0.99m/su2?c2gh2?1?2?9.8?0.08m/s?1.25m/su3?c2gh3?1?2?9.8?0.10m/s?1.40m/s

过流断面上的流速分布如下图。

4－5已知ux??yx,u?,uz?0,试求该滚动的速度势函数，并检查速度yx2?y2x2?y2势函数是否满足拉普拉斯方程。

解：(1)在习题3－19中，已判别该滚动为有势流，所以存在速度势函数?。

d??uxdx?uydy??yx?ydx?xdy1ydx?dy??d()222222yx?yx?yx?y1?()2xx27

积分上式可得??arctanyx?2???y2xy?()?,（2）

?x2?xx2?y2(x2?y2)2?2??x?2xy?2??(2)?2,2?02222?y?yx?y(x?y)?z2xy2xy??0?0222222(x?y)(x?y)满足拉普拉斯方程。

4－6已知ux??yxu?，，uz?0，试求该滚动的流函数?和流线方程、yx2?y2x2?y2迹线方程。

解：(1)在习题3－8中，已判别该滚动满足连续性方程，所以存在流函数?。等流函数线方程即为流线方程。

y?uydx?0d??uxd，?yxdy?dx?02222x?yx?yd(x2?y2)yx?0dy?2dx?0，22222x?yx?yx?y积分上式可得

??ln(x2?y2)?C

（2）迹线方程

dxdy??yxx2?y2x2?y2?(x2?y2)xdx?(x2?y2)ydy

d(x2?y2)ydyxdx?0?2?0，22222x?yx?yx?ydxdy?，uxuy积分上式可得

ln(x2?y2)?C

4－7已知ux=－ky，uy=kx，uz=0，试求该滚动的流函数?和流线方程、迹线方程及其形状（k是不为零的常数）。

解：流函数和流线方程：d??uxdy?uydx??kydy?kxdx??[d(x?y)]积分上式可得

k222??x2?y2

dxdydz??迹线方程:

-kykx0x2?y2?r2，z?C

由上式可知，流线为平行于Oxy平面的同心圆族，由于恒定流的流线与流线上液体质点的迹线相重合，所以迹线亦是同心圆族，液体质点作圆周运动。

4－8已知ux=4x，uy=－4y，试求该滚动的速度势函数和流函数，并绘出滚动图形。解：由习题3－8和3－19，可知该滚动存在流函数?和速度势函数?。

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?????uy??4y?ux?4x，?y?xd??uxdx?uydy?4xdx?4ydy?2d(x2?y2)

积分上式可得：??2(x?y)

22?????ux?4x，??uy?4y?y?xd??uxdy?uydx?4xdy?4ydx?4d(xy)

积分上式可得??4xy滚动图形如题4－16图所示。

4－9已知Φ=a（x2－y2），式中a为实数且大于零。试求该滚动的流函数?。

解：ux???????2ay?2ax，uy??y?xd??uxdy?uydx?2axdy?2aydx?2ad(xy)

Mcos?，式中M是不为零的常数。试求该滚动的流函2π?积分上式可得??2axy

4－10已知速度势函数??数，并绘出滚动图形。

解：u??对?积分可得

??M1????M??cos????cos?，??2??2?????2????MMd??f(?)???cos?d??f(?)??sin??f(?)??2π?2π????上式对ρ取偏导数，则

??M'?sin??f(?)??u?2??2π???M?2sin?又?u??????2π?'由上两式可得f(?)?0，即f(?)＝常数。因此可得

M???sin?

2π?上述滚动即为偶极流。滚动图形可参照题4—10图。题4-10图

4－11已知流函数?=3x2y－y3，试判别是有势流还是有涡流。证明任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离ρ。

解：ux??????3x2?3y2,uy????6xy?y?x?u?ux??6y,y??6y，所以是有势流。?y?x22u2?ux?uy?9(x2?y2)2?36x2y2?9(x2?y2)2?9?4

u?3?2，所以任一点的流速大小仅取决于它与坐标原点的距离。

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4-12设水平面流场中的速度分布为u?u??k?，u??0，k是不为零的常数，如图所

示。试求流场中压强p的分布。设ρ=∞，uj=0处的压强为p∞；水的密度为ρF。

解：由例3-6（如题4-12图所示）知，该流体运动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方程式适用于整个有势流；又因在同一水平面内，所以流场

22u?u??Fp?pk2?F中除原点（ρ=0，u=?）外，，因此p?p??。由上???p???Fg2g?Fg22?2式可知，压强p随半径ρ的减小而降低。

4-13水桶中的水从桶底中心小孔流出时，常在孔口上面形成旋转滚动，水面成一漏斗形，如图a所示。流速场在平面内，如图b所示，可表示为u?u??的常数。试求自由水面曲线的方程式。

解：该流体滚动除原点（ρ=0）外，是有势流。因是有势流，理想流体恒定流伯努利方

程式适用于整个有势流，滚动剖面如下图。

当ρ??时，水面高程为h；另取自由表面上任意点M，对上述两点写伯努利方程，可得

22u?k2uMk2,z?h?,该式即为自由表面方程式。h?z??z??z?2g?22g2g2g?24－14直角（90）弯头中的滚动，设为平面势流，如下图。已知弯头内、外侧壁的

题4-12图

k?，uρ=0，k是不为零

曲率半径r1、r2分别为0.4m和1.4m，直段中均匀来流的流速为10m/s，流体密度为1.2kg/m3。试求弯头内外侧壁处的流速和内外侧壁的压强差。

解：由例4－6（如题4-14图所示）知弯段内的流速分布为u??常数。k值可由连续性