高数上课件微积分一第14讲

07四月20231第十四讲内容课件制作：汪光先戴中寅徐聪敏第四节、函数的单调性与曲线的凹凸性第五节、函数极值和最值07四月20232第四节、函数单调性与曲线的凹凸性课件制作：汪光先徐聪敏07四月20233一、单调性的判别法定理07四月20234证应用拉氏定理,得07四月20235例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．07四月20236二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:07四月20237例2解单调区间为07四月20238例3解单调区间为07四月20239例4证注:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,07四月202310这种方法的关键在于函数的最值为零，即使在整个区间上函数并不单调，问题也可能解决。如下例07四月20231107四月202312三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.07四月202313四、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方07四月202314定义07四月202315五、曲线凹凸的判定定理107四月202316例1解注意到,07四月202317六、曲线的拐点及其求法1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证07四月202318方法1:07四月202319例2解凹的凸的凹的拐点拐点07四月20232007四月202321方法2:例3解07四月202322注意:07四月202323例4解07四月202324七、小结曲线的弯曲方向——凹凸性;改变弯曲方向的点——拐点;凹凸性的判定.拐点的求法1,2.07四月202325思考题一07四月202326思考题解答例07四月202327思考题二07四月202328思考题解答不能断定.例但07四月202329当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．07四月202330利用泰勒公式求极限思考题三07四月202331思考题解答07四月202332第五节、函数的极值与最大值最小值课件制作：汪光先徐聪敏07四月202333一、函数极值的定义07四月202334定义函数的极大值与极小值统称为极值(局部最值）,使函数取得极值的点称为极值点.07四月202335二、函数极值的求法定理1(必要条件)定义由费马引理知，例如,07四月202336定理2(第一充分条件)(是极值点情形)07四月202337求极值的步骤:(不是极值点情形)07四月202338例1解列表讨论极大值极小值07四月202339图形如下07四月202340定理3(第二充分条件)证07四月202341例2解图形如下07四月202342注意:07四月202343例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.07四月202344三、小结极值是函数的局部性概念: