2020年高考数学选填题专项测试11基本不等式

2020高考数学选填题专项测试01（基本不等式）（文理通用）第I卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（2020.河北高三期末（文））已知递增等差数列｛"J中，4a2=-2，则a3的（ ）A.最大值为-4B.最小值为4 C.最小值为-4 D.最大值为4或-4【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式可用ai表示出d.由数列单调递增可得ai<0.用ai表示出4，结合基本不等式即可求得最值.【详解】因为a1a2=-2，由等差数列通项公式，设公差为d，可得4,+d）——2，变形可得d二—彳因为数列｛a｝为递增数列，所以d—-ay-->0，即a<0，而由等差数列通项公式可知％=a+2dn 1a 1 3 11a=(-aa=(-a)+(41=(-a)+一一a1)(4)4八由0,-->0结合基本不等式可得1 —a1--Va1)22(-a).-二4，当且仅当a1―-2时取得等号，所以a3的最小值为4。【点睛】本题考查了等差数列通项公式与单调性的应用，基本不等式在求最值中的用法,属于中档题.（2020•山西高三期末（理））若方程|lnx|=m有两个不等的实根\和x2，则x2+x；的取值范围是（A.(A.(1,+8)B.(2,+s)C.(2,+8)D.(0,1)【答案】C【解析】【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【详解】因为【答案】C【解析】【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围.【详解】因为11nx|=m两个不等的实根是5和X2，不妨令\£（0,1）,X2e（1,+s）,Inx——m,Inx—m故可得In(故可得In(x1x2)=0，解得x2—111贝|x2+x2=x2+一>12Jx2 =2，故选:\1x2C.【点睛】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题（2020•海南高三月考）已知a,beR，且a+2b-4=0，则2a+4b的最小值为（）A.4 B.4<2 C.8 D.2【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式即可求得结果.【详解】由a+2b—4=0得：a+2b—4，2a+4b=2a+22b>2<2a>2?b=222a+2b=2224=8（当且仅当2a=22b，即a=2b时取等号）故答案为：8【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，属于基础题9 1（2020•内蒙古高三期末）-一+ 的最小值为（）sin2acos2aA.2 B.16 C.8 D.12【答案】B【解析】91【分析】利用sln2a+cos2a=1将^—+ 变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值.sin2aco&a【详解】•「sln2a+cos2a=1,，9 1 （. Y9 11 sln2a9cos2a-——+ =（sin2a+cos2a）-——+ =10+ + 10+6=16，当且仅当sin2acos2a 〈sin2acos2a）cos2asln2a. 3c1 9 1sin2a=-,cos2a=:时“二”立，故1 + 的最小值为16.4 4 sin2acos2a【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.1 1 1（2020•广东中山纪念中学高三月考（文、理））已知x,丁均为正实数，且一-+一-=t，则x+>的x+2y+26最小值为（）A.20 B.24 C.28 D.32【答案】A【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型x+y=（x+2）+（y+2）—4即可得出.详解：Q详解：Qx，y均为正实数，且L+...x+y=(x+2)+(y+2)-4=6(工+-^-)[(x+2)+(y+2)]—4x+2y+2y+2x+2 y+2x+2、=6(2+^-—+--)-4>6(2+2,-一-)-4=20当且仅当x=y=10时取等号.x+2y+2 \x+2y+2・二x+y的最小值为20.故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”(2020•海南中学高三月考)当xe(1,2)时，不等式x2+mx+2>0恒成立，则m的取值范围是()A.(-2,+8) B.(2<2,+8) C.(。,+8) D.(-2<2,+8)【答案】D【解析】【分析】将不等式恒成立转化为最值问题，利用均值不等式求解即可TOC\o"1-5"\h\z-- ( 2) -一【详解】当xe(1,2)时，不等式x2+mx+2>0恒成立，等价于m>-x+-在xe(1,2)时恒成立I x)即等价于m>,….(2\；而因为xe(1,2)即等价于m>,….(2\；而因为xe(1,2),故-x+-Ix)maxV-2”「一2虫,当且仅当x二工时取得最大值.故：m>-2V2【点睛】本题考查二次函数在区间上的恒成立问题，分离参数，转化为最值问题，是一般思路；本题中还涉及利用均值不等式求最值.属综合题.31、n,… …，口(2020•天水市第一中学高三月考(文))已知a>0,b>0，若不等式—+->-一恒成立，则n的最ab3a+b大值为()91216D91216D.20【答案】C【解析】【分析】可左右同乘3a+b，再结合基本不等式求解即可(3a(3a+b)>n【详解】Qa>0,b>0,—+> 【详解】ab 3a+b

(3a+b)=9+生(3a+b)=9+生+3a+1>10+2

ab3b3a -=16,当且仅当a=b=1时，等号成立，故n<16ab【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题八1 1 4（2020•四川石室中学高三月考（文、理））设X>0,y>0,且一+—=4,x2yz=2叫」+%y,则Z的最小值是（ ）A.-4 B.-3【答案】B【解析】-lOg263210g2交28【分析】利用基本不等式可求出盯的最小值，利用换底公式以及对数的运算律可得出z的最小值.八八八11/ /11cT1J1Tc【详解^，>0，y>0，且X+5=4一二4=X+万22行・与二2a一••后321 1 C，xy>，当且仅当X=2y时取等号.z=21ogx+logy=logx+logy=logxy>log =-3，则z8 4222228的最小值是-3.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时也考查了换底公式以及对数运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.（2020•广东高三月考（文））如图，三棱锥P-ABC的四个顶点恰是长、宽、高分别是m,2,n的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2,则该三棱锥外接球体积的最小值为（ ）A.25所8aA.25所8aB. D.36D.36rtC丁【答案】C【解析】【分析】根据三棱锥的体积关系可得mn=6,根据三棱锥与长方体共外接球，长方体的对角线就是外接球的直径可得2R=<m2+n2+4，根据基本不等式可得半径的最小值,进一步可得体积的最小值.

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1CC /【详解】根据长方体的结构特征可知三棱锥的高为n，所以--n---m-2=2,所以mn=6,又该三棱锥的外接球就是长方体的外接球,该外接球的直径是长方体的对角线，设外接球的半径为R，所以2R=Cm2+n2+4,所以2R><2mn+4=V12+4=4，当且仅当m=n=<6时，等号成立,，所以R>2，所以该三棱锥外接球4-4 …32兀体积为3兀R3>3兀*23=-3~.故选:c【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的体积公式，长方体的对角线长定理,基本不等式,属于中档题.（2020.江苏南京师大附中高三月考）在AABC中，内角A,B,C的对边另别是a,b,c，已知2sin2A+sin2B+22sinAsinB=3sin2C，则sinC的最大值为（ ）A，・五B5 C啦 D超A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得2a2+b2+\/2ab=3c2，结合余弦定理，求出cosC用a,b表示，用基本不等式求出cosC的最小值，即可求解.【详解】2sin2A+sin2B+22sinAsinB=3sin2C,由正弦定理得2a2+b2+、，：2ab=3c2由余弦定理得3c2=3a2+3b2-6abcosC,6abcosC=a2+2b2-12ab6cosc=a+也baTOC\o"1-5"\h\z•一 弋2 一 6cosc=a+也ba-<2>%2cos C>—,当且仅当a=2bb时，等号成立，，sinC=<1-cos2C <-一6 6所以sinC的最大值为‘6【点睛】本题考查三角函数的最值，11.（【点睛】本题考查三角函数的最值，11.（2020•天水市第一中学高三月考Ix—y—1V0（理、文））实数X,y满足条件1x-y-3>。.当目标函数♦以十by、,b>0）在该约束条件下取到最小值4时，a+2的最小值为（）643D643D2【答案】D【解析】

az【分析】先将目标函数化为J=-7％+7，由题中约束条件作出可行域，结合图像，由题意得到2a+b=4bb12 1(1 2J -1(-b 4a 八再由一十£=7-+t(2a+b)=-2+-+—+2，结合基本不等式，即可求出结果.ab 41a b) 41a b )a az a八【详解】由z=a'+by得尸一铲+b'因为a，b>°，所以直线的斜率为-b<°Ix一y一1V°作出不等式Ix-y-32°对应的平面区域如下:az az由图像可得：当直线k-铲+石经过点A时，直线尸-针+另在对应的平面区域如下:az az由图像可得：当直线k-铲+石经过点A时，直线尸-针+另在y轴截距最小,此时z最小。由《 解得《 ，即42，1)，此时目标函数z=ax+by{a,b>°J的最小值为4|2x—y—3=° Iy=112即2a+b=4，所以a+b=1(1+2](2a+b)=1(2+b+4a+212即2a+b=4，所以a+b=41ab) 41ab)4b4a Ia=1当且仅当一=，即<。时，等号成立.故选：Dab |b=2【点睛】本题主要考查简单线性规划与基本不等式的综合，熟记基本不等式，会求解简单的线性规划问题即可，属于常考题型.12.(2°2°•内蒙古高三期末(文、理))已知°<x<1，°<y<1，贝UA.、运B.2<2 C.V1QD.2<3\/x2+y2+i:1x2+(1-y)2+丫(1一x)2+y2+\：(1-x)A.、运B.2<2 C.V1QD.2<3【答案】B【解析】【分析】根据均值不等式，可有，,：x2+y2>王22，则%,%2+y22—2y,\；x2+(1-y)22~~2~y%;(1-％)2+产>-_=产，\：(1-%»+(1-y)2>-_三^_y,再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。【详解】因为x2+y2>2町，所以2(x2+y2)>2xy+x2+y2=(x+y)2，所以>x±y，所以1-2 2\：K>言，/2+(1-y)2>x±^，<(1-x)2+y2>1^，、《(1—x»+(1—y)2>所以两边分别相加得\.；xT+y7+、；x2+(1-y)2+\；(1-x)2+y2+；(1-x)2+(1-y)2>2<2，当且仅当x=y=1取等号，故选：b乙【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题第II卷(非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。5 / 1(2020•广西柳州高级中学高三开学考试(文))已知x>-，则函数y=4x+-―-的最小值为 4 4x—5【答案】7【解析】【分析】转化函数，通过基本不等式求解即可.八5 1 - 1 --_【详解】Qx>—,「.4x—5>0,y=4x+ =(4x—5)+ +5>2+5=74 4x—5 4x—5,- 1 3当且仅当4x-5"K'即,即x"2时等号成立.【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力.(2020.江苏高三月考)若a，b均为非负实数，且ab+a+b—1=0，则2a+b的最小值为【答案】1【解析】TOC\o"1-5"\h\z1—b 4【分析】由条件可得a= ，然后将2a+b变形为 +b+1—3，运用基本不等式即可求出.b+1 b+11-b【详解】因为ab+a+b—1=0，且a,b均为非负实数，所以a=—b+12—2b——2(b+1)+4,,, 4所以2a+b= +b= +b+1—1= +b+1—所以2a+b=b+1b+1 b+14当且仅当时二"1即b=1时取得最小值,所以2a+b的最小值为1,此时"⑺"1,故答案为:【点睛】当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法.15.(2020.江苏南京师大附中高三月考)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，点M(4,2)，点N在

线段0A的延长线上.设直线MN与直线OA及x轴围成的三角形面积为S，则S的最小值为【答案】12【解析】【分析】求出直线OA方程，设点N坐标，求出直线MN的方程，进而求出直线MN与x轴交点的坐标，将所求三角形的面积S表示成N点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值【详解】点A(1,2)，直线。4方程为y=2x，点N在线段。4的延长线上，设N(〃,2a),a>1当a=4时，N(4,8),S=16，当a>1，且a中4时，直线MN方程为TOC\o"1-5"\h\z2a—2 a—4 3y—2= -(x—4)，令y=0,x=4— =3+—a—4 a—1 a—1当且仅当a=2时，等号成立.HYPERLINK\l"boo